Tài liệu bồi dưỡng vào 10 môn Toán

 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 CHỦ ĐỀ1 
 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC 
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
- Dạng bài này thuộc bài 1 trong cấu trúc đề thi vào 10, được đánh giá là dạng bài 
dễ ghi điểm nhất. 
- Thông thường bài này sẽ chiếm 2 điểm trong cấu trúc đề thi, với các vấn đề liên 
quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức. Vì đây là câu gỡ điểm nên HS cần chú 
ý đến cách trình bày, ĐKXĐ và kết luận khi làm bài để lấy 1,5 điểm. 
- Trong bài này thường có 0,5 điểm của câu hỏi phụ để phân loại HS, thuộc dạng: 
Giải pt, bpt,tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên, tìm giá trị lớn nhất, 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức.... 
- Bài này thường gồm 3 phần: 
+ Tính giá trị của biểu thức chứa căn thức dạng đơn giản (0,5đ) 
+ Rút gọn biểu thức chứa căn thức (1,0đ) 
+ Các bài toán liên quan: Giải pt, bpt,tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị 
nguyên, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức....(0,5đ). 
Ví dụ. Đề thi năm 2018-2019. 
 x 4 3x 1 2
Cho hai biểu thức A= và B = với xx 0, 1 
 x 1 x 2 x 3 x 3
1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 
 1
2. Chứng minh B = 
 x 1
 Ax
3. Tìm tất cả các giá trị của x để 5 
 B4
PHẦN 1: Tính giá trị của biểu thức chứa căn thức dạng đơn giản. 
- Lưu ý HS không được làm tắt và giá trị của biến có thỏa mãn ĐKXĐ không, để 
không bị mất 0,25đ 
Ví dụ: Đề năm 2018-2019. Trình bày như sau: 
 Thay x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta được: 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 9 4 3 4 7
 A= 3,5 
 91 3 1 2
 Vậy x = 9 thì biểu thức A = 3,5 
PHẨN 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức. 
Phần này yêu cầu HS có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng hằng 
đẳng thức, kỹ năng cộng trừ nhân chia phân thức, quy tắc đổi dấu... 
Để tránh sai lầm, lưu ý HS không làm tắt. 
Các bước giải: 
Bước 1: Tìm ĐKXĐ ( thường đề bài đã cho). 
Bước 2: Tìm MTC => quy đồng mẫu => thu gọn tử => phân tích tử thành nhân 
tử. 
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho NTC của tử và mẫu. 
Bước 4: Khi nào biểu thức tối giản => hoàn thành việc rút gon. 
I. Bài tập bổ trợ. 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
 x 1 4x 1
 x 4 4x 9
 x 9 4x 25
 x 16 ...
 x 25
 x 36
Bài 2: Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử. 
 x 2 x 1 x 8 x 16
 x 4 x 4 x 10 x 25
 x 6 x 9 4x 4 x 1 
 9x 6 x 1
 ...
Bài 3: Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử. 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 x x 1 x x 8 
Bài 4: Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử. 
 x x x 4 x
 x 2 x x 5 x x 3 x
Bài 5: Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử ( có dạng: ax b x c) 
 x 3 x 2 x 5 x 6
 x x 2 x 7 x 12 
 x x 6 ...
II. Bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức. 
Ví dụ. Đề thi năm 2018-2019. 
 3x 1 2
Cho biểu thức B = với 
 x 2 x 3 x 3
Chứng minh B = 
Bài làm. Với , ta có : 
 3xx 1 2 3 1 2 xx 0, 1
 B 
 x 2 x 3 x 3 ( x 1)( x 3) x 3
 3xx 1 2( 1)
 (x 1)( x 3)1 ( x 1) x 3)
 x 1 
 3x 1 2( x 1) 3 x 1 2 x 2
 (x 1)( x 3) ( x 1)( x 3)
 x 31
 (x 1)( x 3) x 1
Vậy B = (đpcm) 
PHẨN III : Các bài toán liên quan. 
