Tài liệu tuyển chọn chủ đề trọng tâm vào lớp 10 Toán

 
 Tài liệu sưu tầm 
TUYỂN CHỌN MỘT SỐ CHỦ ĐỀ 
TRỌNG TÂM ÔN VÀO 10 TOÁN 
 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2020 1 
 PHẦN A. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN LUYỆN 
 CHỦ ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa
Biểu thức A có nghĩa A 0. 
2. Các công thức biến đổi căn thức
Ta có các công thức biến đổi căn thức thường dùng sau đây: 
 A khi A 0
 • A2 |A| 
 A khi A 0
 • AB A. B với A 0, B 0; 
 AA
 • với A 0, B 0 ; 
 B B
 • A2 B |A| B với B 0; 
 A AB
 • với AB 0, B 0; 
 B |B|
 2
 A B khi A 0, B 0
 • AB ; 
 2
 A B khi A 0, B 0
 C C( A B)
 • với A 0,A B2 .
 AB AB 2
3. Một số dạng toán thường gặp
Trong chủ đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan, ta thường gặp các dạng
toán sau đây:
Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biến khi biết biểu thức thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Dạng 3. Rút gọn biểu thức và so sánh biểu thức với một số hoặc biểu thức cho
trước.
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tìm điều kiện của biến để biểu thức có giá trị nguyên.
Dạng 5. Rút gọn biểu thức và tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu
thức.
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A. Cho biểu thức:
 x 1 2 2x x 2 2
 A: với x 0,x 1. 
 x1 xx x x 1 x x 2 x1 
a) Rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi:
 i) x 6 4 2; 
 1
 ii) x 9 80 9 80 ;
 4 
 iii) x 33 10 6 3 10 6 3; 
 11 1
 iv) x ... ;
 1 3 3 5 79 81
 v) x là nghiệm của phương trình 2x2 3x 5 x 1; 
 vi) x là nghiệm của phương trình | 2x 6 | 3x 1;
 vii) x là giá trị làm cho biểu thức M x (1 x ) đạt giá trị lớn nhất. 
c) Tìm x để:
 1
 i) A; ii) | A | A; iii) A2 A 0.
 6
d) So sánh:
 x3 
 i) A với 1; ii) A với biểu thức N. 
 2x
 2
e)Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên. 
 A
g) Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên.
h)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 i) P A(x x 2); 
 A
 ii) Q với 0 x 4; 
 x 3x 2
 x
 iii) R với x 1.
 A
i) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 A
 i) B 2 A; ii) C với x 1. 
 x7 
k*) Tìm x thỏa mãn A( x 1) (2 6 1) x 2x 2 x 5 1. 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 
1B. Cho biểu thức: 
 2x1 x 1xx 22x
 Bx với x0 và x 1. 
 xx 1 x x 1 1 x x
a) Rút gọn B.
b)Tính giá trị của biểu thức B khi:
 i) x 7 48; 
 ii) x 11 6 2 11 6 2 ; 
 iii) x 3 52 73 52 7; 
 11 1
 iv) x ... ; 
 1 4 4 7 97 100
 v) x là nghiệm của phương trình: x2 x 2 x; 
 vi) x là nghiệm phương trình | x 1| | 2x 5 |;
 vii) x là giá trị làm cho biểu thức P x 4x 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 
c) Tìm x để:
 3x 4
 i) B 0; ii) B 0.
 x
d) So sánh:
 x 3x
 i) B với 2 ii) B với C. 
 x
e)Tìm x để B nhận giá trị nguyên.
g) Xét dấu biểu thức T B( x 1). 
h)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 B
 i) B; ii) D B x; iii) E. 
 x
i) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 i) G 3 B; ii) Q 1 B x. 
k*) Tìm x thỏa mãn B x (2 3 3) x 3x 4 x 1 10. 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
2. Cho biểu thức
 x 2x 2x x 1 2x 2
 C: với x 0,x 4 và x 9. 
 x 4x 44x x 2x x x 
a) Rút gọn C.
b)Tính giá trị của C khi:
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 
 i) x 6 2 8; 
 ii) x 11 3 8 11 3 8; 
 iii) x 3 14 2 203 14 2 20 1; 
 11 1
 iv) x ... ; 
 1 5 5 9 77 81
 v) x là nghiệm của phương trình: x2 x x 1; 
 vi) x là nghiệm của phương trình: | x 3 | 3;
 vii) x là giá trị làm cho biểu thức M x 3x 5 đạt giá trị lớn nhất. 
c) Tìm x để:
 i) C2 0; ii) | C | C;
d) So sánh C với biểu thức Dx khi x 9. 
