Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

h loâgarit cô baûn 
 Daïng: log x ba = , (a > 0, a ≠ 1). 
 Ta coù: log = ⇔ = bx b x aa 
b. Phương pháp giải PT lôgarit thường gặp 
- Đưa về cùng cơ số. 
- Đặt ẩn phụ (không cần đặt điều kiện cho ẩn phụ). 
- Mũ hoá. 
Chú ý: Các em nắm thật vững hai phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ để giải PT, BPT mũ, 
lôgarit. Còn phương pháp thứ 3 tương đối khó chỉ nên tham khảo thêm. 
6. Một số dạng phương trình (BPT) mũ, lôgarit thường gặp 
a. Các dạng cơ bản 
a > 0, 1a ≠ a > 1 0 < a < 1 
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= ⇔ = 
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>

= ⇔ >

=
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > 
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) ( )a a
g xf x g x f x g x
>
> ⇔ 
>
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > 
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) ( )a a
f xf x g x f x g x
>
> ⇔ 
<
b. Vận dụng 
Dạng toán Ví dụ 
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 
2
. . 0x xm a n a p+ + = (1) 
Phương pháp 
- Đặt xt a= , (t > 0). Ta được PT: 2. . 0m t n t p+ + = 
- Giải phương trình trên tìm nghiệm t (nhớ với điều 
kiện t > 0). 
- Giải phương trình logx aa t x t= ⇔ = . 
- Kết luận, nghiệm của (1). 
Ví dụ: Giải phương trình 2 13 4.3 1 0x x+ − + = . 
Giải 
2 1 23 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0x x x x+ − + = ⇔ − + = 
Đặt t = 3x (t > 0), ta được phương trình 
2
1
3 4 1 0 1
3
=
− + = ⇔ 
=
t
t t
t
Với t = 1 33 1 log 1 0x x⇔ = ⇔ = = . 
Với t = 3
1 1 13 3 log 1
3 3 3
x x⇔ = ⇔ = = − . 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = -1. 
Dạng 2: . . 0x xm a n a p−+ + = hay . 0x
x
n
m a p
a
+ + = . 
Phương pháp 
- Đặt xt a= , (t > 0). Khi đó 1 1x
x
a
a t
−
= = . 
- Thay vào PT đã cho giải tìm t (t > 0). Rồi tìm x. 
- Kết luận, nghiệm của PT. 
Ví dụ: Giải phương trình 16 6 5 0x x−− − = . 
Giải 
1 66 6 5 0 6 5 0
6
x x x
x
−
− − = ⇔ − − = 
Đặt t = 6x (t > 0), ta được phương trình 
2 6€ (nhan)6 5 0 5 6 0
1€(loai)
t ä
t t t
t t ï
 =
− − = ⇔ − − = ⇔ 
= −
. 
Với t = 6 66 6 log 6 1⇔ = ⇔ = =x x . 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 17 – MATHVN.COM 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6. 
Dạng 3: BPT mũ ( ) ( ) , (0 1)f x g xa a a≤ < ≠ . 
Phương pháp 
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) ≥ g(x) (BPT đổi chiều). 
- Nếu a > 1, ta có f(x) ≤ g(x). 
Với BPT ( )f xa c≤ 
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) ≥ loga c (BPT đổi 
chiều) 
- Nếu a > 1, ta có f(x) ≤ loga c . 
Ví dụ: Giải bất phương trình 2 3 12
4
x x− ≤ . 
Giải 
2 23 3 2 212 2 2 3 2
4
x x x x
x x
− − −≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ − 
2 3 2 0 1 2x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2]. 
Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng 
log ( ) log ( )a af x g x= . 
Phương pháp 
- Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ lôgarit 
để biến đổi. 
- Cần chú ý đến ĐK của các biểu thức dưới dấu 
lôgarit. 
Ví dụ: Giải phương trình 3 9log (9 ) log 5x x+ = . 
Giải 
Điều kiện: 0 0
9 0
x
x
x
>
⇔ >
>
. Khi đó: 
 23 9 3 3 3log (9 ) log 5 log 9 log log 5x x x x+ = ⇔ + + = 
3 3 3
2
3
1 32 log log 5 log 3
2 2
log 2 3 9.
x x x
x x
⇔ + + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 9. 
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lôgarit 
2
.log ( ) .log ( ) 0a am f x n f x p+ + = . 
Phương pháp 
- ĐK: f(x) > 0. 
- Đặt log ( )at f x= , ta được 2. . 0m t n t p+ + = . Giải 
phương trình tìm t. 
- Giải PT log ( ) ( ) ta f x t f x a= ⇔ = để tìm x. 
- Kết luận nghiệm. 
Ví dụ: Giải phương trình 22 24log 3log 10 0x x− − = . 
Giải 
Điều kiện: 0x > . 
Đặt 2logt x= , ta được PT 24 3 10 0t t− − = . 
Giải PT này được t = 2 ; t = 5
4
− . 
 Với t = 2, ta có 22log 2 2 4x x= ⇔ = = . 
 Với t = 5
4
− , ta có 
5
4
2
5log 2
4
x x
−
= − ⇔ = . 
Dạng 6: BPT lôgarit 
log ( ) log ( ), (0 1)a af x g x a< < ≠ . 
Phương pháp 
- ĐK: 
( ) 0
( ) 0
f x
g x
>

