Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT - Chuyên đề 6: Hình học không gian

t b ; a∥a';b∥b'với a',b'⊂(Q)
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
a/. Góc
+ Góc giữa hai đường thẳng là góc 0≤φ≤90o tạo bởi hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lầ lượt song song với hai đường thẳng đó.
+ Góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng là góc hợp bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
+ Góc hợp bởi hai mặt phẳng là góc hợp bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.
b/.Quan hệ vuông góc
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
a⊥P⇔a⊥ba⊥c ;b,c ⊂(P)
+ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và b nằm trong (P).Điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên mặt phẳng (P).
+ Đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba.
+ Hai mặt phẳng vuông góc nếu trong mặt phẳng này có một đường vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của nó vuông góc với mặt phẳng đó.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì nó song song.
c/. Khoảng cách
+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là đoạn MH với H là hình chiếu của M lên đường thẳng a.
+ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đoạn MH với H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).
+ Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
 III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
+ Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
BC2=AB2+AC2
AC2=CH.CB
AB2=BH.BC
AB.AC=AH.BC
1AH2=1AB2+1AC2
+ Định lý cosin: Tam giác ABC có ba cạnh tương ứng là a,b,c
a2=b2+c2-2.b.c.cosA
b2=a2+c2-2.a.c.cosB
c2=a2+b2-2.a.b.cosC
+ Định lý sin: asinA=bsinB=csinC=2R
+ Stamgiác=12đáy.cao=12a.hA=12b.hB=12c.hC; 
+ SABC=12b.c. sinA=12a.c.sinB=12a.b.sinC=a.b.c4R=pr;
+ Schữnhật=dài .rộng; 
+ SThoi=12tích hai đường chéo
+ Độ dài trung tuyến mA2=14(2b2+2c2-a2)
§2 PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
+ Quy tắc F trong không gian để với mỗi điểm M xác định được duy nhất M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
F:M→M'=F(M)
+ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc mp(P) thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc mp(P) thành M’ sao cho (P) là mp trung trực của MM’.
+ Phép Tịnh tiến theo vectơ v là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho MM'=v.
+ Phép đối xứng qua đường thẳng (Đ/x trục) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là trung trục của đoạn MM’.
+ Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM+OM'=0.
(không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ) ( thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì)
+ Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó.
+ Hai hình bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
+ Hai tứ diện bằng nhau nếu có các cạnh tương ứng bằng nhau.
§3.KHỐI ĐA DIỆN
Các kiến thức cần nhớ:
+ Hình đa diện gồm một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa hai điều kiện
Hai đa giác bất kì hoặc không có một điểm chung , hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình đa diện chia không gian thành hai phần( phần bên trong và phần bên ngoài ) Hình đa diện cùng với phần bên trong nó được gọi là khối đa diện.
+ Mỗi khối đa diện đều có thể phần chia thành những khối tứ diện.
+ Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
+ Có năm loại khối đa diện đều: khối tứ diện đều, khối lập phương khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
Các bài tập:
1. Khối chóp n giác có bao nhiêu cạnh,bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu mặt.
2. Khối lăng trụ n giác có bao nhiêu cạnh,bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu mặt.
3. Hình tứ diện đều, lập phương có bao nhiêu mặt đối xứng đó là những mặt nào?
§4.HÌNH CHÓP
Các kiến thức cần nhớ:
+ Hình chóp là hình đa diện có một mặt là một đa giác gọi là đáy các mặt còn lại là những tam giác có chung đỉnh, các cạnh không thuộc đa giác đáy gọi là cạnh bên.
+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
+Trong hình chóp đều:
Hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy.
Các mặt bên là các tam giác bằng nhau.
Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
+ Các công thức:
	VChóp=13.Sđáy.Chiều cao
Sxq= Tổng diện tích các mặt bên; Stp=Sxq+Sđáy
+ Tứ diện là trường hợp đặc biệt của hình chóp mà mọi mặt của nó đều có thể là đáy của hình chóp.
+ Nếu mp(P) cắt ba cạnh SA;SB;SC của tứ diện S.ABClần lượt tại A’B’C’ Thì
VS.A'B'C'VS.ABC=SA'.SB'.SC'SA.SB.SC
Tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số cạnh.
(Chú ý : Tỉ số trên chỉ áp dụng cho hình chóp có đáy là tam giác, nếu đáy hình chóp là tứ giác thì không còn đúng ).
Nếu cắt tất cả các cạnh hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy ta thu được một hình chóp và một hình chóp cụt.
Các bài tập:
Bài1: (Tứ diện đều)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. 
Chứng minh rằng nếu H là hình chiếu của A xuống mặt phẳng (BCD) thì H là trực tâm của tam giác BCD.