 2C
e)Tìm x để biểu thức E nhận giá trị nguyên. 
 x
g) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 i) Biểu thức C với x 9;
 C
 ii) Biểu thức I với 0 x 9,x 4. 
 xx
 C
h)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N. 
 x1C 
i)* Tìm x thỏa mãn (2 2 C) x 3C 3x 2 x 1 2. 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 
 CHỦ ĐỀ 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 Các bước giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình bao gồm: 
 Bước 1. Lập phương trình hoặc hệ phương trình: 
 - Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số);
 - Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn số (chú ý thống nhất đơn vị);
 - Lập phương trình hoặc hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa ẩn số và
 các dữ liệu đã biết.
 Bước 2. Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa tìm được. 
 Bước 3. Nhận định kết quả và trả lời yêu cầu bài toán. 
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Bài toán về chuyển động 
 Phương pháp giải: Chú ý dựa vào công thức S vt , trong đó S là quãng đường, v
 là vận tốc và t là thời gian. Ngoài ra, theo nguyên lí cộng vận tốc trong bài toán 
 chuyển động tàu, thuyền trên mặt nước, ta có: 
 - Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
 - Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước.
 - Vận tốc thực luôn lớn hơn vận tốc dòng nước.
1A. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. 
 1
Sau khi đi được quãng đường ngừi đó tăng vận tốc lên 10 km/giờ trên quãng 
 3
đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian thực tế lăn bánh trên đường, biết 
rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. 
1B. Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 180km . Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 30 
phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 9 giờ. Biết vận tốc 
lúc về kém vận tốc lúc đi là5km / h . Tính vận tốc lúc đi của ô tô. 
2A. Trên quãng đường AB dài 200km có hai ô tô chuyển động ngược chiều: xe thứ 
nhất đi từ A đến B, xe thứ hai đi từ B đến A . Nếu cùng khởi hành thì sau 2 giờ 
chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe kia 2,5giờ thì hai xe gặp nhau 
khi xe thứ hai đi được 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 
2B. Cùng một lúc trên đoạn đường AB , một xe tải đi từ A đến B và một ô tô đi từ 
B về A , chúng gặp nhau tại một điểm C cách A là 120km. Nếu xe tải khởi hành 
 2
sau ô tô giờ thì chúng gặp nhau tại D cách A 96 km. Tính vận tốc mỗi xe, biết 
 3
đoạn đường AB dài 200 km. 
3A. Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105 km . 
Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 
54km và ngược dòng 42 km. Hãy tín vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca 
nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. 
3B. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ, sau đó lại đi ngược 
từ B về A . Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách 
giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km / h và vận tốc riêng của ca 
nô khi xuôi và ngược là như nhau. 
DẠNG 2. Bài toán về năng suất lao động 
 S
Phương pháp giải: Sử dụng công thức N với S là lượng công việc làm được, N
 t
là năng suất lao động (tức khối lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời 
gian) và t là thời gian để hoàn thành công việc. 
4A. Một tổ sản xuất phải làm được 700 sản phẩm trong một thời gian quy định với 
năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất phải tăng năng 
suất lao động, mỗi ngày làm thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy tổ hoàn 
thành công việc sớm hơn quy định 36 tiếng. Hỏi theo quy định, mỗi ngày tổ sản 
xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? 
4B. Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong thời gian nhất định. Sau khi 
làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng 
năng suất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm 
hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng suất dự kiến ban đầu. 
Dạng 3. Bài toán về công việc làm chung và làm riêng 
Phương pháp giải: 
- Coi khối lượng công việc là 1 đơn vị
- NS 1 + NS 2 = tổng NS
 1
- x giờ (ngày) làm xong CV thì mỗi giờ (ngày) làm được CV đó 
 x
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 
 1 1
- 1 giờ (ngày) làm được CV thì a giờ (ngày) làm được a. CV 
 x x
5A. Để hoàn thành một công viêc, hai tổ làm chung và dự kiến hoàn thành sau 6 
giờ. Trên thực tế, sau 2 giờ hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I 
hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao 
lâu sẽ hoàn thành công việc? 
5B. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy 
bể. Nếu để vòi I chảy một mình trong 10 phút, khoá lại rồi mở tiếp vòi II chảy 
 2
trong 12 phút thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một 
 15
mình đầy bể? 