Dạng 1: Tìm giá trị của x để P(x) = k (k là hằng số), hoặc P(x) = A(x) 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 3 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 P(x) k 0
Phương pháp giải: Giải phương trình 
 P(x) A(x) 0
 x1 
Ví dụ 1: Cho biểu thức P = với x > 0, x1 . 
 x
Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x 5 
 Giải 
Với x > 0, , ta có 2P = 2. = 
 2(x 1) x(2x 5) 
 2 x 2 2x 5 x
 2x 3 x 2 0 
 ( x 2)(2 x 1) 0
 11
Vì x 2 0nên 2 x 1 0 2 x 1 x x (thỏa mãn ĐKXĐ) 
 24
 1
 Vậy x thì 2P = 
 4
Cách 2: từ pt: 2x 3 x 2 0, ta đặt x t; t 0,t 1 
Ta được phương trình ẩn t sau: 2t2 +3t – 2 = 0 
 1
Giải pt bậc hai ẩn t, ta được t = -2 (không thỏa mãn) và t = (thỏa mãn) 
 2
 Với t = => . Vậy thì 2P = 
Ví dụ 2( Đề thi năm 2017-2018). 
 x2 1
Cho biểu thức A = và B = với x 0,x 25 
 x5 x5 
Tìm tất cả các giá trị của x để A = B x4 . 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 4 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
Giải 
 A x 2 1
Với , ta có A = B x4 : x 4 
 B x 5 x 5
 x 2 x 5
 . x 4 x 2 x 4 
 x5 1
Cách 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét từng khoảng giá trị của biến. 
 x 4 khi x 4 0 x 4
Ta có = 
 4 x khi x 4 0 x 4
+) Với x 4,x 25, ta có pt: 
 x2x4 x x60 (x2)(x3)0 
Vì nên x 3 0 x 3 x 9(thỏa mãn). 
+) Với 0 x 4, ta có pt: 
 x24x x x20 (x2)(x1)0 
 x 2 0
Vì nên x 1 0 x 1 x 1(thỏa mãn). 
 Vậy x 1;9thì A = B 
Cách 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng tính chất 
 g(x) 0
 f (x) g(x) 
 f (x) g(x)
Vì nên x 4 ( x 2) 
+) Với x4 x2 x x60 (x2)(x3)0 
 Vì nên (thỏa mãn). 
+) Với x4 (x2) x x20 (x2)(x1)0 
 Vì nên (thỏa mãn). 
 x 0,x 25
 Vậy x thì A = B 
 x4 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 5 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
Cách 3. Ta có x 4 ( x 2)( x 2) và , nên ta có 
 x2 x4 x2(x2)(x2) 
 x 2 1 x 9
 x 2 1 
 x 2 1 x 1
Cách 4: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế. 
Xét phương trình x 2 x 4 , Vì hai vế không âm ta bình phương hai vế: 
 (x 2)2 (x4) 2 x4x 4x 2 8x16 
 x2 9x 4x 12 0 x(x 3)(x 3) 4(x 3) 0 
 (x 3)(xx 3x 4) 0 (x 3)(xx x 4x 4) 0 
 ( x 3)(x( x 1) 4( x 1)( x 1) 0
 ( x 3)( x 1)( x 2)2 0 
 x 2 0
 x 3 0 x 9
 Vì nên 
 x 1 0 x 1
 x
Ví dụ 3: Cho biểu thức P = với x 0,x 4. 
 x2 
Tìm tất cả các giá trị của x để P.( x 2) 2 x x 7(x 2) 7 
Giải. 
Với , ta có P. 
 x
 (x 2) 2x x 7(x 2) 7 
 x2 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 6 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 x 2 x x 7(x 2) 7
 x 3 x 7(x 2) 7 0
 2x 6 x 2 7(x 2) 14 0
 x 6 x 9 (x 2) 2 7(x 2) 7 0 
 2
 ( x 3)2 (x 2) 7 0
 x 3 0
 x 9(tm)
 (x 2) 7 0
Vậy x = 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 
 6 x2
Bài 1:Cho hai biểu thức A= và B = với x 0,x 4. 
 x x 2 x 1 x 2
 1) Tính giá trị của A khi x = 16 
 x2 
 2) Đặt P = A +B. Chứng minh P = 
 x1 
 x4 
 3) Tìm tất cả các giá trị của x để P = 
 2
 x x x 10
 Bài 2. Cho hai biểu thức A= và B = với 
 4 x 3 x2 x4 
 9
 x 0,x 4,x . 
 16
 1) Tính giá trị của A khi x = 25. 