>
. 
- Nếu 0 g(x) (BPT đổi chiều). 
- Nếu a > 1, ta có f(x) < g(x). 
Với BPT log ( )a f x c≤ 
- Nếu 0 < a < 1, ta có ( ) cf x a≥ (BPT đổi chiều) 
- Nếu a > 1, ta có f(x) ≤ ca . 
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: 
a. 2 2log log (3 1)x x≥ − ; 
b. 1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)x x− > + . 
Giải 
a. Điều kiện: 0 1
3 1 0 3
x
x
x
>
⇔ >
− >
. Khi đó: 
2 2
1log log (3 1) 3 1 2 1
2
x x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ . 
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là: 1 1;
3 2
T  =  
. 
b. Điều kiện: 2 1 0 1
2 0 2
x
x
x
− >
⇔ >
+ >
. Khi đó: 
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3x x x x x− > + ⇔ − < + ⇔ < . 
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là: 1 ;3
2
T  =  
 
. 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 18 – MATHVN.COM 
BÀI TẬP 
Bài tập 1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Hãy tính: 
a. 
40,75
31 1
16 8
− −
   
+   
   
b. 2 3 5 52 .8− 
c. 
2
1,5 3(0,04) .(0,125)−− 
d. 2 3 3 1 2 3(4 4 ).2− −− 
e. 
5 42 3
5 45 0,2
− −
−   
+   
  
f. 3 31 2 2 23 : 9+ 
g. 
9 2 6 4
7 7 5 58 :8 3 .3− 
h. 
2 7
2 7 1 7
10
2 .5
+
+ +
i. 3 2 1 2 4 28 .4 .2+ − − − 
j. 102 2log 710 + 
k. 3 812 log 2 4 log 29 + 
l. 9log 273 
m. 2log 324 
m. 21 log 38 − 
o. 49log 157 
p. 
5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +
Bài tập 2. Giải các phương trình sau: 
a. 
2 3 22 4x x− + = b. 3 1 2(0,5) .(0,5) 2x x− − = 
 c. 2 1 23 3 108x x− + = d. 1 12 2 2 28+ −+ + =x x x 
Bài tập 3. Giải các phương trình sau: 
a. 3.9 3 2 0− − =x x 
b. 2 22 9.2 2 0x x+ − + = 
c. 1 19 36.3 3 0+ −− + =x x 
d. 14 10.2 24−− =x x 
e. 2 1 15 5 250− ++ =x x 
f. 2 6 72 2 17 0+ ++ − =x x 
i. 2 13 9.3 6 0x x+ − + = 
j. 6 33. 2 0x xe e− + = 
k. 33 3 12 0x x−+ − = 
l. 1 35 5 26− −+ =x x 
m. 12 2 3 0−+ − =x x 
n. 16 6 5 0x x−− − = 
o. 1 33 5.3 12x x+ −− = 
p. 17 2.7 9 0x x−+ − = 
q. 
3 11 1 128 0
4 8
−
   
