Thiết kế bài giảng Đại số 10 (nâng cao) - Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (tiết 3)

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC(Tiết 3) KiÓm tra bµi còChứng minh các bất đẳng thức sauvới mọi a, b không âmvới với mọi a, b không âm với mọi a, b, cMục tiêu tiết học	Qua tiết học học sinh cần: 	1. Về kiến thức: 	- Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm.	- Biết bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm.	2. Về kĩ năng:	- Biết vận dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm vào việc chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhâna) Đối với hai số không âm:Định lý: Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = bNghĩa là: trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúngTa thường gọi là bất đẳng thức Côsi	Chứng minh định lí chính là bài 1 bài tập về nhà, ta chỉ cần chia tiếp hai vế cho 2Ngoài dạng đã nêu ta còn có thể sử dụng BĐT Côsi ở một số dạng khác như: Hoàn thành hoạt động 2 (SGK) Trong hình 4.1, cho AH = a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của a và bADOHCBChứng minhHệ quả 1 Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhauÝ nghĩa hình họcTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.Hệ quả 2 Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhauÝ nghĩa hình họcTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhấtHãy chứng minh hệ quả 1?Chứng minh:Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô-si ta có:Do đóĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng khi và chỉ khi Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhauHoàn thành ví dụ 4 (SGK) Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thìChứng minh:Hoàn thành ví dụ 5 (SGK) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốGiải:Ví dụ: Chứng minh sau đúng hay sai?Sai, vì chưa có điều kiện a > 0Bµi tËpHãy sử dụng BĐT Côsi cho hai số để giải các bài toán sau(Nhóm 1,4 làm bài 1. Nhóm 2, 5 làm bài 2. Nhóm 3, 6 làm bài 33. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhânb) Đối với ba số không âm:Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = cNghĩa là: trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúngHoàn thành ví dụ 6 (SGK) Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thìChứng minh:Đẳng thức xảy ra khi a = b = cTìm hiểu thêm về bất đẳng thức Côsi	Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân có tên quốc tế là AM – GM (Arithmetic Means and Geometric Means) 	AM-GM có thể coi là một viên kim cương trong bất đẳng thức cổ điển. Thậm chí có rất nhiều bài toán mà đôi khi phương pháp hiện đại phải dừng chân thì như một phép màu, AM-GM lại thể hiện sự kì diệu của mình. 	AM - GM là bất đẳng thức quan trọng nhất, đựoc sự dụng nhiều nhất trong chương trình Toán THPT và các kì thi tuyển sinh đại học, là đề tài tưởng như vô tận đề những người yêu toán có thể sáng tạo ra những bất đẳng thức mới.	AM – GM có rất nhiều cách chứng minh, trong đó cách chứng minh bằng quy nạp của nhà toán học lỗi lạc người Pháp Côsi (Augustin Louis Cauchy) đựoc coi là hay nhất. Vì thế nhiều người đã lầm tưởng là do Côsi sáng tạo ra. Trong các sách của Việt Nam thường hay gọi AM – GM là BĐT Côsi, vì thế cái tên gọi này đã trở nên quen thuộc với đa số giáo viên và học sinh Việt Nam.Tìm hiểu thêm về bất đẳng thức CôsiBài tập về nhà1. Bài tập số 12, 13 trang 110 SGK.2. Bài tập phần luyện tập trang 112 SGK3. Phát biểu các hệ quả và ý nghĩa hình học của BĐT Côsi cho ba số tương tự như của BĐT Côsi cho hai số.4. Sử dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh BĐT Côsi cho ba số.Giải bài 1Ta có Giải bài 2(2) đúng với mọi a, b ≥ 0, do đó (1) đúng với mọi a, b ≥ 0Ta cóĐẳng thức xảy ra khi x = y, hoặc a = 0, b = 0Giải bài 3Suy ra điều phải chứng minhTa cóĐẳng thức xảy ra khi a = bGiải bài 1Đẳng thức xảy ra khi a = bGiải bài 2Giải bài 3