Thống kê các dạng bài tập ở chương 2, 3 sách giáo khoa Hình học lớp 11

TậP huấn thay sgk môn toán PHầN hình học 11Sở giáo dục và đào tạo tỉnh lạng sơnThiết kế và thực hiện:Cổ Văn ThânĐơn vị công tác: Trường THPt Hữu LũngDạng 1: tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Thống kê các dạng bài tập ở Chương 2,3 sách giáo khoa hình học lớp 11 ( chuẩn và nâng cao) Bước 1:Tìm mặt phẳng phụ (Q) chứa d ,sao cho giao tuyến của (P) và (Q) dễ tìm.Bước 2: tìm giao tuyến m của (P) và (Q) .Bước 3: tìm giao điểm J của d và m Khi đó J là giao điểm cần tìm.Đây là dạng bài tập thường gặp trong mục1, chương2. Học sinh nếu nắm vững dạng toán này sẽ dễ dàng giải được các bài toán về dựng giao tuyến của hai mặt phẳng,dựng thiết diện.v.v. Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) (loại chưa có sẵn trên hình vẽ). Ví dụ 1: Cho hỡnh chóp SABCD. M là trung điểm SA. P,N là hai điểm lần lượt trên SB, SC sao cho Tỡm giao điểm của AC với (MNP). Mặt phẳng phụ chứa AC chọn là mặt phẳng (ABCD) MP  AC = K ; MNAD = E  KE là giao tuyến của (MNP) với (ABCD) AC  KE = J Khi đó JAC(1); J KE ,KE(MNP)  J  (MNP) (2) Từ (1) và (2) suy ra J là giao điểm của AC với (MNP)Phân tích lời giải.Ví dụ 2: cho hỡnh chóp SABCD. M,P lần lượt là trung điểm của AB, SA. N là điểm trên đoạn SD sao choTỡm giao điểm của SC với (MNP). Mặt phẳng phụ chứa SC chọn là (SAC) Kéo dài PN cắt AD tại K Giao tuyến của (MNP) với (SAC) là MK KM cắt AC tại E PE cắt SC tại J. Khi đó J là giao điểm cần tìm. Phân tích lời giải:Ví dụ 3: Cho hỡnh chóp SABCD có đắy ABCD không phải là hỡnh thang. M là trung điểm SA , N thuộc AB sao cho AN=AB, P thuộcSD. Tỡm giao điểm của:đoạn SD sao cho SP=a. SB và (MNP)b. MC và (ABP)c. SB và (APC) d. SC và ( BMP).Dạng 2: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với hỡnh chóp S.A1A2...AnA...A Phương pháp : Tỡm giao tuyến của (P) với các mặt của hỡnh chóp. Các đoạn giao tuyến này tạo thành một đa giác kín, đa giác kín này là thiết diện cần tỡm.	Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O .Gọi M,N,P là 3 điểm lần lượt trên AD, CD,SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNE).Lời giải Từ (1),(2),(3),(4),(5) thiết diện thu được là ngũ giác MNQRTMNBD = IMNAB = E ; MN  BC = FER, SA đồng phẳng (cùng thuộc (SAB))  ERSA=TRF, SC đồng phẳng (cùng thuộc (SCB))  RFSC=QTa có MN= (MNP)(ABCD) (1) NQ= (MNP)(SCD) (2) QR= (MNP)(SBC) (3) RT= (MNP)(SAB) (4) TM= (MNP)(SAD) (5) Phương pháp: Ta chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng và không có điểm chung.Dạng 3 : chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng Ví dụ: Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC, BF ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho CMR: MN//DE Lời giải Gọi J, I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ABEF. K là trung điểm của AB . M là trọng tâm ABD N là trọng tâm ABEVậy KEN, KMD do đó MN, ED đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng (EKD)) Ta có  MN// DEDạng 4 : Chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: CM mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng // với mặt phẳng kia. CM đường thẳng a // mặt phẳng (P) (cách2) Phương pháp: CM Lời giải Ví dụ: Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD,AF tại M',N' a. CMR mặt phẳng (CBE)//(ADF). b. CMR MN//(DEF). a. Ta có CB//AD, AD(ADF) CB//(ADF) (1) BE//AF, AF (ADF) BE//(ADF) (2)Từ (1) và (2)  (CBE)//(ADF)b. Ta có Từ (3) và (4)  M'N'//EC, EC (CDFE)  M'N'// (CDFE) (5) Hiển nhiên MM'//(CDFE) (6)Từ (5) và (6)  (M'N'NM) //(CDFE) mà MN(M'N'NM) Nên MN//(CDFE) .Dạng 5 : Thiết diện qua một điểm song song với đường thẳng cho trước. Phương pháp: Sử dụng định lí a//bVí dụ: Cho hình chóp S.ABCD ; M,n là hai điểm trên AB,CD , () là mặt phẳng chứa MN và song song với SA. a. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (). b. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.Lời giải a. Ta có () (SAB)=MP với MP//SA Gọi R là giao điểm của MN với AC, ta có: () (SAC)=RQ với RQ//SAMP,PQ,QN,NM là các đoạn giao tuyến của () với các mặt SAB, SBC,SCD và ABCD. Do đó thiết diện thu được là tứ giác MPQN. b. Ta có MPQN là hỡnh thang Xét (1): (1)  SA//QN vỡ SA//MP SA//(SCD): điều này vô lí. Đảo lại nếu có MN//BC thỡ : MN//PQ vỡ Vậy để thiết diện là hỡnh thang thỡ MN//BC.Xét (2): (2)  MN//BC vỡ:Dạng 6 : thiết diện qua một điểm song song với một mặt phẳng cho trước.Phương pháp: Sử dụng định lí a//bVí dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành vớiAB=2a, AD=a. SAB là tam giác vuông cân tại A. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AD với AM=x (o<x<a).() là mặt phẳng qua M và song song với (SAB). a. () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? b. Tính diện tích thiết diện trên theo a và x.Lời giải  (SAD) ()= MQ với MQ//SA tương tự () cắt mặt phẳng (ABCD),(SBC) theo giao tuyến MN//AB; NP//SB. Do đó thiết diện thu được là tứ giác MNPQ.a. Ta có:Dễ thấy MN//PQ;Vậy tứ giác MNPQ là hỡnh thang vuông tại M và Q. Do:  MQMNb. Theo định lí talet ta có: Dạng 6 : Giải toán bằng phương pháp véc tơ. Qui trình giải một bài toán bằng véc tơ. Bước1: Chọn 3 véc tơ không đồng phẳng làm véc tơ cơ sở.Bước 2: chuyển dịch ngôn ngữ bài toán sang ngôn ngữ véc tơ.Bước 3: Biểu thị các dữ kiện của bài toán sang véc tơ.Bước 4: tính toán + kết luận.Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'CMR đỉnh A,trọng tâm G của tam giác BDA' và đỉnh C' thuộc một đường thẳng. b. Tính tỉ số GA/GC'.Lời giải a. Đặt Khi đó : Theo qui tắc hỡnh hộp Từ (1) và (2) suy ra  A,G,C' thẳng hàng. b. Từ Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' .Gọi M,N là các điểm tương ứng Thuộc cạnh AD,BB' sao cho AM=BN. I,J tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, C'D'. CMR đường thẳng IJ vuông góc với đường thẳng MN.Lời giải Gọi cạnh hình lập phương là a, AM=x Đặt Ta có: Ta có: Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AD,BB',C'D' .Chứng minh rằng đường thẳng C'D song song với mặt phẳng (MNP). Lời giải Đường lối giải : Rõ ràng C' không thuộc mặt phẳng (MNP)Ta cần chứng minh 3 véc tơ đồng phẳngnghĩa là cần chỉ ra m,n sao cho Đặt Ta có : Thay vào (1) ta được :Giải hệ ta được Vậy đồng phẳng  C'D song song với mặt phẳng (MNP). Dạng 7 : Các bài toán chứng minh: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, Đường thẳng vuông góc với đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. Phương pháp: a. CM đường thẳng a (P) : Ta CM đường thẳng a  với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). b. CM đường thẳng a b :Ta CM đường thẳng a  với (P) trong đó b  (P) c. CM (P)  (Q) :Ta CM mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm M. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, O là trực tâm Tam giác (BCM). a. Chứng minh: MC (BOH),OH (BCM). b. Đường thẳng OH cắt (d) tại N.CMR tứ diện BCNM có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. c. CMR khi M di chuyển trên (d), thì tích AM.AN không đổi. Lời giải a. BO cắt MC tại I , BH cắt AC tại J. Do O và H lần lượt là trực tâm các MBC, ABC nên BIMC, BJAC. Mặt khác BJMA  BJ(MAC) BJMC Do đó MC (BOH). Đồng thời suy ra MCOH. Tương tự ta cũng có MBOH  OH (MBC).b.MN (ABC)  MNBC.Theo phần a, MC (BOH)  MCBN; MB(COH)  MBCN.  AM.AN=AK.AH Vậy AM.AN không đổi. c. Hai  vuông AHN và AMK đồng dạng (ANH= AKM: góc có cạnh tương ứng vuông góc).Đây là dạng toán quan trọng trong chương trình, vì các bài toán tính khoảng cách khác đều qui về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ta phải xác định hình chiếu của điểm M xuống (P).Tuy nhiên hình chiếu của điểm M xuống (P) không phải lúc nào cũng xác định dễ dàng. Khi hình chiếu của điểm M xuống (P) khó xác định ta dùng kĩ thuật sau : 	d[M,P] = d[N,P] (trong đó MN// (P) ) Dạng 8: Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.AD = DC=a, AB=2a, SA=2a và SA vuông góc với đáy. a. CMR: SBC vuông b. Tính khoảng cách từ D đến (SBC).Phân tích lời giải: a. Cm: SBC vuông Dễ cm BC(SAC) BCSC b. Hình chiếu của D xuống (SBC) khó xác định. Ta tìm cách tính gián tiếp. Gọi J là trung điểm AB ; DJ cắt AC tại I Khi đó DI//BC ; BC (SBC) DI//(SBC)  d[D,SBC]=d[I,SBC]Hạ IHSC (1); do BC(SAC)  BCIH (2)Từ (1) và (2) suy ra IH (SBC)  d[I,SBC]= IHIHC SAC . Từ đó  IH Như vậy việc tính d[D,SBC] qui về việc tính d[I,SBC] vì hình chiếu của I trên mặt phẳng (SBC) dễ xác định. Ngoài ra GV có thể yêu cầu HS tính d[A,SBC] ; tính d[M,SBC] (trong đó M là trung điểm của SD .v.v Ví dụ 2: Cho hỡnh hộp cn ABCD.A'B'C'D' . AB=a; AD=2a; AA’=a. M là điểm thuộc đoạn A’D' sao cho A'M =Tính khoảng cách từ M đến (AB'D').Phân tích lời giải: Nhận xét: Từ (1) và (2)  A'H  (AB'D')  A'H= d[A',AB'D']Hạ A'I  B'D'; A'H AI (1) B'D'  (AA'I)  B'D'A'H (2)Dạng 9: tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Về nguyên tắc khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng xác định được đoạn vuông góc chung.Khi việc xác định đoạn vuông góc chung khó khăn ta dùng phương pháp tính gián tiếp như sau:Dựng mp(P) chứa b và (P)// a. Khi đó d[a,b] = d[a,P] Ví dụ : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a; AD=a; SA=2a và SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC . Phân tích lời giải: Việc xác định đường vuông góc chung giữa SD và AC khó khăn nên ta dùng cách tính gián tiếp. Bước 1: Tạo ra mặt phẳng chứa một đường sons song với đường còn lại. Qua D ta kẻ đường thẳng d // với AC Hạ AKd. Khi đó AC// KD AC// (SKD)  d[AC,SD] = d[A,(SKD)] = d[ A, (SKD)]Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến (SKD) Từ A hạ AH  SK (1) Do DK AK, DKSA  DK  (SAK)  DKAH(2) Từ (1) và (2) suy ra AH  (SKD)  d[ A, (SKD)]=AH Ta có  AH Dạng 10: Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Phương pháp : Bước1: Dựng mp(P) chứa b song song với a .Bước2: lấy A tuỳ ý thuộc a ; A' là hình chiếu của A xuống (P) . Qua A' kẻ đường thẳng a' song song với a cắt b tại N' , qua N' dựng N'N song song với AA' Khi đó NN' là đuờng vuông góc chung cần tìm .Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA(ABCD) và SA=a . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SD. Lời giải Vậy JK là đường vuông góc chung của SD và ACTạo mặt phẳng chứa SD và song song với ACQua D ta kẻ d//AC. Hạ AHdKhi đó AC//HD, HD(SHD) AC// (SHD)Hạ AFSH (1) DH AH, DHSADH  (SAH) SA DHAF (2)Từ (1) và (2) suy ra AF  (SHD) AF SD (3)Do AC //(SHD)  AF AC (4)Qua F kẻ FJ// HD, hạ JK AC tứ giác AFJK là hình chữ nhật JK// AF kết hợp với (3) và (4) suy ra JK SD và JKACĐể xác định mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng d cho trước ta làm như sau: Tìm 2 đưòng thẳng cắt nhau a,b cùng vuông góc với (d) trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M. Khi đó mặt phẳng (P) = (a,b).Dạng 11: Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. AA'  (ABC) và AA' = a. I là trung điểm của BC. () là mặt phẳng qua B' và vuông góc với A'I . Xác định thiết diện của () với lăng trụ. Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện theo a.Lời giải Gọi J là trung điểm của B'C' ta có :mà A' I ( AA'JI ) Cho nên B'J  A'I	(1) Từ J hạ JH  A’I	(2) Từ (1) và (2)  () = ( B'JH ) Hay () = ( B'C'H )Kéo dài JH cắt AA' tại K . thiết diện thu được là tam giác KB'C'. Dạng 12: Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.Phương pháp: Lấy điểm O tuỳ ý  a. Qua O kẻ b (P) Khi đó (Q)=(a,b) là mặt phẳng chứa a vuông góc với (P)Ví dụ: Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hỡnh vuông cạnh a , SA (ABCD) và SA=a , () chứa AB , () vuông góc với (SCD). Xác định mặt phẳng () ; () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì.Tính diện tích thiết diện.Lời giải Từ A hạ AH SD (1) Ta có  CD (SAD)Mặt khác AH (SAD)  CDAH (2) Từ (1) và (2) AH (SCD) Vậy ()=(ABH)  () (SCD)=HE//AB Thiết diện thu được là tứ giác ABEH áp dụng ta let ta có: Vậy dt(ABEH)= Dạng 13: Góc giữa hai mặt phẳngĐể tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta làm như sau:Cách 1: Tính trực tiếp Bước 1: xác định giao tuyến d của (P) và (Q). Bước 2:Lấy điểm Od.Dựng a (P) ;b  (P) sao cho a và b cùng vuông góc với d tại O.Bước 3: Tính . Khi đó Cách 2: Dùng công thức hình chiếu Bước 1: Lấy một tam giác trong mặt phẳng này, tính diện S của tam giác đó. Bước 2: Chiếu tam giác trên xuống mặt phẳng kia, tính diện tích S' của hình chiếu Bước 3: áp dụng công thức Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân BC=BA=a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).Lời giải Bước 1: Xác định giao tuyến của (SEF) và (SBC) Ta có  (SEF)(SBC)=St//BC Mà BC  SB, BC  SE ( do BC  (SAB) ) nên St SB, St SE. Vậy (vẽ góc nhọn) Xét SEB ta có : Thay các giá trị của SE, SB, EB vào (1) ta được:Vậy Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a ở trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B và C lấy các đoạn nằm cùng một bên đối với (P). a. Chứng minh tam giác ADE vuông . Tính diện tích tam giác này. b. Tính góc giữa (ADE) và (P). Lời giải a. áp dụng định lí Pitago vào  vuông ABD, ACE ta có: Chiếu D xuống DE thành H,  vuông DHE cho ta:Vậy ta có nên ADE vuông ở D.Tính SADE( Vì AD = AE ) b) ADE có hình chiếu trên P là ABC nên áp dụng định lí S'=S.cos ta có:vì nên Vậy góc của (ADE) và (P) làBài tập thực hành Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng A'B , B'C và tính độ dài của đoạn vuông góc chung này. Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' . a. Gọi I,K,G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,A'B'C' ,ACC'. Chứng minh rằng (IGK)//(BB'C'C) và (A'KG)//(AIB'). b. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB' và MN. Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB=2R, M làà một điểm di động trên (C). Vẽ SA=2R và SA vuông góc với (P). Gọi AH, AK lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAM . a. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAM) vuông góc với mặt phẳng (SBM). b. Chứng minh tứ giác BHMK nội tiếp được và giao điểm T của HK và BM ở trên một đường thẳng cố định. c. Đặt . Tìm giá trị của  để diện tích tam giác AHK lớn nhất. Câu1: Nêu mục tiêu của chương 2 SGK hình học chương trình chuẩn,nâng cao lớp 11 năm 2007. Câu hỏi thảo luậnTrả lời: Làm cho học sinh nắm được: 1)Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt. 2)Điều kiện để hai mặt phẳng song song và biết vận dụng nó để giải bài tập. 3)Biết sử dụng hai tính chất 1 và 2, các hệ quả 1 và 2 của tính chất1 để giải các bài toán về quan hệ song song. 4) Định lí Talet ,định lí talet đảo và biết vận dụng chúng. 5)Định nghĩa và một số tính chất của hình lăng tru và hình hộp.Câu2: Nêu mục tiêu của chương 3 SGK hình học chưương trình chuẩn,nâng cao lớp 11 năm 2007.Điểm thay đổi lớn nhất ở chương 3 SGK hình học chương trình chuẩn,nâng cao lớp 11 với SGK hình học 11 năm 2000 là gì ? ích lợi của việc thay đổi này. Trả lời: Làm cho học sinh nắm được: 1) Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc và giải một số bài toán hình học không gian. 2) Sử dụng được các điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng vào việc giải toán. 3) Nắm được khái niệm và cách tính góc ,khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. Điểm thay đổi lớn nhất ở chương 3 SGK hình học chương trình chuẩn,nâng cao lớp 11 với SGK hình học 11 năm 2000 là: SGK mới sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian So với chương trình cũ cách làm này giúp cho việc diễn đạt một số nội dung hình học đơn giản ,gọn gàng hơn trước .Mặt khác một số kiến thức về vectơ được đề cập ở chương này góp phần chuẩn bị xây dựng khái niệm toạ độ trong chương trình hình học lớp 12 cho học sinh .Câu3: Những nội dung đã được cắt bỏ ở chương 3 SGK hình học chương trình chuẩn, nâng cao lớp 11 với SGK hình học 11 năm 2000 . Trả lời: Sách GK lần này không đưa vào khái niệm góc nhị diện, góc tam diện. Câu4: So sánh cách trình bày bài :hai mặt phẳng vuông góc ở chương 3 SGK hình học chương trình chuẩn,nâng cao lớp 11 với SGK hình học 11 năm 2000. Cách trình bày của SGK mới có ưưu điểm gì? Trả lời SGK cũ sử dụng định nghĩa :hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. SGK mới dùng định nghĩa :hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ.Cách trình bày mới này giúp cho học sinh dễ hiểu hơn,ngoài ra ở phần này SGK còn trình bày kĩ lưỡng cách tính góc giữa hai mặt phẳng. Câu5: Nêu kinh nghiệm của anh chị khi dạy phần khoảng cách để học sinh tiếp thu,vận dụng hiệu quả nhất.Trả lời: a. GV cần trình bày cho học sinh hiểu rõ các khái niệm : khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. b.Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cần lưu ý kĩ thuật sau d[M,P] = d[N,P] ( trong đó MN//P và hình chiếu của N xuống P dễ tìm) c. Khi tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cần lưu ý kĩ thuật: d[a,b] = d[a,P] (trong đó a//P và bP). d. Khi tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cần lưu ý kĩ thuật sau d[P,Q] = d[N,Q] ( trong đó NP và hình chiếu của N xuống Q dễ tìm). Chân thành cảm ơn quí thầy cô Chúc quí thầy cô mạnh khỏe và hạnh phúc!