− − =   
   
x x
r. ( ) ( )2 3 2 3 14x x− + + = 
Bài tập 4. Giải các phương trình sau: 
a. 4 4log (5 2 ) log ( 3)x x− = + 
b 2 2log ( 1) 1 logx x+ = + 
c. 4 2log log (4 ) 5x x+ = 
d. 3 9log (9 ) log 5x x+ = 
e. 3 3 3log ( 2) log ( 2) log 5x x+ + − = 
f. 2 2 2log ( 2) log ( 3) log 12x x− + − = 
g. 2 2log ( 2) log ( 3) 1− + − =x x 
h. 2 2log log ( 1) 1x x+ − = 
i. 6 1
6
log ( 4) log ( 1) 1− − + =x x 
j. 4 4 4log ( 3) log ( 1) 2 log 8+ − − = −x x 
k. 2 3 4log (log (log )) 0=x 
l. 1 4
4
log (3 1) log (2 3 )x x+ = − 
m. 3 3 3log (9 1) log (2.3 1) log 2+ − − =x x 
n. 1 4
4
log ( 5) 2log ( 1) 0+ + − =x xe e 
o. 2
2
1log 1
log
= +x
x
p. 24 4log 2log 1 0− + =x x 
q. 2 32 2log log 4 0+ − =x x 
r. 22 2log 3log 10 0− − =x x 
Bài tập 5. Giải các bất phương trình sau: 
a. 
2
22 3 2 17
7
x
x x− +  <  
 
b. 
2 3 12
4
x x− ≤ 
c. 
1
1 15
25
x
x+  <  
 
d. 
2 1 3 22 5
5 2
x x− − +
   
>   
   
e. 
2 31 9
3
x x−
  ≥ 
 
f. 2 1 17 2 5.7 2x x x x+ − −− ≤ − 
g. 
2 2 2 21 1 22 3 3 2x x x x− − +− > − 
h. 9 3 2 0− + ≥x x 
i. 49 6.7 7 0x x− − < 
j. 2 15 5 4+ > +x x 
Bài tập 6. Giải các bất phương trình sau: 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 19 – MATHVN.COM 
a. 2 2log log (3 1)x x≥ − 
b. 2 22 log ( 1) log (5 ) 1 0x x− − − − ≤ 
c. 12
2
log ( 2) log (3 ) 4x x+ + − ≥ 
d. 1
2
log (2 4) 1x + ≥ 
e. 1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)x x− > + 
f. 2 2log log (3 1)x x≥ − 
g. 2 22 log ( 1) log (5 ) 1 0x x− − − − ≤ 
h. 12
2
log ( 2) log (3 ) 4x x+ + − ≥ 
 i. 21 2
2
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥ 
j. 1 5 1
5 5
log log ( 2) log 3x x− − < 
k. + − >3 51
2
log (2 15) 0x 
l. 23 1
2
1log log 1
16
x
  
+ >  
  
m. 2 24 4log ( 2 ) log ( 4)x x x− > + 
n. 23 3log 2 5log 2 4 0x x− + < 
---------------------------------------- Hết chương II ---------------------------------------- 
Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG 
1. Định nghĩa nguyên hàm 
 Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân K. 
 Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) neáu F’(x) = f(x) vôùi moïi x ∈ K. 
2. Bảng nguyên hàm 
Hàm số sơ cấp Nguyên hàm bổ sung 

 dx x C= +∫ 

 
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +∫
+
 
 cos sinxdx x C= +∫ 
 
 sin cosxdx x C= − +∫ 
 
 2
1
tan
cos
dx x C
x
= +∫ 
 
 2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +∫ 
 ln
x x
dx
x C
x
e dx e C
= +∫
= +∫