 2) Rút gọn B. 
 3) Tìm tất cả các giá trị của x để B = 2A. 
 2x x 1 11 x 3
Bài 3. Cho hai biểu thức A= và B = với x 0,x 9 . 
 x3 x3 x9 
 1) Tính giá trị của A khi x = 25. 
 2) Rút gọn biểu thức P = A + B. 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 7 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 3) Tìm các giá trị của x sao P2 = 5P. 
 2 P0 
 HD: Giải pt P = 5P P(P 5) 0 
 P 5 0
 x 2 1 x1 
Bài 4. Cho hai biểu thức A = và B = với x 0,x 1. 
 x 2 x x 2 x1 
 1) Tính giá trị của B khi x = 49 
 x1 
 2) Đặt P = A.B. Chứng minh P = 
 x
 3) Tìm tất cả các giá trị của x để 2P 2 x 5 
 1 x 1 1 x
Bài 5. Cho biểu thức P = x: với 
 x x x x
 1) Rút gọn P. 
 2) Tìm tất cả các giá trị của x để P x 6 x 3 x 4 
 x1 x x 3 x 11 x 6
Bài 6. Cho hai biểu thức A = và B = với 
 x3 x 3 x 3 9x 
 x 0,x 9 
 1) Tính giá trị của A khi x = 49 
 x1 
 2) Chứng minh B = 
 x3 
 3) Đặt M = A:B. Chứng tỏ rằng không có giá trị nào của x thỏa mãn 
 M.( x 3) x 5 2 
Dạng 2: Tìm giá trị của x để P(x) > k ( k; k; k)(k là hằng số), 
 Hoặc P(x) > A(x) ( A(x); A(x); A(x) ) 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUNG: 
 +) Tìm x để P(x) >k P(x) –k > 0 
 +) Tìm x để P(x) > A(x) P(x) – A(x) >0 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 8 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 x1 
Ví dụ 1: Cho biểu thức P = với x 0,x 1. 
 x1 
 1
Tìm tất cả các giá trị của x để P < . 
 2
Giải: 
Với x 0,x 1, ta có P P - - < 0 
 2( x 1) 1( x 1) x 3
 00 
 2( x 1) 2( x 1) 2( x 1)
Vì x 0 x 3 0 , do đó 2( x 1) 0 x 1 
Vậy, kết hợp ĐKXĐ của bài ta có 0 x 1 thì P < 
* Chú ý: Sai lầm HS thường mắc phải trong ví dụ này: 
 Với x 0,x 1, ta có P P < 2 x 2 x 1
 x3 
Mà x0 nên không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 
 ac
Cách làm trên, Hs đã nhân chéo bằng cách áp dụng tính chất ad bc 
 bd
 với điều kiện b > 0, d > 0 
Trong bài này x1 chưa xác định được dấu của nó. Vì vậy lưu ý HS khi sử dụng 
tính chất trên và nên nhắc nhở HS dùng phương pháp an toàn đó là chuyển vế => 
rút gọn=> xét dấu. 
 2 x 1
Ví dụ 2: Cho biểu thức P = với . Tìm tất cả các giá trị của x 
 x1 
đề P 1. 
Giải: 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 9 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
Với , ta có P 1 
 2 x 1 2 x 1 x 1
 P 1 0 1 0 0 
 x 1 x 1 x 1
 2 x 1 x 1 x
 00 
 x 1 x 1
+) Trường hợp: x 0 x 0 
+) Trường hợp x 0 x 1 0 x 1 
Vậy x = 0, hoặc x > 1 thì P 1 
* Chú ý: Sai lầm HS thường mắc phải trong trường hợp này. 
+) HS “tích chéo” mà không chuyển vế. 
+) Bỏ quên trường hợp “ = ”. 
 x1 
Ví dụ 3: Cho biểu thức P = với x 0,x 4. Tìm gái trị của x để P2 < P. 
 x2 
 x 0,x 1 Giải. 
Cách 1: với , để P2 < P 
 x 1 x 1
 PP0P(P1)02 10 
 x 2 x 2
 x 1 3 3( x 1)
 . 0 0 
 x 2 x 2 ( x 2)2
Vì (x2) 2 0 3(x1)0 x10 x1 
Vậy x 1,x 4 thì P2 < P. 