Tính thể tích tứ diện theo a.
Gọi I J lần lượt là trung điểm của AB và CD chứng tỏ rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp-nội tiếp tứ diện ABCD.
Giải:
Do ABCD là tứ diện đều nên AB=AC=AD
Þ HB=HC=HD vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Do tam giác BCD đều nên H vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp và cũng là trực tâm của tam giác BCD .
VABCD=13SBCD.AH
SBCD=12a.a32=a234 
Tam giác AHB vuông tại H nên AH2=AB2-BH2
Vì H là trực tâm của tam giác BCD Þ BH=23a32=a33
ÞAH=a2-a23=a23
Vậy VABCD=a3212 .
Tam giác AJB cân tại J (do AJ=BJ là đường trung tuyến của hai tam giác bằng nhau ACD và BCD)
I là trung điểm của AB nên IJ vừa là trung tuyến vừa là đường caoÞIJ^ AB
Chứng minh tương tự ta có IJ^CD.
Vậy Ị là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Do IJ là đường trung tuyến và cũng là đường trung trực của tam giác AJB nên GA=GB với G là trung điểm của IJ.
Tương tự GC=GD do IJ là đường trung trực của tam giác ICD.
Mặt khác AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên GB=GC=GD.
Vậy GA=GB=GC=GD, hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp R=AG=34.AH=a64
Thể tich khối cầu ngoại tiếp : V=4πR33=πa368
Bốn tứ diện GABC; GACD; GABD; GBCD bằng nhau.
ÞBốn đường cao kẻ từ G của bốn tứ diện bằng nhau 
Vậy G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. 
Bán kinh mặt cầu nội tiếp r=GH=14AH=a612
Vcầu=4πr33=4πa36.63.123
Chú ý: 
Trọng tâm G của tứ diện là giao điểm của đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện và là trung điểm của các đoạn nối đó.
Trọng tâm của tứ diện cũng là giao điểm của các đoạn nối đỉnh và trong tâm của mặt đối diện chia đoạn đó theo tỉ số 1/3.
Tứ diện đều có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao là trọng tâm của tứ diện.
Bài 2: (Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc)
Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=a;OB=b;OC=c.Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC).
CMR H là trực tâm của tam giác ABC.
CMR 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
CMR SOAB2+SOBC2+SOAC2=SABC2. 
Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Giải:
Ta chứng minh AH^BC thật vậy:
BC^OA (do OA^(OBC))
BC^OH (do H là hình chiếu của O)
ÞBC^(AOH) hay BC^AH.
Tương tự ta chứng minh được BH^AC hay H là trực tâm của tam giác ABC.
Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác OAB;OBC;OAC là các tam giác vuông.
Theo trên BC^(AOH) nên BC^OM 
Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên 1OM2=1OB2+1OC2
Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên 1OH2=1OA2+1OM2
Vậy 1OH2=1OA2+1OM2=1OA2+1OB2+1OC2
SOAB2+SOBC2+SOAC2=14OA2.OB2+14OM2.BC2+14OA2.OC2
=14OA2OB2+OC2+14OM2.BC2=14OA2.BC2+14OM2.BC2
=14OA2+OM2BC2=14AM2.BC2=SABC2
Vậy SOAB2+SOBC2+SOAC2=SABC2. 
Stp=SOAB+SOBC+SOAC+SABC
SOAB=12ab; SOBC=12bc; SOAC=12ac 
SABC=SOAB2+SOBC2+SOAC2=12a2b2+b2c2+a2c2
Stp=12(ab+bc+ac+a2b2+b2c2+a2c2)
VOABC=16abc. 
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng Mx vuông góc với mp(OBC) qua M.
Mặt khác I nằm trên mp trung trực của đoạn OA nên I nằm trên Mx và cách mp(OBC) một khoảng a/2.
Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 
R=OI=OM2+IM2=12a2+b2+c2
Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi giải bằng HHGT.
Bài 3: (Tứ diện trực tâm)
Cho tứ diện ABCD có AB^CD; AC^BD.
Chứng minh rằng hình chiếu A’ của A lên mp(BCD) là trực tâm của tam giác ABC.Từ đó suy ra BC^AD.
CMR đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện là khoảng cách giữa hai cặp cạnh đó.
Cho AB=AC=AD=a; BC=CD=DB=a3 tính thể tích và xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại B . Từ A kẽ AH ^ SC; AK ^ SB (HÎSC; KÎSB). Cho SA=AC=2a; AB=a.
Tính thể tích hình chóp.
Chứng minh rằng tam giác AKC vuông tại K.