Dạng 4. Bài toán về tỉ lệ phần trăm 
Phương pháp giải: 
Chú ý rằng, nêu gọi số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a% là 
(100 a) %.x 
6A. Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Sang tháng thứ 
hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt múc 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ đã 
sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao 
nhiêu chi tiết máy? 
6B. Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 sản phẩm. Tháng sau do cải tiến kĩ 
 20
thuật nên tổ I sản xuất vượt mức 10%, tổ II sản xuất vượt mức % , do đó tổng
 3
sản phẩm tháng sau của hai tổ tăng thêm 35 sản phẩm so với tháng trước. Hỏi 
trong tháng đầu, mỗi tôt sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? 
7A. Hai lớp 9A và 9B gồm 105 học sinh. Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 44 học sinh 
tiên tiến, lớp 9B có 45 học sinh tiên tiến. Biết tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp 9A thấp hơn 
9B là 10% . Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến và số học sinh của mỗi lớp. 
7B. Hai trường A và B có 420 học sinh thi đỗ vào 10, đạt tỉ lệ 84%. Riêng trường A 
có tỉ lệ đỗ là 80%, riêng trường B có tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi 
trường. 
Dạng 5. Toán có nội dung hình học 
Phương pháp giải: 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 
-Với hình chữ nhật:
Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng 
Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x 2 
-Với tam giác:
Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy): 2 
Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh. 
8A. Một hình chữ nhật có chu vi90m . Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm 
chiều dài đi 15m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ 
nhật ban đầu. Tính các cạnh của hình chữ nhật đã cho. 
8B. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng 
chiều dài thêm 2m, giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính 
chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất. 
 Dạng 6. Bài toán về quan hệ giữa các số 
Phương pháp giải: Chú ý biểu diễn các số: 
 ab 10a b;abc 100a 10b c. 
trong đó các chữ số a,b,c ;0 a 9,0 b 9,0 c 9. 
9A. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 19 và tổng các bình phương của 
chúng bằng 185. 
9B. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 2216 và nếu lấy số lớn hơn 
chia cho 9 thì được thương là số kia, số dư là 56. 
10A. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 13. Tích 
hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 25. Tìm số đã cho. 
10B. Tổng ba lần chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai 
chữ số là 14. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số 
mới nhỏ hơn số ban đầu là 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó. 
Dạng 7. Bài toán về sắp xếp, chia đều 
Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất chia hết và chia có dư. Lưu ý: Nếu chia số a
cho số b có thương là q dư r thì a bq r 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 
11A. Trong một buổi liên hoan văn nghệ, một lớp có 26 khách mời đến giao lưu. Vì 
lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế xếp thêm 
hai chỗ ngồi. Biết mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá 5 
người. Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế? 
11B. Người ta cần chở một số lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi xe 15 tấn thì còn thừa 
lại 5 tấn, nếu xêp vào mỗi xe 17 tấn thì còn có thể chở thêm 9 tấn nữa. Hỏi có bao 
nhiêu xe tham gia chở hàng? 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
12.Một ô tô đi quãng đường AC dài 180 km gồm đoạn đường nhựa AB và đoạn
đường đá BC. Biết thời gian ô tô đi trên đường nhựa là 2 giờ 15 phút, thời gian ô tô
đi trên đường đá là 1 giờ 30 phút. Vận tốc ô tô đi trên đoạn đường nhựa lớn hơn
khi đi trên đường đá là 30 km/h. Tính vận tốc ô tô trên mỗi đoạn đường.
13.Một người dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu người đó tăng
vận tốc thêm 10 km/giờ thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu người đó giảm vận
tốc đi 15 km/giờ thì đến B muộn hơn dự định 4 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự
định đi và độ dài quãng đường AB.
14.Quãng đường AB dài 100 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến
B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/giờ nên xe thứ nhất
đến sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
15.Hai địa điểm A và B cách nhau 30 km. Cùng một lúc xe máy khởi hành từ A và
một xe đạp khởi hành từ B. Nếu hai xe chuyển động ngược chiều thì sau 40 phút
chúng gặp nhau, còn nếu hai xe chuyển động ngược chiều theo hướng từ A đến B
thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Hãy tính vận tốc mỗi xe.
16.Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng sông 28 km hết một thời
gian bằng nhau mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc riêng của
xuồng biết vận tốc của nước chảy trong song là 3 km/giờ.
17.Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc một chiếc cano xuôi dòng
từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/giờ. Sau khi đi
đến B, cano quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. Tính
vận tốc của canô.
