Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán

TAØI LIEÄU OÂN THI TOÁT NGHIEÄP 2009-2010
CHUÛ ÑEÀ 1 : ÑAÏO HAØM – ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
1. ÑAÏO HAØM 
Caùc quy taéc tính ñaïo haøm :
Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn : 
 Haøm sô caáp Haøm soá hôïp u = u ( x ) 
2. XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ :
Neáu thì haøm soá f ( x ) taêng treân ( a; b ) 
 Neáu thì haøm soá f ( x ) giaõm treân ( a; b ) 
Phöông phaùp giaûi toaùn :
+ Tìm taäp xaùc ñònh 
+ Tính y/ , giaûi phöông trình y/ = 0 
+ Laäp baûng bieán thieân vaø keát luaän 
ÑK ñeå f ( x ) = ax2 +bx + c khoâng ñoåi daáu treân R :
+ 
+
2.CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ : 
Phaûi ñoåi daáu khi x ñi qua x0
ÑK ñeå haøm soá coù cöïc trò taïi x0 laø :
Phöông phaùp giaûi toaùn :
Caùch 1 : xeùt daáu y/ , laäp baûng bieán thieân vaø keát luaän 
Caùch 2 : - Tính f/ ( x ) , tìm caùc ñieåm xi maø taïi ñoù y’( x ) = 0 hay khoâng xaùc ñònh , i= 1n 
Tính , f// ( x ) , f// ( xi ) 
Neáu thì xCÑ = xi 
Neáu thì xCT = xi
Caàn nhôù : Haøm soá ña thöùc f( x ) ñaït CÑ taïi x0 
 Haøm soá ña thöùc f( x ) ñaït CT taïi x0 
Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp : 
Tìm cöïc trò cuûa haøm soá 
Tìm tham soá m ñeå haøm soá ñaït cöïc trò taïi x0 
Chöùng minh raèng haøm soá khoâng coù cöïc trò ( Ta caàn cm haøm soá luoân taêng hay giaõm trong töøng khoaûng xaùc ñònh ) 
Cm haøm soá luoân coù 2 cöïc trò ( ta caàn cm y/ = 0 luoân coù 2 nghieäm x1 , x2 , vaø y/ phaûi ñoåi daáu 2 laàn khi x ñi qua 2 nghieäm ñoù )
3. TÌM GTLN VAØ GTNN CUÛA HAØM SOÁ TREÂN KHOAÛNG ( a; b ) HAY TREÂN 
Treân khoaûng ( a; b ) ta caàn laäp baûng bieán thieân , döïa vaøo BBT maø keát luaän ( GTLN , GTNN coù theå khoâng toàn taïi ) 
Tìm GTLN , GTNN cuûa haøm soá treân ( bao giôø cuõng toàn taïi ) : 
Tìm caùc ñieåm xi / ( a; b ) maø taïi ñoù ñaïo haøm y’ = 0 hay khoâng xaùc ñònh 
Tính f( a ) , f ( b ) , f (xi ) 
Tìm soá lôùn nhaát M vaø soá nhoû nhaát m trong caùc soá treân 
 , 
 Chuù yù : Neáu chöa roõ khoaûng ( a; b ) hay ñoan thì ta caàn tìm TXÑ cuûa haøm soá 
4 . SÔ ÑOÀ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ : 
Tìm taäp xaùc ñònh 
Tính ñaïo haøm y/ , giaûi phöông trình y/ = 0 
Xeùt daáu , keát luaän tính ñôn ñieäu , Tìm cöïc trò ( Neáu coù ) 
Tìm giôùi haïn ñaëc bieät ( , hay x nhöõng ñieåm maø haøm soá khoâng xaùc ñònh ) vaø tìm ñöôøng tieäm caän ngang vaø tieäm caän ñöùng ñoái vôùi haøm soá 1/1
Laäp baûng bieán thieân : Nghieäm cuûa y/ , daáu y/ ,Cöïc trò , chieàu bieán thieân 
Veõ ñoà thò :
Choïn heä truïc toaï ñoä , chia tæ leä treân heä truïc 
Ñieåm ñaëc bieät : Cöïc trò , tìm giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä : Giao vôùi 0x thì cho y= 0 , giao vôùi 0y thì cho x = 0 ( neáu caàn thieát phaûi cho theâm ) 
Chuù yù ñeán tính chaát ñoái xöùng : 
