Toán 10 - Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ
ỨNG DỤNG
1. Mục tiêu: 
 1.1. Kiến thức:
 - Nắm được công thức Moa-vrơ.
 - Ứng dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác và một số lĩnh vực khác.
 1.2. Kỹ năng:
 - Biết cách vận dụng công thức Moa-vrơ vào lượng giác, tính luỹ thừa số phức, tính căn bậc hai..
 1.3. Tư duy thái độ:
 - Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác.
 - Rèn luyện tính toán, tư duy logic, tinh thần ham học hỏi, sáng tạo, chính xác.
2. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh:
 - Dụng cụ học tập, tài liệu học tập.
 - Một số bài tập ứng dụng
 - Phương pháp dạy học truyền thống: thuyết trình, trực quan kết hợp gợi mở vấn đề.
3. Tiến trình bài học:
 Nội dung:
 Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.
 Hoạt động 2: Công thức Moa-vrơ.
 Hoạt động 3: Ứng dụng vào lượng giác.
 Hoạt động 4: Căn bậc hai của số phức.
 Hoạt động 5: Củng cố bài học.
 Bài giảng chi tiết:
 3.1. Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Hoạt động của Học sinh
Hoạt động của Giáo viên
- Lắng nghe, hiểu đề bài.
- Làm bài, nhận xét bài bạn.
- Lời giải:
Bài 1:
z2 = zz	
 = 3(cos + i sin).3(cos + i sin)
 = 9(cos( +) + i sin( +))
 = 9(cos2 + i sin2)
z3 = z z z = z2 z
 = 9(cos2 + i sin 2)3(cos2 + i sin)
 = 27(cos3 + i sin3)
 = 27(cos + i sin)
Bài 2: 
W2 = r(cos + i sin). r(cos + i sin)
 = r2 (cos2 + i sin2).
- Đưa ra bài tập, gọi Học sinh lên bảng.
Yêu cầu học sinh khác làm
Bài 1: 
Cho z = 3(cos + i sin). Tính z2, z3.
Bài 2: 
Cho w = r(cos + i sin). Tính w2.
- Nhận xét bài làm của Học sinh.
- Đưa ra gợi ý nếu cần:
Luỹ thừa thực chất là phép nhân các thừa số giống nhau, như vậy nên sử dụng công thức nào?
3.2. Hoạt động 2: Công thức Moa-vrơ:
Hoạt động của Học sinh
Hoạt động của Giáo viên
- Lắng nghe, hiểu nhiệm vụ, làm bài.
 w3 = w2 w
 = r2(cos2 + i sin2)r(cos + i sin)
 = r3(cos3 + i sin3).
w4 = w3 w
 = r3(cos3 + i sin3)r(cos + i sin)
 = r4(cos4 + i sin4).
- Modun của w2, w3, w4 lần lượt là luỹ thừa 2, 3, 4 của w.
Argument của w2, w3, w4 lần lượt gấp 2, 3, 4 lần argument của w.
 Ghi nho CT: wn = rn(cosn + i sinn) (1)
- Với n = 2 ta có: 
W2 = r2 (cos2 + i sin2).
Lời giải:
1+i = ( + )
= (cos + i sin)
Áp dụng công thức Moa-vrơ:
1+i = [(cos + i sin)]5
= ()5(cos5 + i sin 5)
Vậy 1+i =()5(cos5 + isin5)
Tiếp tục yêu cầu học sinh tính:
 w3, w4.
- Yêu cầu Học sinh so sánh modun, argument của w2, w3, w4 với w?
- Liệu rằng chung ta co the tinh duoc 
 Wn
Khẳng đinh:
 Bằng quy nạp người ta đã chứng minh được rằng công thức (1) là đúng.
voi: n = 2 ,3,4 ta da o tren
 Kết luận: 
Công thức (1) được gọi là công thức Moa-vrơ.
- Vận dụng công thức trên làm ví dụ sau:
VD: 
Tính (1+i)5
- Gợi ý Học sinh:
Muốn thực hiện công thức Moa-vrơ số phức phải có dạng nào?