 
 
ln
x
x aa dx C
a
= +∫ 

 ( )ax b dxα+∫ 11 1. ( )1 ax b Ca
α
α
+
= + +
+

 1ax b ax be dx e C
a
+ +
= +∫ 

 1 1 lndx ax b C
ax b a
= + +∫
+

 cos( )ax b dx+∫ 1 sin( )ax b C
a
= + + 

 sin( )ax b du+∫ 1 cos( )ax b C
a
= − + + 
 
 
sin
tan ln | |
os
x
xdx dx cosx C
c x
= = − +∫ ∫ 
 
 
os
cot ln | sin |
sinx
c x
xdx dx x C= = +∫ ∫ 
3. Định nghĩa tích phân 
Cho f(x) laø haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b]. Giaû söû F(x) laø 1 nguyeân haøm cuûa f(x) treân ñoaïn [a ; b]. 
Hieäu soá F(b) – F(a) ñöôïc goïi laø tích phaân töø a ñeán b cuûa haøm soá f(x). Kí hieäu: ( )
b f x dx
a
∫ . 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 20 – MATHVN.COM 
Coâng thức: ( ) ( ) | ( ) ( )b b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫ 
4. Các bài toán đổi biến số 
Bài toán Ví dụ 
Bài toán 1: [ ]( ) . '( )b
a
f u x u x dx∫ 
Phương pháp: - Đặt ( ) '( )t u x dt u x dx= ⇒ = 
 - Đổi cận: 
x b t
x a t
β
α



= ⇒ =
= ⇒ =
 - Thế: [ ]( ) . '( ) ( )b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
=∫ ∫ 
Ví dụ: Tính 
2
sin
0
.cosxI e xdx
pi
= ∫ 
Giải 
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx 
Đổi cận: 12
0 0
x t
x t
pi



= ⇒ =
= ⇒ =
1
1 1 0
0
0
1t tI e dx e e e e⇒ = = = − = −∫ 
Bài toán 2: . '( )( )
b
a
u xu x dx∫ 
Phương pháp: - Đặt 2( ) ( )t u x t u x= ⇒ = 
 2 '( )tdt u x dx⇒ = 
 - Đổi cận. 
 - Thế vào. 
Ví dụ: Tính 
1
2
0
1I x x dx= +∫ 
Giải 
Đặt 2 2 21 1 2 2t x t x tdt xdx= + ⇒ = + ⇒ = 
 tdt xdx⇒ = 
Đổi cận: 1 2
0 1
x t
x t



= ⇒ =
= ⇒ =
2 2
2 3 2
1
1 1
1 1
. 2 2 1
3 3
I t tdt t dt t   ⇒ = = = = −∫ ∫ 
Bài toán 3: 
2
2 2
0
a
a x dx−∫ 
Phương pháp: Đặt sin cosx a t dx a t= ⇒ = 
Bài toán 4: 2 2
0
1a dx
a x
∫
+
Phương pháp 
Đặt 2tan (1 tan )x a t dx a t dt= ⇒ = + 
Chú ý: Các em nên tập trung vào 2 bài toán đầu, còn 2 bài toán sau chỉ nên tham khảo. 
BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau: 
1. 
6
0
2
pi
∫ cos xdx 
2. 
2
3
0
sin cosx xdx
pi
∫ 
3. 
2
3
0
cos sinx xdx
pi
∫ 
4. 
2
2
0
sin xdx
pi
∫ 
6. 
2
0
cos
3 sin
x dx
x
pi
+∫
7. 
2
0
sin
1 s
pi
−
∫
x dx
co x
8. 
6
sin
0
cosxe xdx
pi
∫ 
9. 
6
0
2 1 4sin 3 .cos3x xdx
pi
+∫ 
11. 
6
3
(cos 1)sinx xdx
pi
pi
+∫ 
12. 
4
2
0
sin 2
4 cos
x dx
x
pi
−
∫ 
13. 
2
5
1
(2 1)x dx−∫ 
14. 
1 2
3
0 1
x dx
x+
∫ 
15. 
1
2 3 4
1
(1 )x x dx
−
−∫ 
16. 
1
0
3 1x dx+∫ 
17. 
2
2
0
4 .x xdx−∫ 
18. 
2
1
0
.
xe xdx−∫ 
19. 
ln 3
0 1
x
x
e dx
e +
∫ 
20. 
ln 5
ln 2
( 1)
1
x x
x
e e dx
e
+
+
∫ 
21. 
2
2
1
(6 4 1)x x dx− +∫ 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 21 – MATHVN.COM 
5. 
4
0
tan xdx
pi
∫ 10. 
2
0
(2sin 3)cosx xdx
pi
+∫ 
5. Phương pháp tích phân từng phần 
a. Công thức |b bb
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫ 
b. Các bài toán tích phân từng phần 
Bài toán Ví dụ 
Bài toán 1: ( )
b
x
a
P x e dx∫ 
Phương pháp: Đặt 
( )
x
u P x
dv e dx