Haøm soá truøng phöông coù truïc ñoái xöùng laø truïc 0y
Haøm soá baäc 3 coù taâm ñoái xöùng laø , vôùi x0 laø nghieäm cuûa phöông trình y// = 0 ( Tröôùc ñaây ta goïi laø ñieåm uoán ) 
Haøm soá phaân thöùc 1/1 : nhaän giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän laøm taâm ñoái xöùng 
Hình daïng :
Haøm soá 
a>0
a < 0
Phöông trình y/= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
Phöông trình y/= 0 coù nghieäm keùp 
Phöông trình y/= 0 voâ nghieäm 
Haøm soá 
a>0
a < 0
Phöông trình y/= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät
Phöông trình y/= 0 coù 1 nghieäm 
Haøm soá 
5. HAI BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ :
Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò y= f(x) ( C ) 
Daïng 1 : PTTT taïi tieáp ñieåm , phöông trình daïng :
Daïng 2 : PTTT coù heä soá goùc k cho tröôùc ( ta caàn tìm toaï ñoä tieáp ñieåm )
Goïi x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm thì x0 laø nghieäm cuûa phöông trình ( * )
Giaûi phöông trình ( * ) ta tìm ñöôïc x0 ( neáu coù ) , töø ñoù suy ra y0 = f ( x0 ) 
Thay vaøo phöông trình tieáp tuyeán : 
CHUÙ YÙ :
Ñöôøng thaúng y= ax +b coù heä soá goùc k = a 
Hai ñöôøng thaúng song song : coù cuøng heä soá goùc nghóa laø :
Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc : coù tích heä soá goùc baèng -1 : 
Söï töông giao cuûa hai ñoà thò : y= f ( x ) vaø y = g( x )
Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f ( x) = g( x) ( ** ) 
Giaû söû phöông trình ( ** ) coù caùc nghieäm laø khi ñoù giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò laø 
CHUÛ ÑEÀ 2 : HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA , HAØM SOÁ MUÕ , HAØM SOÁ LOGARIT
KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ :
Tính chaát haèng ñaúng thöùc cuûa luyõ thöøa : , 
Tính chaát baát ñaúng thöùc cuûa luyõ thöøa : 
Loâgarit vaø caùc tính chaát :
ÑN : 
Caùc tính chaát : 
Tính chaát haèng ñaúng thöùc 
 coù nghóa 
Tính chaát baát ñaúng thöùc :
Ñoà thò haøm soá muõ ( coù TXÑ : D= R ) 
a>1
0<a<1
Chuù yù : Ñoà thò khoâng caét truïc hoaønh do thu laïi nhoû neân coù coù caûm giaùc laø chuùng caét nhau
Hai ñoà thò haøm soá ñoái xöùng nhau qua truïc 0y
Ñoà thò haøm soá logrit: y= Coù TXÑ : D = 
a>1
0<a<1
Chuù yù : Ñoà thò khoâng coù caét truïc tung 
Ñoà thò cuûa hai haøm soá ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh
Ñoà thò cuûa hai haøm soá ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y=x
( Hình veõ cho tröôøng hôïp a<1 ) 
 ( Hình veõ cho tröôøng hôïp a >1 ) 
Giaûi phöông trình muõ :
Ñö a veà cuøng cô soá :
Ñaët aån soá phuï ( V D ñaët t = ax , ÑK : t > 0 ) 
Loâgarit hoaù ( Laáy loâgarit 2 veá cuûa pt theo cô soá thích hôïp ) 
Nhaãm nghieäm vaø chöùng minh nghieäm ñoù laø duy nhaát ( Döïa vaøo ñoà thò , hay tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ) 