 3 3 3
Cách 2: Có P = =1 , vì 0 nên 11 
 x2 x2 x2 
 => P < 1 với mọi 
Do đó, để P2 0 > 0 x 1 0 x 1 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 10 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
Vậy thì P2 < P. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 
Bài 1. Đề năm 2013-2014 
 2x x 1 2 x 1
Với x > 0, cho hai biểu thức A = , B = 
 x x x x
 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64 
 2) Rút gọn biểu thức B. 
 A3
 3) Tìm x để 
 B2
Bài 2. Đề năm 2018-2019. 
 x4 
Cho hai biểu thức A = và B = với 
 3xx1 1 2
 1) Tính giá trị củxa A2 khi x x 3= 9. x 3
 2) Chứng minh B = . 
 Ax
 3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 
 B4 xx 0, 1
 * Chú ý: Sai lầm của HS thường mắc phải: 
 A
 Có x4 
 B1
 x 1
 Để thì 
 x 1,x 4
 x
 x4 5 x4x40 (x2)0x4 2 
 4
 HS không chú ý đến ( x 2)2 0,do đó chỉ xảy ra trường hợp “=”. Kết quả 
 đúng là x = 4 
Bài 3. 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 11 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 2 x 1
 1) Cho biểu thức A = với x 0. Tính giá trị của A khi x = 9. 
 x2 
 x 14 x 5 x x 2
 2) Cho biểu thức B = : với x 0,x 25 
 x 25 x 5 x 5
 2 x 1
 a) Chứng minh B = 
 x2 
 b) Tìm giá trị của x để B2 <B. 
 ( Hoặc có thể thay bằng câu: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để B2 
 <B) 
 1
 Giải ra được x9. Vậy x = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 4
 x1 xx 1
Bài 4. Cho hai biểu thức A = và B = với 
 x1 x 1 x 1
 1) Tính giá trị của A khi x = 9. 
 2) Đặt P = A.B. Chứng tỏ giá trị của P không phụ thuộc vào biến x. 
 3) Tìm x để AB .( Lưu ý trường hợp “=”). 
 x2 3xx 6 1xx 0, 3 1
Bài 5. Cho hai biểu thức A = và B = 
 x1 x 22 x x x
với xx 0, 4 
 1) Tính giá trị của A khi x = 16. 
 2) Rút gọn biểu thức B. 
 2
 3) Tìm các giá trị của x để A.B .( Chú ý ĐK để A.B xác định). 
 3
 x 2 x 1 x 4 x 9 x5 
Bài 6. Cho hai biểu thức A = , và B = với 
 xx 339 x 3x 
 xx 0, 9 
 1) Tính giá trị của B khi x = 49 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 12 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 x
 2) Chứng minh A = . 
 x3 
 1
 3) Đặt P = A:Q. Tìm giá trị của x để P 
 2
 x
 HD: Ta có P = 0 PP 
 x5 
Dạng 3. Chứng minh P(x) > k ( )(k là hằng số), 
 Hoặc P(x) > A(x) ( ) 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUNG: 
 +) Để chứng minh P(x) >k, ta xét hiệu P(x) –k , sau đó chứng minh P(x) –k > 0 
 +) Để chứng minh P(x) > A(x), xét hiệu P(x) – A(x) => chứng minh P(x) – A(x) 
>0 
 2 x 4
Ví dụ 1: Cho biểu thức P = với . 
 x1 
Chứng minh P < 2. 
Giải: 
 xx 0, 1
Cách 1: Ta có P = với , 
để chứng minh P < 2, ta xét hiệu 
 2x4 2x42(x1) 6
 P – 2 = 2 
 x 1 x 1 x 1
 6
Vì x 1 0, nên 0hay P - 2 P < 2(đpcm). 
 x1 k; k; k
* Chú ý: Sai lầm của HS trong cách làm này:A(x); A(x); A(x)
 HS thường mắc sai lầm trong phần trình bày, đó là: 
để chứng minh P < 2, ta xét hiệu P – 2 < 0 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 13 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 2x4 2x42(x1) 6
 2 0 0 0 
 x 1 x 1 x 1
Vì , nên hay P - 2 P < 2(đpcm). 
HS đã nhầm sang cách trình bày của dạng 2. 
Nhấn mạnh HS: Để chứng minh P>k 
B1: Xét hiệu P – k => thu gọn P-k 
B2. Chứng minh P- k >0. 
B3. Kết luận. 
 2 x 4 2( x 1) 6 6
Cách 2: Ta có P = 2 với , 
 x 1 x 1 x 1
 6 6
Vì 0nên 2 2. HayP 2(đpcm) 
 x1 x1 
 x
Ví dụ 2: Cho biểu thức P = với . 
 x x 1
 1
Chứng minh P < . 
 3
 xx 0, 1
Giải. 
 1 (x 1)2
Cách 1: Để chứng minh P < , xét hiệu P = 
 3 3(xx 1)
 1
 Vì x0 3(x x1)0.Dox1 (x1) 2 0 P0 
 3
 6
 x 1 0 0
 x1 
Do đó P < (đpcm). 
Cách 2. Ta có P = với . 
+) Xét x = 0 ta có P = 0 < (1) 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 14 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 1
+) Xét x > 0, ta có P = = 
 1
 x1 
 x
 1
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương x, ta có 
 x
 1 1 1 1 1 1
 x 2 x. x 2 x 1 3 
 1
 x x x x x1 3
 x
 1
Dấu “=” xảy ra khi x x 1( không thỏa mãn vì x 1 
 x
=> trường hợp “=” không xảy ra, do đó P < (2) 
 6 x2
 x 0,x 4.
 x x 2 x 1 x 2
Từ (1) và (2) suy ra P < với mọi 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. x
 x x 1
Bài 1:Cho hai biểu thức A= và B = với 
 1
 3
 1) Tính giá trị của A khi x = 16 xx 0, 1
 2) Đặt P = A +B. Rút gọn P 
 3) Chứng minh P < 1. 
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
Bài 2. Cho hai biểu thức A = và B = với 
 x 2 x 3 x 1 x3 
 1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4. 
 2) Đặt P = A – B. Rút gọn P. 
 2
 3) Chứng minh 5 P 
 3
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 15 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 x x 1 x 1 2 9 x 3
Bài 3. Cho hai biểu thức A= và B = 
 x1 x 2 x 3 x x 6
 với 
 x 0, x 1, x 4
 1) Tính giá trị của A khi x = 25. 
 x1 
 2) Chứng minh B = 
 x3 
 3) Chứng minh rằng khi B > 0 thì A >3. 
 HD. B1 Giải bất pt B > 0 ta được x >1 
 B2. Với xx 1, 4, ta chứng minh A >3 
 x3 3x 6 2 1
Bài 4. Cho hai biểu thức A = và B = : với 
 x x 1 x9 x 3 x 3
 xx 0, 9 
 1) Tính giá trị của A khi x = 4. 
 2) Rút gọn B. 
 3) Cho P = A.B. Chứng minh PP 
 HD: Chứng minh P0 
 x3 x 1 3 x
Bài 5. Cho hai biểu thức A= và B = với 
 x1 x 1 x 2 x x 2
 xx 0, 1. 
 1) Tính giá trị của A khi x = 49. 
 2) Rút gọn B. 
 1
 3) Cho P = . Chứng minh PP 
 AB
 HD: Chứng minh 0 P 1 
Dạng 4. So sánh P(x) với k (k là hằng số), hoặc P(x) > A(x) 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUNG: 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 16 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
B1: Xét hiệu P(x) –k, P(x) – A(x) => Thu gọn. 
B2: Xét dấu của hiệu P(x) –k, P(x) – A(x) 
+) Nếu P(x) –k > 0 => P(x) > k 
+) Nếu P(x) –k P(x) < k 
B3: Kết luận. 
 x5 
Ví dụ 1: Cho biểu thức P = với x > 0. 
 x1 
 So sánh P với 1. 
 Giải. 
 x 5 4
Cách 1. Xét P – 1 = 1 
 x 1 x 1
 4
Vì x > 0 nên x 1 0 0 hayP 1 0 . Vậy P > 1. 
 x1 
 x 5 4 4
Cách 2. P = 1 , Vì x > 0 nên x 1 0 0 
 x 1 x 1 x1 
 4
Nên 1 1. Hay P 1. 
 x1 
 x 2 x 1
Ví dụ 2. Cho biểu thức P = với xx 0, 1. 
 x
 So sánh P với 4. 
 Giải. 
 x2x1 x2x1(x1) 2
Cách 1. Xét P – 4 = 4 
 x x x
 ( x 1)2
Vì x > 0 nên x 0 và xx 1 ( 1)2 0. Do đó 0 hay P – 4 > 
 x
0. 
Do đó P >4. 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 17 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
Cách 2. Ta có P = với 
 x 2 x 1 1
Vì x > 0, nên P = x2 1
 xxx,
 x
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có 
 1 1 1 1
 x 2 x. x 2 x 2 4 . Hay P 4 
 x x x x
 1
 x x 1 x 1
Dấu “=” xảy ra khi x ( không thỏa mãn vì ). 
 Do đó P > 4. 
 x x 1
Ví dụ 3: Cho P = với 
 x
 So sánh P và P . 
 Giải. 
Cách 1. 
 2
 13
+) Vì x > 0 nên x 0 và có x x 10 x 
 x 2 x 1 24
 xx 0, 1.
 x
Do đó P = > 0 với mọi xx 0, 1 P xác định với mọi . 
 x x 1 1
+ Lại có P = x1 do x > 0 
 xx
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có 
 1 1 1 1
 x 2 x. x 2 x 1 1. Hay P 1 
 x x x x
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 18 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
Dấu “=” xảy ra khi ( không thỏa mãn vì ). Nên P > 1 
=> P 1 P 1 0=> P(P1)0 P P0 P P. 
Cách 2. + ta có: P > 0 > x0 => 2 P + P 1 > 0 x1 
 x 0,x 1
 x 2 x x 2 x1 
 x x1x x1 x x1x1 
+ xét P2 – P = P( P – 1) = . 1 . 0 
 x x x x
=> P2 – P = (P + )( P - ) > 0, vì P + > 0 => P - > 0 => P > 
 1
Hoặc P2 – P > 0 => P2x > P => P > x 1 ( vì P > 0). x 1
 x
* Chú ý. Dạng này có thể đổi thành so sánh P với P2 ( với P dương) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 
 x 2 x 1 1
Bài 1. Cho hai biểu thức A = và B = với 
 x x 1 x x 1 x1 
 1) Tính giá trị của B khi x = 49. 
 2) Rút gọn biểu thức P = A – B. 
 1
 3) So sánh P với . 
 3
Bài 2.Cho hai biểu thức A = và B = với . 
 x3 x 1 3 x
 1) Tính giá trị của B khi x = 49x1 xP 1 x 2 x x 2
 xx 0, 1.
 2) Đặt P = A.B. Rút gọn P 
 3) So sánh P + x với 3. 
Bài 3. Cho hai biểu thức A= và B = với 
 1) Tính giá trị của A khi x = 49. 
 2) Rút gọn B. 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 19 
 Ba Vì – Hà Nội 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀO 10 
 2 x 1 2
 3) Cho P = . So sánh P và P (x Ho 0ặc so sánh P và P ). 
 x2 
 HD: Cách 1. Chứng minh => P < 
 Cách 2. Xét P – P2 
Bài 4. 
 1) Cho biểu thức A = với . Tính giá trị của A khi x = 9. 
 x 2 x 1
 2) Cho biểu thức B = với 
 x x 1 x x 1 1 x
 a) Rút gọn B. 
 b) So sánh B và B . 
 * Chú ý ĐKXĐ của 
Dạng 5. Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên. 
- Trong dạng toán này HS cần hiểu rõ tập hợp các số: Tập hợp số tự nhiên(N), số 
nguyên (Z), số hữu tỉ (Q), số vô tỉ (I), số thực (R). 
A. Bài tập bổ trợ. 
Bài 1. Tìm số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 
 3 5 7 x2 59
 a) b) c) d) e) 
 2x 1 x12 x2 x 1 x8 
 x2 
 xx 0,x42 1. 
HD Giải. 
 a) Vì x là số nguyên => 2x – 1 cũng là số nguyên, do đó để có giá trị là 
 1
 số nguyênAB thì 2x – 1 Ư(3) = 1; 3 
 + Với 2x – 1 = 1 =>0 x P= 1(tm) 1 
 + Với 2x – 1 = - 1 => x = 0(tm) 
 + Với 2x – 1 = 3 => x = 2(tm) 
 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 20