Vậy biểu diễn dạng lượng giác của số phức (1+i) rồi tính kết quả.
Kết luận: 
Có thể tính luỹ thừa của một số phức bất kỳ dựa vào công thức Moa-vrơ.
3.3. Hoạt động 3: Ứng dụng vào lượng giác
Hoạt động của Học sinh
Hoạt động của Giáo viên
Nhóm 1:
(cos + i sin)3 
 = cos3 + 3cos2 isin +3 i2 sin2 cos + (isin)3
 = (cos3 - 3sin2 cos) + i(3cos2sin - sin3)
 = (4cos3 - 3cos ) + i(3sin - 4sin3 )
Nhóm2:
(cos + i sin)3 = cos3 + i sin3
- Học sinh so sánh và rút ra kết luận:
cos3 = 4cos3 - 3cos (3)
sin3 = 3sin - 4sin3 (3’)
-Chia nhóm:
Nhóm 1:khai triển ct:
- (cos + i sin)3 ?
-Nhóm2: áp dụng ct moa-vrơ tính : 
(cos + i sin)3 
-yêu cầu nhóm 1 và nhóm 2 so sánh kết quả
Khẳng đinh: 
Đây là hai cách biểu diễn khác nhau của cùng một số phức nên chúng phải bằng nhau.
- Vậy ta có thêm 1cách biêu diễn cos3, sin3 qua cos, sin.
Kết luận: 
Tương tự bằng cách đối chiếu công thức khai triển luỹ thừa bậc n của (cos + i sin)n với công thức Moa-vrơ có thể biểu diễn cos n, sinn theo các luỹ thừa của cos, sin. 
Hoạt động 4: Căn bậc hai của số phức
Hoạt động của Học sinh
Hoạt động của Giáo viên
Liên hệ kiến thức cũ.
Suy nghĩ và phán đoán kết quả.
 W2 = r2 (cos2 + i sin2).
z = r(cos + i sin) 
 = [(cos + i sin)]2.
- Vậy z có 2 căn bậc hai là:
(cos + i sin); -[(cos + i sin)] hay [cos( + ) + i sin(+)]
Lời giải: 
z = ( - i)
 = (cos7 + i sin7)	
Khi đó z có hai căn bậc hai là:
(cos7 + i sin7) và 
- (cos7 + i sin7).
Lời giải:
a. z = cos + i sin
 = ( cos+ i sin )2
Vậy z có hai căn bậc hai là: 
cos+ i sin; - (cos+ i sin)
b. z = ( + )
Đặt cos a = ; sin a = . Khi đó ta có:
z = (cos a + isin a) 
 = [(cos + isin )]2
Vậy z có hai căn bậc hai là:
[(cos + isin )] và 
-[(cos + isin )]
- Yêu cầu Học sinh nhắc lại thế nào là căn bậc hai của 1 sô? 1 số có mấy căn bậc 2.
Đối với số phức thì sao?
- Cho w= r(cos + i sin), 
 w=- r(cos + i sin), r> 0
tinh W2 
cho z= r(cos + i sin), r>0;
Áp dụng công thức Moa-vrơ biểu diễn z thành bình phương của một số.
Kết luận: 
Ta có thể tìm căn bậc hai của một số phức theo công thức trên.
VD: Tìm căn bậc 2 của:
z = (1 – i)
Hướng dẫn Học sinh:
 Viết z dưới dạng lượng giác.
 Áp dụng công thức đã nêu trên.
- Gọi Học sinh lên bảng làm (nếu còn thời gian)
Bài 1: Tìm căn bậc 2 của z biết:
a. z = 1
b. z = 3 + 4i
Hoạt động 5: Củng cố bài học
Tổng kết:
 - Nhắc lại công thức Moa-vrơ
 - Cách tính luỹ thừa của một số phức
 - Cách tìm căn bậc hai của một số phức
 - Ứng dụng của công thức Moa-vrơ vào lượng giác.
Bài tập về nhà:
 - Bài 32 đến 36 (Sách Giáo khoa).
 (Hướng dẫn Học sinh làm bài nếu còn thời gian).