Giaûi baát phöông trình muõ ( Nhö pt muõ , nhöng caàn nhôù raát kyõ tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ “ keûo rôùt oan maïng “) : 
Giaûi phöông trình loâgarit :
Ñöa veà cuøng cô soá 
Ñaët aån soá phuï 
Muõ hoaù 
Nhaåm nghieäm vaø chöùng minh nghieäm ñoù laø duy nhaát ( Döïa vaøo ñoà thò , hay tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ) 
Giaûi baát phöông trình loâgarit : ( Gioáng nhö giaûi phöông trình , caàn nhôù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá loâgarit 
CHUÛ ÑEÀ 3 : NGUYEÂN HAØM – TÍCH PHAÂN VAØ CAÙC ÖÙNG DUÏNG
ÑN NGUYEÂN HAØM :
Haøm soá F( x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa f( x) treân k 
2. BAÛNG NGUYEÂN HAØM CUÛA HAØM SOÁ SÔ CAÁP CÔ BAÛN :
Moät soá hoï nguyeân haøm hay duøng :
TÍCH PHAÂN: 
CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN : I = 
Ñoåi bieán soá daïng 1 :
Ñaët x = u ( t ) , 
Ñoåi caän töông öùng giöõa x vaø t 
Bieåu thò x theo t : giaû söû 
Tìm nguyeân haøm G ( t) cuûa g( t) 
Tính I = 
Ñoåi bieán daïng 2 : Ñaët t = u ( x ) ( caùc böôùc nhö treân ) 
 Baûng döôùi ñaây neâu ra moät soá tröôøng hôïp thöôøng gaëp 
Daáu hieäu
Coù theå ñaët ( Höôùng giaûi ) 
x = a. sint , 
x= a. tant , 
Haøm soá coù chöùa maãu soá
t= maãu soá 
Haøm soá coù daïng 
 ( hoaëc t = u( x) )
Haøm soá coù daïng 
t = lnx
Haøm soá coù daïng 
 , ( hoaëc t = f( x) ) 
t = cos x
t = sinx
Duøng coâng thöùc haï baäc
Phöông phaùp tính tích phaân töøng phaàn :
Coâng thöùc tính :
Baûng döôùi ñaây neâu ra moät soá tröôøng hôïp thöôøng gaëp :
DAÁU HIEÄU
CAÙCH ÑAËT
ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN :
Coâng thöùc tính dieän tích hình phaúng 
Goïi ( H ) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : ( f ( x) , g ( x) laø 2 haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn ) . thì dieän tích cuûa hình H laø :
Caùc caùch khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái :
+ Phöông trình f( x) – g(x) = 0 treân ( a; b ) voâ nghieäm thì 
 + Phöông trình f(x) – g( x ) = 0 treân khoaûng ( a; b ) coù 2 nghieäm 
 Khi ñoù 
Laäp baûng xeùt daáu cuûa bieåu thöùc : f( x) – g(x) ( GV khuyeán khích duøng ) , roài duøng ñònh nghóa veà giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái 
Döïa vaøo ñoà thò : “ Laáy ñöôøng naèm treân tröø ñöôøng naèm döôùi “
Goïi ( H ) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : ( f ( y) , g ( y ) laø 2 haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn , f( y) g( y ) ) . thì dieän tích cuûa hình H laø :
THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI TROØN XOAY: Goïi ( H ) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : . Khi cho hình phaúng ( H ) quay quanh 0x ta thu ñöôïc moät khoái troøn xoay coù theå tích laø :
 Chuù yù : Neáu hình phaúng ( H ) 
Thì theå tích cuûa khoái troøn xoay ñöôïc sinh ra khi ta cho ( H ) quay quanh 0x laø 
CHUÛ ÑEÀ 4 : SOÁ PHÖÙC
SOÁ PHÖÙC , BIEÅU DIEÃN HÌNH HOÏC SOÁ PHÖÙC:
