Tích phân liên kết - Nguyễn Đức Thụy

 Nguyễn Đức Thụy ☯ Tích phân liên kết 
 Written by Thuy Nguyen Duc ֠ Tu Lap High School  Email: Vuongsonnhi@yahoo.com 
Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích 
phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ dàng, 
từ đó suy ra I. 
Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào? 
 Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết: 
1. 
3
6
cos
s inx cos
xdx
I
x
π
π
=
+∫
 2. 
4
4 4
0
cos
s in x cos
xdx
T
x
π
=
+∫
 3. 
1
0
x
x x
e dx
M
e e−
=
+∫
4. 
2
1
x
x x
e dx
G
e e−
=
−∫
 5. 
2
ax
0
osb ( ; 0)
b
R e c xdx a b
π
= ≠∫ 6. 
2
2
0
osxU e c xdx
π
= ∫ 
7. 
4
2
0
os . os2A c x c xdx
π
= ∫ 8. 
2
4
0
osxE e c xdx
π
−= ∫ 9. 
2
1
sin(ln )
e
P x dx
π
= ∫ 
10. 
26
0
cos
cos 2
x
W dx
x
π
= ∫ 
HD: Tích phân liên kết của các tích phân trên là: 1. 
3
6
sin
s inx cos
xdx
J
x
π
π
=
+∫
, I+J=pi/6 và I-J=0; 
2. 
4
4 4
0
sin
s in x cos
xdx
P
x
π
=
+∫
, T P π+ = và 0T P− = ; 3. 
1
0
x
x x
e dx
M
e e−
=
+∫
, M+N=1 và 
2 1
ln
2
e
M N
e
+
− = ; 
4. 
2
1
x
x x
e dx
H
e e
−
−
=
−∫
, 2ln( 1) 1; 1G H e G H+ = + − − = ; 
5. Đặt 
ax
cosu bx
dv e dx
=

=
 rồi dẫn đến 
2
ax
0
sinb
b
S e xdx
π
= ∫ , khi đó aI-bJ=-1, lại đặt ax
sinu bx
dv e dx
=

=
 lại có aJ+bI= 2
a
be
π
; 
10. 
26
0
sin
cos 2
x
Z dx
x
π
= ∫ khi đó 
1
¦W ln tan ;¦W
2 4 6
Z x Z
π π 
+ = + − = 
 
11. Xét hai tích phân: 1
0 0
os .sin x ; os .cos .sin x ; n nI c x dx J c x nx dx n N
π π
−= = ∀ ∈∫ ∫ 
 a. Chứng minh rằng: I + J = 0. b. Tính: 1
0
os .sin( 1)xnK c x n dx
π
−= +∫ 
12. (ĐH QG TP. HCM A01- 02): Đặt 
26 sin
sin 3 cos0
xdx
I
x x
π
= ∫
+
 và 
26 cos
sin 3 cos0
xdx
J
x x
π
= ∫
+
 a. Tính I-3J và I+J. b. Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và: T = 
5
3 cos 2
cos 3 sin3
2
xdx
x x
π
π
∫
−
13. (ĐH Cần Thơ A99- 00) a. Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1). CMR: 
2 2
(sin ) (cos )
0 0
f x dx f x dx
π π
=∫ ∫ 
 b. Sử dụng kết quả trên để tính: 
32 cos
sin cos0
xdx
I
x x
π
= ∫
+
 và 
32 sin
sin cos0
xdx
J
x x
π
= ∫
+