=
=
Ví dụ: Tính tích phân 
1
0
xI xe dx= ∫ . 
Giải. Ñaët 
x x
u x du dx
dv e dx v e
= ⇒ =

= ⇒ =
Vaäy 
1
1 1
0 0
0
( ) | | ( 1) 1x x xI xe e dx e e e e= − = − = − − =∫ . 
Bài toán 2: ( )sin
b
a
P x xdx∫ 
Phương pháp: Đặt ( )
sin
u P x
dv xdx



=
=
Ví dụ: Tính tích phân 
2
0
(2 1)sin
pi
= +∫I x xdx . 
Giải. Ñaët 2 1 2
sin cos
= + ⇒ =

= ⇒ = −
u x du dx
dv xdx v x
Vaäy [ ] 220
0
(2 1)cos | 2 cos
pi
pi
= − + + ∫I x x xdx 
 201 2sin | 1 2 3
pi
= + = + =x . 
Bài toán 3: ( )
b
a
P x cosxdx∫ 
Phương pháp: Đặt ( )
sin
u P x
dv xdx



=
=
Ví dụ: Tính tích phân 
2
0
(1 ) os
pi
= −∫I x c xdx . 
Giải. Ñaët 1
cos
= − ⇒ = −

= ⇒ =
u x du dx
dv xdx v sinx
Vaäy [ ] 220
0
(1 )sin | sin
pi
pi
= − + ∫I x x xdx 
 201 cos | 1 12 2 2
pipi pi pi
= − + = − − = −x . 
Bài toán 4: ( ) ln
b
a
P x xdx∫ 
Phương pháp: Đặt ln ( )
u x
dv P x dx



=
=
Ví dụ: Tính tích phân 
2
1
2 lnI x xdx= ∫ . 
Giải. Ñaët 
2
1ln
2
u x du dx
x
dv xdx v x

= ⇒ =


= ⇒ =
Vaäy 
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1( ln ) | ( ln ) | |
2
I x x xdx x x x= − = −∫ 
34ln 2
2
= − . 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 22 – MATHVN.COM 
BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau: 
1. 
2
0
(2 1)x cosxdx
pi
−∫ 
2. 
4
0
(2 3)sinx xdx
pi
+∫ 
3. 
0
(1 )sin 2x xdx
pi
−∫ 
4. 
2
0
(1 )
pi
+∫ x cosx dx 
5. 
1
0
(2 )xx xe dx+∫ 
6. 
1
0
(2 1) xx e dx+∫ 
7. 
1
0
2 . xx e dx−∫ 
8. 
2
0
(5 2 ) xx e dx−∫ 
9. 
1
0
ln(1 )x dx+∫ 
10. 
3
1
2 lnx xdx∫ 
11. 
2
2
1
lnx xdx∫ 
6. Diện tích hình phẳng 
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b. 
Phương pháp 
- Giải phương trình y = f(x) = 0 tìm nghiệm trên đoạn [a ; b]. 
- Nếu không có nghiệm nào ∈ [a ; b] thì áp dụng công thức: 
| ( ) | ( )b b
a a
S f x dx f x dx= =∫ ∫ 
 - Nếu có 1 nghiệm c ∈ [a ; b] thì áp dụng công thức (tương tự nếu có 2, 3  nghiệm) 
| ( ) | ( ) ( )b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx= = +∫ ∫ ∫ 
Ví dụ. Tính dieän tích cuûa hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2 2y x x= − , truïc Ox, hai ñöôøng 
thaúng x = -1, x = 1. 
Giải 
Ñaët y = f(x) = 2 2x x− . Ta coù f(x) = 0 2 2 0x x⇔ − = ⇔ x = 0 hoaëc x = 2 (loaïi). 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 
1 0 1
2 2 2
1 1 0
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )S x x dx x x dx x x dx
− −
= − = − + −∫ ∫ ∫
3 30 1
2 2
1 0
4
3 3 3
x x
x x
−
   
= − + − =   
   
 (ñvdt). 
BÀI TẬP 
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x x= − ; y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ; 
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 23y x x= + , trục hoành và các đường thẳng 
x = - 2, x = 1 ; 
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 đường y = f1(x), y = f2(x). 
Phương pháp 
- Hoành độ giao điểm của 2 đường y = f1(x), y = f2(x) là nghiệm của phương trình f1(x) = f2(x). 
 Giả sử giải được 2 nghiệm x = a và x = b. 
- Diện tích S được tính theo công thức: 
[ ]1 2 1 2| ( ) ( ) | ( ) ( )
b b
a a
S f x f x dx f x f x dx= − = −∫ ∫ 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 23 – MATHVN.COM 
Ví dụ. Tính dieän tích cuûa hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2 2y x x= − vaø y = x. 
Giải 
 Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cong laø nghieäm cuûa phöông trình 2 22 3 0x x x x x− = ⇔ − = . 
 Giaûi PT ta ñöôïc x = 0 hoaëc x = 3. 
 Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: 
3 3 3 3
2 2 2
00 0
3| 3 | ( 3 )
3 2
xS x x dx x x dx x = − = − = − 
 
∫ ∫
3
23 3 9
.3 0
3 2 2
 
= − − = 
 
 (ñvdt) . 
BÀI TẬP 
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 6= +y x , y = 5x ; 
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số xy e= , y = 2 và đường thẳng x = 1 ; 
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0 và đường thẳng x = e. 
 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 6y x x= − + , y = 0 (TN THPT 2007). 
7. Cho hàm số 3 23y x x= − + có đồ thị (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và 
 trục hoành (TN THPT 2006). 
7. Thể tích vật thể tròn xoay 
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C) y = f(x), trục Ox, 
hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là: 
[ ]2( )b
a
V f x dxpi= ∫ 
Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) 22y x x= − , trục 
Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2. 
Giải 
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 
2 2
2 2 2 3 4
0 0
( )2 (4 4 )pi pi= − = − +∫ ∫V x x dx x x x dx
3 5 2
4
0
4 16
3 5 5
pi
pi
 
 
 
= − + =
x x
x (đvtt) 
BÀI TẬP 
1. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 
cosx, trục hoành và hai đường thẳng ;
6 2
x x
pi pi
= = quay quanh trục hoành ; 
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x = 
2
pi
. Tính thể tích của khối 
tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành ; 
3. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (2 1)siny x x= + , y = 0, x = 0, x = 
2
pi
. Tính thể tích 
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 
---------------------------------------- Hết chương III ---------------------------------------- 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 24 – MATHVN.COM 
Chương IV SỐ PHỨC 
1. Định nghĩa 
 Số phức là một biểu thức có dạng: 
với ,a b R∈ , 2 1i = − . 
 Tập hợp các số phức kí hiệu là: ℂ 
2. Số phức liên hợp 
 Số phức liên hợp của z = a + bi là: 
3. Mô đun của số phức 
 Mô đun của z = a + bi là: 
2 2| |z a b= + 
4. Các phép toán cộng, trừ, nhân số phức 
 Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có: 
a = a'
 z = z'
b = b'
 z + z' = (a + a' ) + (b + b')i
 z - z' = (a - a') + (b - b')i
 z.z' = (a.a' - b.b') + (ab' + a'b)i