Chứng minh rằng 5 điểm A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu. Tính thể tích khối cầu đó.
Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB=2R nằm trên mp(P) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A ta lấy một điểm S với SA=AB. mp(Q) qua A vuông góc SB tại K cắt SM tại H.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Gọi B’,D’lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Chứng tỏ rằng AB’ ^SC từ đó suy ra SC^ AC’.
Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’.
Tính diện tích tứ giác AB’C’D’.
Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và bằng a.
Tính thể tích khối chóp.
Tính diện tích toàn phần và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt bên đối diện của hình chóp.
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60o gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD,cắt SB tại E và SD tại F.
Chứng minh rằng AM ^ EF.
Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Tính chiều cao của hình chóp S.AEMF.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a; AD=b; SA=c Lấy các điểm B’;D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’^SB, AD’ ^SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
CMR AB’^(SBC).
CMR SC^ (AB’D’).
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 10: Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a.
Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó.
Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp.
§5. HÌNH LĂNG TRỤ
Các Kiến thức cần nhớ :
+ Hình đa diện có hai mặt là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy tất cả các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau.
+ Trong hình lăng trụ
Các cạnh bên song song và bằng nhau.
Các mặt bên và mặt chéo là những hình bình hành.
Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
+ Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là lăng trụ đứng-các mặt bên của lăng trụ đứng là hình chữ nhật
+ Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều- các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
+ Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Hình hộp có tất cả 6 mặt là hình bình hành.
+ Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. Các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
+ Hình lập phương : Là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi tất cả các mặt của nó đều là hình vuông. 
+ Các công thức Lăng trụ. 
Vlăngtrụ=Sđáy.Chiều cao
Sxq= Tổng diện tích các mặt bên; 
Stp=Sxq+2Sđáy
VHộpCN=a.b.c=Tích ba kích thước
VLậpphương=a3
Các bài tập
Bài 1: (Lăng trụ xiên)
Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a và A’A=A’B=A’C=b
Xác định đường cao của lăng trụ kẽ từ A’. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật.
Tìm b để mặt bên ABB’A’ hợp với đáy một góc 60o 
Tính thể tích và diện tích toàn phần lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được.
Giải:
a) Do A’A=A’B=A’C=b nên A’ nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì tam giác ABC đều nên A’O là đường cao của lăng trụ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Ta có BC^AO (đường cao tam giác đều)
 A’O^BC ( A’O là đường cao lăng trụ)
Þ BC^(A’AO) Þ BC^AA’
Do AA’//BB’ nên BC^BB’
Vậy BB’C’C là hình chữ nhật.
Gọi M là trung điểm AB ta có AM ^AB (tam giác A’AB cân)
CM^AB( tam giác ABC đều) Þ góc A’MC là góc hợp bởi mặt bên ABB’A’ với đáy
MA'2=AB2-MB2=b2-a24; OM=13CM=a32
cosA'MC=OMA'M=a32.24b2-a2=a34b2-a2
Để góc hợp bởi bằng 60O ta được a34b2-a2=12Û b=a
Với b=a ta có đường cao lăng trụ
 A’O=AA'2-AO2=a2-a23=a23
Vlăngtrụ=a234.a23=a324
Stp=2SABC+2SAA'B'B+SBCC'B'
SABC=a234 ;SAA'B'B=AB.AM=a.a32=a232 
SBCC'B=BC.BB'=a2
Stp=a232+a23+a2=a2(1+332)
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 6 và BCA=30°. Biết độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng 4, hãy tính thể tích của lăng trụ.
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. AC’=2a. Tính thể tích của lăng trụ .
Bài4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’D’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. H là trung điểm của B’C’, góc hợp bởi AH và (A’B’C’) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Biết rằng O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) và cạnh bên của lăng trụ bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng . Biết rằng vuông tại , , . là đường cao của và là hình chiếu của điểm B lên . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên có độ dài a. hình chiếu của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC.
Tính thể tích hình chóp.
Chứng tỏ rằng BCB’C’ là hình vuông.
Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy .
Tính diện tich xung quanh của lăng trụ.
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 1
Tính thể tích lăng trụ.
Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
Một mặt cầu (S) ngoại tiếp lăng trụ tính bán kính mặt cầu.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A khoảng cách từ AA’ tới mặt bên BCB’C’ là a, mp(ABC’) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy một góc α.
Dựng AH^BC (HÎBC); CK^AC’ (KÎAC’).chứng minh AH=a; Góc CAC’=α và CK=b 
Tính thể tích khối lăng trụ.