Soá phöùc z= x+y i , coù phaàn thöïc laø x , phaàn aûo laø y , i2 = -1
Hai soá phöùc baèng nhau :
Soá phöùc z= x+yi ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M ( x ; y ) treân maët phaúng 0xy
Moâ ñun cuûa soá phöùc z = x+yi laø
Soá phöùc lieân hôïp cuûa z = x+yi laø 
PHEÙP TOAÙN VEÀ SOÁ PHÖÙC 
 Phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc : , 
 ( ) 
Tröôøng hôïp thì phöông trình coù hai nghieäm phöùc laø :
Tröôøng hôïp “ Giaûi khoâng ñöôïc nöõa thì mua siroâ ñoå söõa voâ uoáng cheát cho roài “
CHUÛ ÑEÀ 5 : PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
TOAÏ ÑOÄ CUÛA VEÙC TÔ VAØ CUÛA ÑIEÅM
Cho 2 veùc tô 
 `
 cuøng phöông 
Toaï ñoä cuûa veùc tô 
Toaï ñoä trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB :
Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC : 
TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VEÙC TÔ :
ÑN : 
Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa tích voâ höôùng :
ÖÙng duïng cuûa tích voâ höôùng :
Goùc giöõa hai veùc tô : 
Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD laø 
Ñöôøng thaúng AB vuoâng goùc vôùi CD 
Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm 
PHÖÔNG TRÌNH MAËT CAÀU : 
Maët caàu ( S ) ñöôïc xaùc ñònh : coù phöông trình :
Maët caàu ( S ) coù phöông trình :, coù taâm , baùn kính 
Maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu ( S ) ( I ; R ) , Taâm I ( a; b; c) 
 laø tieáp dieän cuûa maët caàu ( S ) taïi H thì ñöôïc xaùc ñònh :
PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG :
Maët phaúng ñöôïc xaùc ñònh : coù phöông trình toång quaùt laø 
Hai veùc tô khoâng cuøng phöông coù giaù song song ( hoaëc naèm treân )thì VTPT cuûa laø :
CAÙC DAÏNG TOAÙN THÖÔØNG GAËP VEÀ LAÄP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG :
Ñi qua 2 ñieåm A. B , C khoâng thaúng haøng , mp ( ABC ) ñöôïc xaùc ñònh 
 chöùa ñieåm M0 vaø song song vôùi , thì ñöôïc xaùc ñònh 
Caùch khaùc : phöông trình maët phaúng coù daïng , thay toaï ñoä cuûa M0 vaøo ñeå tìm m
 Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén : Maët phaúng ñi qua 3 ñieåm A ( a; 0 ; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0;0; c ) coù phöông trình laø :
 chöùa2 ñieåm N , M vaø vuoâng goùc vôùi :
 ñöôïc xaùc ñònh 
Maët phaúng toaï ñoä 0xy coù phöông trình z = 0 , 0xz coù phöông trình y=0
Maët phaúng ñi qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng coù phöông trình tham soá ( xem phaàn sau ) : ñöôïc xaùc ñònh 
 chöùa 2 ñöôøng thaúng caét nhau coù phöông trình vaø 
 ñöôïc xaùc ñònh :
 chöùa 2 ñöôøng thaúng song song nhau coù phöông trình 
 ñi qua vaø coù VTCP 
 , ñi qua vaø coù VTCP 
 ñöôïc xaùc ñònh :
 chöùa ñöôøng thaúng ñi qua vaø coù VTCP , vaø song song vôùi , coù VTCP ( vaø cheùo nhau ) 
 ñöôïc xaùc ñònh :
 song song vôùi maët phaúng , vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu ( S ) taâm I ( a; b ) baùn kính R .
 song song vôùi neân phöông trình cuûa coù daïng 
 tieáp xuùc vôùi ( S ) ( hay ta coøn goïi laø tieáp dieän cuûa maët maët caàu ) ( * ) 
Giaûi phöông trình (*) ta tìm ñöôïc m .
 tieáp xuùc vôùi maët caàu ( S ) taâm I baùn kính R taïi H : ñöôïc xaùc ñònh 
PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG :
PHÖÔNG TRÌNH THAM SOÁ , PHÖÔNG TRÌNH CHÍNH TAÉC : 
Ñöôøng thaúng ñöôïc xaùc ñònh :
Coù phöông trình tham soá laø : 
Phöông trình chính taéc laø :
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA 2 ÑÖÔØNG THAÚNG :
Trong khoâng gian 0xyz cho 2 ñöôøng thaúng coù VTCP laø 
	 coù VTCP laø 
	 - 
	 - 
	 - vaø caét nhau khi heä phöông trình sau ñaây coù nghieäm t : ( I ) 
( ñeå coù ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm ta caàn thay t vaøo pt cuûa hoaëc t1 vaøo phöông trình cuûa ) 
- vaø cheùo nhau 
BAØI TOAÙN VEÀ HÌNH CHIEÁU VUOÂNG GOÙC :
Hình chieáu vuoâng goùc cuûa 1 ñieåm leân maët phaúng :
Laäp phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ( d ) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi , d ñöôïc xaùc ñònh : 
Goïi H laø hình chieáu cuûa A leân thì H laø giao cuûa d vaø , neân giaûi heä goàm pt cuûa d vaø ta tìm ñöôïc toaï ñoä cuûa H .
Caùch khaùc : Goïi H ( x;y;z) laø hình chieáu cuûa A leân ta coù heä : , Giaûi heä tìm ñöôïc x,y,z 
Chuù yù : Khi A= 0 ( hoaëc B= 0 , C=0 ) .Thì ta neân ñöa heä veà daïng sau : 
 Ñaëc bieät : Hình chieáu cuûa ñieåm leân caùc maët phaúng toaï ñoä 0xy , 0xz , 0yz laàn löôït laø ,,
Hình chieáu cuûa ñieåm leân treân 1 ñöôøng thaúng 
Laäp phöông trình maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi , thì ñöôïc xaùc ñònh 
Goïi H laø hình chieáu cuûa A leân thì H = neân toaï ñoä cuûa H laø nghieäm cuûa heä goàm phöông trình cuûa vaø . Töø ñaây ta suy ra ñieåm H
Caùch khaùc : Goïi H laø hình chieáu cuûa A leân 
	Giaûi heä treân ta tìm ñöôïc H .
 Ñaëc bieät : Hình chieáu cuûa ñieåm leân treân caùc truïc toaï ñoä 0x , 0y , 0z laàn löôït laø 
Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau : 
Cho 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau laàn löôït coù phöông trình :
 coù VTCP laø vaø coù VTCP laø 
Tìm ñöôøng vuoâng goùc chung ( d ) ? :
Böôùc 1 : Xaùc ñònh ñoaïn vuoâng goùc chung AB 
Goïi AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa , . Ta coù :
 , Giaûi heä phöông trình ( * ) ta seõ tìm ñöôïc tham soá t vaø t1 , töø ñaây suy ra A , B
Böôùc 2 : Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung (d) 
Ñöôøng vuoâng goùc chung ( d) cuûa laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A , B ñöôïc xaùc ñònh :
BAØI TOAÙN VEÀ KHOAÛNG CAÙCH : 
Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng 
Khoaûng caùch töø 1 ñöôøng thaúng ñeán moät maët phaúng song song vôùi noù ?
Laáy 1 ñieåm naèm treân ( chaúng haïn ) , tính khoaûng caùch töø M0 ñeán 
Keát luaän 
(Nghóa laø k/c giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song baèng k/c töø 1 ñieåm M baát kì cuûa ñöôøng thaúng naøy ñeán mp song song vôùi noù )
Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song : , ( )
Laáy 1 ñieåm M tuyø yù treân ( chaúng haïn ) , Tính khoaûng caùch töø M ñeán 
Keát luaän ( Nghóa laø k/c giöõa hai maët phaúng song song baèng k/c töø 1 ñieåm M baát kì cuûa mp naøy ñeán mp kia )
Khoaûng caùch töø 1 ñieåm ñeán 1 ñöôøng thaúng 
Xaùc ñònh toaï ñoä H laø hình chieáu cuûa A leân ( xem laïi PP giaûi )
Keát luaän 
Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau , 
Xaùc ñònh ñoaïn vuoâng goùc AB ? ( Xem laïi PP ) 
Keát luaän 
Caùch khaùc :
Laäp phöông trình maët phaúng chöùa vaø song song vôùi ( Xem PP ) 
Tính khoaûng caùch töø ñieåm B tuyø yù treân ñeán ( K/c giöõa ñöôøng song song vôùi maët ) 
Keát luaän 
Chuù yù : muoán tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng thì ta caàn xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai 
 ñöôøng thaúng ñoù 
6. GIAO ÑIEÅM CUÛA ÑÖÔØNG VAØ MAËT PHAÚNG : “ mieãn trình baøy “ 
	7. GIAO ÑIEÅM CUÛA MAËT PHAÚNG VAØ MAËT CAÀU 
	Cho vaø maët caàu ( S ) coù taâm I ( a;b;c ) baùn kính R . Xeùt vò trí töông ñoái cuûa vaø maët caàu ( S ) 
 Böôùc 1 : Tính 
	Böôùc 2 : So saùnh d vaø R 
Neáu 
Neáu , Khi ñoù goïi laø tieáp dieän cuûa ( S ) , coøn H laø hình chieáu cuûa I leân ( ñaõ trình baøy ) 
Neáu , ñöôøng troøn ( C ) ñöôïc xaùc ñònh 
CHUÛ ÑEÀ 6 : KHOÁI ÑA DIEÄN , MAËT CAÀU, MAËT TRUÏ , MAËT MOÙN
Coâng thöùc tính theå tích khoái laêng truï : V= B.h ( B laø dieän tích ñaùy , h laø chieàu cao ) 
Coâng thöùc tính theå tích khoái choùp : (B laø dieän tích ñaùy , h laø chieàu cao )
Dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ( r laø baùn kính ñöôøng troøn ñaùy , l laø ñöôøng sinh ) 
Theå tích cuûa hình noùn : ( r laø baùn kính ñöôøng troøn ñaùy , h laø chieàu cao ) 
Dieän tích xung quanh cuûa hình truï : ( r laø baùn kính ñöôøng troøn ñaùy , l laø ñöôøng sinh ) 
Theå tích cuûa khoái truï : ( b laø dieän tích ñaùy , h laø chieàu cao )
Dieän tích maët caàu : 
Theå tích cuûa khoái caàu : ( r laø baùn kính cuûa maët caàu )
Neáu ñaùy laø moät tam giaùc ABC ta thöôøng duøng coâng thöùc sau ñeå tính dieän tích 
Hai coâng thöùc khi naøo bí quaù thì duøng : 
	- Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ( hình veõ ) tuøy yù . Neáu caùc em duøng coâng thöùc nhö treân ñeå trình baøy : Tính chieàu cao töùc laø k/c töø 1 ñieåm ñeán moät maët phaúng , dieän tích ña giaùc ñaùy . Ñeå maát thôøi gian ta neân duøng coâng thöùc trong saùch naâng cao : 
	 ( 3 veùc tô naøy phaûi thoûa ñk laø khoâng ñoàng phaúng ) 
Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng cuøng naèm trong moät maët phaúng ( H veõ ) : ( nghóa laø caét nhau , song song , truøng nhau ) , ta cm 3 veùc tô sau ñoàng phaúng : ñoàng phaúng 
.HEÁT .