⇔ 









5. Phép chia 
 Cho z = a + bi, z’ = c + di ≠ 0 
2 2
( )( )
'
z a bi a bi c di
z c di c d
+ + −
= =
+ +
6. Nghịch đảo của số phức 
 Số phức nghịch đảo của z = a + bi là: 
2 2
1 1 a bi
z a bi a b
−
= =
+ +
7. Phép cộng và nhân hai số phức liên hợp 
 Cho số phức z = a + bi, gọi z = a – bi là số phức 
liên hợp của z. Ta có: 
2 2
 2
 .
+ =
= +




z z a
z z a b
8. Căn bậc hai của số thực âm và phương trình 
bậc hai hệ số thực 
- Căn bậc hai của số thực a âm là: | |i a± . 
- Cho PT bậc hai 2 0ax bx c+ + = (a, b, c∈ R,a ≠ 0). 
Có biệt thức 2 4b ac∆ = − . Khi đó ta có bảng: 
∆ Phương trình 2 0ax bx c+ + = 
∆ > 0 
Có 2 nghiệm thực phân biệt 
1,2 2
b
x
a
− ± ∆
= 
∆ = 0 
Có 1 nghiệm thực 
2
b
x
a
= − 
∆ < 0 
Có 2 nghiệm phức liên hợp 
1,2
| |
2
b i
x
a
− ± ∆
= 
BÀI TẬP 
Bài tập 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 1. 2 2(1 3 ) (1 3 )P i i= + + − (TN THPT 2008) 2. 2(1 2 ) 2 3P i i= − + − 
 3. 3 22 1
2 3
iP i
i
+
= − +
−
 4. 3(2 1) 5 2P i i= − + − 
Bài tập 2. Tìm môđun của số phức z, biết: 
 1. ( 2 3 )( 3 2 )z i i= + − 2. 4 5 (6 3 )iz i i i+ + = + 
Bài tập 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức. 
 1. 4 27 18 0z z+ − = (Thi thử TN 2009) 2. 2 2 2 0x x− + = (TN THPT 2009) 
 3. 2 4 7 0x x− + = (TN THPT 2007 – Lần 1) 4. 2 6 25 0x x− + = (TN THPT 2007 – Lần 2) 
 5. 22 5 4 0x x− + = (TN THPT 2006) 6. 24 3 1 0x x− + = 
 7. 2 3 3 0x x+ + = 8. 2 4 20 0x x− + = 
---------------------------------------- Hết chương IV ---------------------------------------- 
z = a + bi 
z = a - bi 
Taøi lieäu oân thi Tø äø äø ä oát nghieäp äää THPT moân Toaùn MATHVN.COM GV: Buøi Vaên Sônø êø êø ê 
MATH.COM.VN - Trang 25 – MATHVN.COM 
Chương I + II DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH, KHỐI 
1. Thể tích hình hộp chữ nhật 
Với a, b, c lần lượt là chiều dài, rộng cao của hình 
hộp. 
2. Thể tích hình chóp 
 - S: Diện tích đáy 
 - h: Chiều cao hình chóp 
3. Thể tích hình lăng trụ 
 - S: Diện tích đáy 
 - h: Chiều cao hình lăng trụ 
4. Hình trụ 
5. Hình nón 
6. Mặt cầu 
CÁC DẠNG BÀI TẬP 
I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
Dạng 1. Hình chóp có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy B 
 Thì thể tích 1 .
3
=V B d B: Diện tích đáy; d: là chiều cao. 
Ví dụ. Tính thể tích của