Cho a=b không đối còn α thay đổi. Định α dể thể tích lăng trụ nhỏ nhất.(*)
ĐS: V=a.b3sin2∝.b2-a2.sin2∝; minV=3a334
§6 KHỐI CẦU
Các kiến thức cần nhớ:
+ Mặt cầu S(O;R) là tập hợp M| OM=R. Khối cầu S(O;R) là tập hợp M| OM≤R.
+ Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay xung quanh đường kính của nó.
+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mp(P).
Nếu d > R mp(P) không cắt mặt cầu.
Nếu d = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu.
Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r=R2-d2.
+ Công thức diện tích và thể tích
Scầu=4πR2 ; Vcầu=4πR33
+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện.
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu có 
1./ Là điểm mà cách đều các đỉnh của khối đa diện.
2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà các đỉnh nhìn đoạn thẳng đó dưới một góc vuông.
3./ Là giao điểm của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện.
4./ Là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện.
+Hình chóp đều luôn nội tiếp trong một mặt cầu có tâm nằm trên đường cao của hình chóp.
+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đáy lăng trụ nội tiếp đường tròn.
Các bài toán.
Bài 1: (Tìm điểm cách đều các đỉnh)
Cho hình chóp S.ABC biết SA=SB=SC=a, ASB=60o;BSC=90o;CSA=120o.
Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện.
CMR tam giác ABC vuông tại B,
Gọi M là trung điểm AC.Tính SM và MB, chứng tỏ rằng SM ^(ABC)
Tính thể tích hình chóp S.ABC.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.(*)
Giải:
Tam giác SAB có SA=SB=a và ASB=60o nên tam giác SAB đều Þ AB=a
Tam giác SBC vuông cân tại S Þ BC=a2
Tam giác SAC cân tại S có CSA=120o áp dụng định lí hàm cos ta được
AC2=SA2+SC2-2SA.SC.Cos120o=a2+a2+a2=3a2
vậy AC=a3.
Do AC2=3a2=AB2+BC2Áp đụng định lí Pitago đảo ta được tam giác ABC vuông tại B.
M là trung điểm của AC tam giác SAC cân tại S nên SM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên SM ^AC (*)
và tam giác SAM là nửa tam giác đều vậy SM=SA2=a2
mặt khác BM là trung tuyến của tam giác vuông ABC vậy BM=AC2=a32
Xét tam giác SMB có SB2=a2=SM2+BM2Þ SM^MB (**)
Từ (*) và (**) ta được SM^(ABC).
VS.ABC=13SM.SABC=13.a2.a222=a3212.
Gọi I là điểm đối xứng của điểm S qua mp(ABC) khi đó SI qua M và vuông góc với mp(ABC).
Tam giác ABC vuông có SI là trục đường tròn nên IA=IB=IC.
mặt khác tam giác SAI đều nên IA=IS vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 2: ( Tìm giao các trục đường tròn)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 3: (Tứ diện gần đều)
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau 
AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c
Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB và CD chứng tỏ rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Chứng minh rằng trung điểm O của đoạn IJ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tính bán kính R mặt cầu theo a;b;c.(áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến AM2=14(2b2+2c2-a2) )
Chứng tỏ rằng O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Chứng tỏ rằng
VABCD=212-a2+b2+c2a2- b2+c2a2+b2-c2 (*)
§7 KHỐI TRỤ -KHỐI NÓN
Các kiến thức cần nhớ.
+ Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ song song với l.
+Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi bốn cạnh của hình chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.
+ Sxq= chu vi đường tròn đáy .chiều cao=2πRh
 Stp=Sxq+2Sđáy 
 Vtrụ=Sđáy.Cao=πR2h
+Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ cắt l nhưng không vuông góc với l.
+ Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác cân đó.
Các Bài toán.
Bài1: Một cái thùng đựng nước bằng tôn dạng hình trụ có nắp là một hình nón không có mặt đáy, biết đường kính đáy của hình trụ bằng chiều cao hình trụ và bằng 1m . Chiều cao của hình nón bằng bán kính đáy của hình trụ. Hỏi
Thùng có thể chứa được bao nhiêu lít nước ( 1lít »1dm3).
 Để làm cả thùng và nắp người ta tốn ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn.
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
Căt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục 3cm hãy tính thiết diện được tạo nên.
Bài 3: Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a.
Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó.
Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp.
Bài 4: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R)và (O’;R), OO’=R3
Một hình nón đỉnh O’ đáy là hình tròn (O;R)
Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần tính tỉ số thể tich của hai phần đó.
Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a2
Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.
Cho một dây cung của đường tròn đáy của hình nón sao cho mp(SBC) tạo với đáy hình nón một góc 60o . Tính diện tich tam giác SBC.
Tính diện tích và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.
§8 MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Đề TN năm 2006 (2điểm)
C