18.Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã
làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 
 chậm hơn so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong một giờ 
 của người đó, biết mỗi người đó không làm quá 20 sản phẩm. 
 19.Hai vòi nước chảy chảy chung vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Biết
 rằng lượng nước của vòi I chảy một mình trong 1 giờ 20 phút bằng lượng nước
 1
 của vòi II chảy một mình trong 30 phút thêm bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì 
 8
 trong bao lâu đầy bể? 
 20. Một đội xe dùng một số xe cùng loại để chở hết 60 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành
 có 3 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng nữa
 mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng mỗi xe
 chở là bằng nhau.
 21. Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp. Do
 đó ban tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp nhiều hơn quy
 định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi
 hàng ghế có bao nhiêu ghế?
 22.Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m . Đường chéo hình chữ nhật
 dài 10m. Tính độ dài hai cạnh mảnh đất hình chữ nhật đó.
 23.Một khu vườn chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm lối đi xung quanh
 vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 3m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn
 lại trong vườn để trồng trọt là 3996 m2 .
 24.Cho một thửa ruộng chữ nhật. Nếu tăng chiều dài 2m và chiều rộng 3m thì
 diện tích tăng 100 m2 . Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm
 68 m2 . Tính diện tích thửa ruộng đó.
 25.Đem một số tự nhiên có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được
 900.lNếu ấy số viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng
 các chữ số của nó thì được 684. Tìm số tự nhiên đó.
 26.Hai phân xưởng của một nhà máy theo kế hoạch phải làm 540 chi tiết máy. Do
 cải tiến kĩ thuật, phân xưởng I vượt mức 25%, phân xưởng II vượt mức 10% kế
 hoạch của mình. Do đó đã tăng thêm 90 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mỗi phân
 xưởng phải làm theo kế hoạch.
 27.Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào cấp 3, đạt tỉ lệ
 trúng tuyển 84%. Biết số học sinh không đỗ của trường A chiếm 20% và số học
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 
 sinh không đỗ của trường B chiếm 10%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học 
 sinh lớp 9 dự thi. 
 28.Người ta trộn 4 kg chất lỏng loại I với 3 kg chất lỏng loại II thì được một hỗn
 hợp có khối lượng riêng là 700 kg / m3 . Cho biết khối lượng riêng của chất lỏng loại
 I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200 kg / m3 . Tính khối lượng riêng
 của mỗi chất.
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 
 CHỦ ĐỀ 3.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 BẬC NHẤT HAI ẨN. ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL 
 BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
 I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 - Xét phương trình bậc hai ẩn x :
 ax2 + bx += c 0 () a ≠ 0
 1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
 Với biệt thức ∆=b2 −4, ac ta có: 
 Trường hợp 1. Nếu ∆< 0 thì phương trình vô nghiệm. 
 Trường hợp 2. Nếu ∆= 0 thì phương trình có nghiệm kép: 
 b
 xx .
 12 2a
 Trường hợp 3. Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 b 
 x. 
 1,2 2a
 2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
 Khi bb = 2 '. Xét biệt thức ∆=' b'2 − ac . 
 Trường hợp 1. Nếu ∆<' 0 thì phương trình vô nghiệm. 
 Trường hợp 2. Nếu ∆=' 0 thì phương trình có nghiệm kép 
 b'
 : xx .
 12 a
 Trưòng hợp 3. Nếu ∆>' 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 b' '
 x. 
 1,2 a
 3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
 a. Hệ thức Vi-ét
 2
 Với x12 ,x là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) , ta có:
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 
 b
 Sx x
 12a
 .
 c
 P x .x
 12 a
 b. Ứng dụng
 Ứng dụng 1: Nếu abc0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1, nghiệm kia 
 c
 là x. 
 2 a
 Ứng dụng 2: Nếu abc0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1, nghiệm 
 c
 kia là x. 
 2 a
 Ứng dụng 3: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm 
 của phương trình X2 SX P 0. 
 c) Dấu của các nghiệm
 Xét phương trình ax2 bx c 0 (a 0). Khi đó: 
 Trường hợp 1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac 0. 
 Trường hợp 2. Phương trình có hai nghiệm có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ 
 0
 khi P 0. 
 S0 
 0
 Trường hợp 3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi P 0. 
