Thử sức trước kì thi Đại học môn Toán - Đề số 2

Tạp chí TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ
ĐỀ THI THỬ
THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI
ĐỀ SỐ 2
Thời gian:180 phút (Không kể thời gian phát đề)
PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho hàm số:
y = x3−6x2+9x−2 (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại tiếp điểmM, biếtM cùng với hai điểm cực trị của đồ thì
(C) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2sin2 x+3
√
2sinx− sin2x+1
(sinx+ cosx)2
=−1
2. Giải hệ phương trình: {√
x+
√
y= 2√
x+3+
√
y+3= 4
Câu III (2 điểm)
1. Tính tích phân:
I =
2∫
1
x2−1
(x2− x+1)(x2+3x+1)dx
2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực:
5x+
√
6x2+ x3− x4 log2 x>
(
x2− x) log2 x+5+5√6+ x− x2
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (với a > 0); SA tạo với đáy một góc 60◦. Tam giác ABC vuông tại B,
ÂCB= 30◦. G là trọng tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Tính thể tích của hình chóp S.ABC
Câu V (1 điểm)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:
xy+ yz+ zx≤ 3
Chứng minh rằng:
2√
xyz
+
27
(2x+ y)(2y+ z)(2z+ x)
≥ 3
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A theo chương trình nâng cao
Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(−1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm của cạnh
BC là M(5;5). Xác định tọa độ các đỉnh B vàC của tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD biết B(−1;0;2),C(−1;1;0), D(2;1;−2),
vectơ
−→
OA cùng hướng với vectơ
→
u = (0;1;1) và thể tích của tứ diện ABCD là
5
6
. Lập phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Phần B theo chương trình chuẩn
Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho M(2;1) và đường tròn (C) : (x−1)2+(y−2)2 = 5. Viết phương
www.VNMATH.com
trình đường thẳng ∆ qua M cẳt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB
ngắn nhất.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x
2
=
y−1
−1 =
z
−3 và mặt phẳng
(P) : 7x+9y+2z−7= 0 cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), ∆ vuông
góc với d và cách d một khoảng là
3√
42
.
2
www.VNMATH.com