 S0 
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 1A. Cho phương trình: x2 2m 1 x 2m 4 0 với x là ẩn, m là tham số. 
 a) Giải phương trình đã cho với m1 
 b)Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x2 . Tìm
 nghiệm còn lại.
 c) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
 bất kì của tham số m
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 
 d) Gọi x12 , x là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị của m để: 
 22
 i) x12 x 13 ii) 2x12 3x 3 
 iii) x12 x 4 iv) xx512 
 v) Nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia
 e)Gọi x12 , x là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức liên hệ giữa 
 x12 , x không phụ thuộc vào m . 
 g)Tìm các giá trị của m để phương trình:
 i)Có hai nghiệm trái dấu
 ii)Có hai nghiệm cùng âm
 iii)Có hai nghiệm cùng dương
 iv) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm
 dương
 v) Có hai nghiệm x12 , x thoả mãn x12 1 x
 h)Gọi x12 , x là các nghiệm của phương trình đã cho. 
 22
 Xét biểu thức A x1 x 2 4x 12 x 4. Hãy: 
 i)Tính các giá trị của biểu thức A theo m
 ii) Tìm các giá trị của m để A 41
 iii)Tìm các giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
 k) Gọi x12 , x là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị của m để x12 , x
 205
 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 
 2
 l)Gọi x12 , x là các nghiệm của phương trình đã cho. Với m2 , lập phương trình 
 1 1
 có hai nghiệm là và có tham số m . 
 x1 x2
 1B. Cho phương trình x22−2() m − 1 xm +−= 30 m với x là ẩn và m là tham số. 
 a) Giải phương trình khi m = 2.
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 
 b)Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x = −2. Tìm nghiệm còn
 lại.
 c) Tìm các giá trị của m để phương trình:
 i)Có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó;
 ii)Có nghiệm kép. Tìm nghiệm với m vừa tìm được;
 iii) Vô nghiệm.
 d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12,, tìm các 
 giá trị của m để: 
 22
 i) xx12+=8; ii) 2xx12−= 3 8; 
 iii) xx12−=4; iv) xx12+=3. 
 e)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm xx12, thỏa mãn: 
 i) xx12, trái dấu; ii) xx12, cùng dương; 
 22
 iii) xx12, cùng âm; iv) ()xx12+ đạt giá trị lớn nhất. 
 g)Trong trường hợp phương trình có các nghiệm phân biệt xx12, , hãy: 
 i)Tìm hệ thức liên hệ giữa xx12, độc lập với m. 
 ii) Tìm các giá trị của m để ()()2xx12− 3 2 −> 3 1. 
 iii) Với m ≠ 0 và m ≠ 3, lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
 1 1
 yx11= + và yx22= + .
 x2 x1
 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 2. Cho phương trình x2 ++() m2 xm + 20 = với x là ẩn và m là tham số.
 a) Tìm giá trị của m biết phương trình có một nghiệm là x = 3. Tìm nghiệm
 còn lại.
 b)Tìm các giá trị của m để phương trình:
 xx12
 i)Có hai nghiệm xx12, thỏa mãn +=2;
 xx21
 ii)Có hai nghiệm xx12, đối nhau; 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 
 iii)Có hai nghiệm xx12, cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng âm hay 
 cùng dương? 
 iv) Có hai nghiệm xx12, thỏa mãn −<3xx12 < ≤ 3.
 c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
 i)Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
 nghiệm dương. 
 ii)Có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có độ dài cạnh
 huyền bằng 13.
 d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm xx12, : 
 i) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 22
 A=+− x1 x 24 xx 12 + 4. theo tham số m. 
 11
 ii) Với m ≠ 0, lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là + và
 xx12
 xx12+ . 
 BÀI 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
 ax+= by c
 Là hệ phương trình có dạng  trong đó abc,,, abc′′′,, là các số 
 ax′′′+= by c
 thực cho trước, x và y là ẩn số cho trước, ab22+≠0, ab′′22+≠0, xy, là ẩn 
 số. 
 2. Các khái niệm có liên quan.
 -Nếu cặp số ()xy00; cùng thỏa mãn các phương trình của hệ thì nó được gọi 
 là nghiệm của hệ phương trình. Nếu không tồn tại bất cứ cặp số nào thỏa 
 mãn đồng thời các phương trình của hệ thì ta nói hệ phương trình vô 
 nghiệm. 
 - Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 
 - Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
 nghiệm.
 3. Liên hệ vị trí tương đối của hai đường thẳng với số nghiệm của hệ
 phương trình bậc nhất hai ẩn.
 ax+= by c
 Tập nghiệm của hệ phương trình  được biểu diễn bởi tập các 
 ax′′′+= by c
 điểm chung của hai đường thẳng d: ax+= by c và d′′: ax+= by ′ c ′. 
 Trường hợp 1. d và d′ cắt nhau tại Ix()00; y ⇔ hệ phương trình có nghiệm 
 duy nhất ()xy00;. 
 Trường hợp 2. d và d′ song song với nhau ⇔ hệ phương trình vô nghiệm. 
 Trường hợp 3. d và d′ trùng nhau ⇔ hệ phương trình có vô số nghiệm. 
 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
 ax+= by c
 Xét hệ phương trình 
 ax′′′+= by c
 ab
 - Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔≠;
 ab′′
 abc
 - Hệ phương trình vô nghiệm ⇔=≠;
 abc′′′
 abc
 - Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔==.
 abc′′′
 5. Các phương pháp giải.
 - Phương pháp thế: Rút x hoặc y từ một trong hai phương trình của hệ
 phương trình đã cho và thế vào phương trình còn lại.
 - Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình trong hệ
 phương trình đã cho với một số thích hợp (nếu cần) để được một hệ mới mà
 các hệ số của nào đó ( x hoặc y) trong hai phương trình bằng hoặc đối nhau
 sau đó cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình.
 III. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN.
 +()m1 x + my = 21 m −
 1A. Cho hệ phương trình với x là ẩn và m là tham số. 
  2
 mx−= y m −2
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 
 a) Giải hệ phương trình khi m =1.
 b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là ()()xy;= 2; − 1 .
 c) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
 d) Với ()xy; là nghiệm duy nhất của hệ, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y
 không phụ thuộc vào m.
 e)Gọi ()xy; là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm m để:
 i) 21xy+= ;
 ii) xy−=−4; m
 iii) xy= 2; 
 iv) Biểu thức P= xy đạt giá trị lớn nhất.
 x
 v) Đồng thời m và biểu thức Q = cùng nhận giá trị nguyên. 
 y
 g) Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm M() xy; trong đó ()xy; là nghiệm
 duy nhất của hệ phương trình, hãy:
 i)Chứng minh M luôn thuộc một đường thẳng cố định;
 ii) Tìm m để M nằm trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán
 kính bằng 1;
 iii) Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ nhất;
 iv) Tìm m để ba điểm MA,() 1; 3 và B()0;1 thẳng hàng;
 v*) Tìm m để chu vi hình chữ nhật OHMK có giá trị nhỏ nhất trong 
 đó HK, lần lượt là hình chiếu của M lên các trục tọa độ Ox,. Oy 
 h)Cho các đường thẳng:
 2
 d1 :() m++=− 1 x my 2 m 1, d2 : mx−= y m −2, d3 : 3 xy+ −= 1 0. 
 Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy. 
 mx+=+21 my m
 1B. Cho hệ phương trình  với x là ẩn và m là tham số. 
 xm++()12 y =
 a) Giải hệ phương trình khi m = −3.
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 
 b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là ()()xy;= 1; − 1 .
 c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
 d) Với xy, là nghiệm duy nhất của hệ, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y
 không phụ thuộc vào m.
 e)Gọi ()xy; là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm m để:
 1
 i) xy22+=2; ii) 2mx += 1;
 y
 iii) xy−=2 5; iv) yx≤−2 1;
 v) Biểu thức Px=22 + y đạt giá trị nhỏ nhất.
 vi)Đồng thời m và ()xy; cùng nhận giá trị nguyên.
 g) Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm M() xy; trong đó ()xy; là nghiệm
 duy nhất của hệ phương trình. Hãy:
 i)Chứng minh điểm M() xy; luôn thuộc một đường thẳng cố định;
 ii) Tìm m để điểm M() xy; thuộc góc phần tư thứ ba;
 iii) Tìm m để ba điểm M()()() xy; , A 1; 2 , C−− 1; 4 thẳng hàng;
 iv) Tìm m để AB =1 trong đó AB, lần lượt là hình chiếu của
 M() xy; lên các trục tọa độ Ox và Oy.
 h*) Cho các đường thẳng: 
 d1 : mx+=+ 2 my m 1, dx2 :++() m 1 y = 2, d3 : 2 xy−= 1. 
 Tìm m để ba đường thẳng đồng quy. 
 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 mx+=+42 y m
 2. Cho hệ phương trình  với x là ẩn và m là tham số. 
 x+= my m
 a) Giải hệ phương trình khi m = −3.
 b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là ()2;0 .
 c) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC