Toán 10 - Giải phương trình vô tỉ

GIẢI PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ
1.Phương phỏp đặt ẩn phụ:
Vớ dụ: Giải phương trỡnh : 
Giải: 
Đặt  ta cú:
 với điều kiện 
Tỡm  sau đú suy ra  (chỳ ý đối chiếu điều kiện nghiệm đỳng)
2.Phương phỏp đưa về hệ phương trỡnh:
Thường được dựng để giải phương trỡnh vụ tỷ cú dạng:
Vớ dụ: Giải phương trỡnh : 
Đặt:
 với điều kiện 
Khi đú ta cú hệ:
Giải hệ tỡm  suy ra .
3.Phương phỏp bất đẳng thức:
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: 
Giải: 
Theo BĐT Cụsi ta cú:
Do đú:
4.Phương phỏp lượng giỏc:
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: 
Giải: 
Điều kiện:  .
Đặt: 
và biến đổi đơn giản ta cú:
suy ra  và từ đú tỡm được 
5.Phương phỏp nhõn liờn hợp:
Vớ dụ: Giải phương trỡnh:
Giải:
Phương trỡnh tương đương với:
Phương phỏp lượng giỏc hoỏ
1. Nếu th“ ta cú thể đặt  hoặc 
Vớ dụ 1 : 
Lời giải : ĐK :  Đặt  Phương tr“nh đó cho trở thành :
)( ) = 0 
Kết hợp với điều kiện của t suy ra :  
Vậy phương tr“nh cú 1 nghiệm : 
Vớ dụ 2 : 
Lời giải : ĐK : 
Khi đú VP > 0 .
Nếu 
Nếu  .
Đặt  , với  ta cú :
 ) (  ) = 0 
Vậy nghiệm của phương tr“nh là 
Vớ dụ 3 :  
Lời giải : ĐK : 
Đặt  
phương tr“nh đó cho trở thành :
Vậy phương tr“nh cú nghiệm duy nhất 
Vớ dụ 4 (TC THTT): 
HD :
Nếu  : phương tr“nh khụng xỏc định .
Chỳ ý với  ta cú :
vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xột với 
Đặt 
khi đú phương tr“nh đó cho trở thành : 
2. Nếu  th“ ta cú thể đặt : 
Vớ dụ 5 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
Phương tr“nh đó cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra 
Vậy phương tr“nh cú 1 nghiệm : 
TQ : 
Vớ dụ 6 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
phương tr“nh đó cho trở thành :
 (thỏa món)
TQ :  
với a,b là cỏc hằng số cho trước
3. Đặt  để đưa về phương tr“nh lượng giỏc đơn giản hơn :
Vớ dụ 7 :  (1)
Lời giải : 
Do  khụng là nghiệm của phương tr“nh nờn :
(1) (2)
Đặt  .
Khi đú (2) trở thành :
Suy ra (1) cú 3 nghiệm :
Vớ dụ 8 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
phương tr“nh đó cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện suy ra : 
Vậy phương tr“nh cú 1 nghiệm :
4. Mặc định điều kiện :  . sau khi t“m được số nghiệm chớnh là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Vớ dụ 9 : 
Lời giải : 
phương tr“nh đó cho tương đương với : 
 (1)
Đặt :
(1) trở thành :
:Leftrightarrow 
Suy ra (1) cú tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương tr“nh đó cho cú tập nghiệm chớnh là S
II. Phương phỏp dựng ẩn phụ khụng triệt để
* Nội dung phương phỏp : 
Đưa phương trỡnh đó cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh đó cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
khi đú : 
Đặt . Phương trỡnh viết thành :
Đến đõy chỳng ta giải t theo x. Cuối cựng là giải quyết phương tr“nh  sau khi đó đơn giản húa và kết luận :
Vớ dụ 10 :  (1)
lời giải : ĐK : 
Đặt 
Lỳc đú :
(1) 
Phương tr“nh trở thành :
Giải phương tr“nh trờn với ẩn t , ta t“m được :
Do  nờn  khụng thỏa điều kiện  .
Với  th“ :
 ( thỏa món điều kiờn 
Vớ dụ 11 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt  .
phương trỡnh đó cho trở thành :
* Với  , ta cú :
(vụ nghiệm v“ : )
* Với  , ta cú :
Do  khụng là nghiệm của phương tr“nh nờn : 
Bỡnh phương hai vế và rỳt gọn ta được :  (thỏa món)
TQ : 
lỳc đú chỳng ta đặt 
và đưa về hệ đối xứng loại haiVớ dụ 12 : 
Lời giải :
Đặt  . 
Phương tr“nh đó cho viết thành :
Từ đú ta tỡm được  hoặc 
Giải ra được :  .
* Nhận xột : Cỏi khộo lộo trong việc đặt ẩn phụ đó được thể hiện rừ trong ở phương phỏp này và cụ thể là ở vớ dụ trờn . Ở bài trờn nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ khụng dễ để giải quyết trọn vẹn nú . Vấn đề tiếp theo chớnh là ở việc kheo lộo biến đổi phần cũn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
vớ dụ 13 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt  .
phương trỡnh đó cho trở thành :
Giải ra :  hoặc  (loại)
*  ta cú :
Vậy  là cỏc nghiệm của phương tr“nh đó cho .
vớ dụ 14 : 
Lời giải : ĐK :  
Đặt  
Phương tr“nh đó cho trở thành :
Phương tr“nh trờn đó khỏ đơn giản !!!!!!! III. Phương phỏp dựng ẩn phụ đưa về dạng tớch
1. Dựng một ẩn phụ
Vớ dụ 15 : (1)
Lời giải : ĐK : .
Đặt .
phương tr“nh (1) trở thành :
(2) giải đựoc bằng cỏch ỏp dụng phương phỏp I :
Đặt  để đưa về dạng :  
TQ : 
Với a là hắng số cho trước .
Vớ dụ 16 :  (1)
Lời giải : ĐK :  
Viết lại (1) dưới dạng :
(2)
Đặt . 
Khi đú (2) trở thành :
Do vậy  hoặc 
*. Ta cú :
* . Ta cú :
Vậy phương tr“nh đó cho cú 2 nghiệm : 
Vớ dụ 17 : 
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt  (2) .
phương tr“nh đó cho trở thành :
(3)
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
Vớ dụ 18 : 
Lời giải : ĐK :  (1)
Đặt  
Khi đú : .
phương tr“nh đó cho trở thành :
V“  nờn :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đú phương tr“nh tương đương với :
Do vậy  (thỏa (1)) 2. Dựng 2 ẩn phụ .
Vớ dụ 9 : 
Lời giải : 
Đặt 
* 
*
Vớ dụ 20 :  (1)
Lời giải : ĐK :  hoặc (*) 
Đặt  ta cú :
(1) trở thành :
 (Do )
T“m x ta giải :
 (Thỏa (*))
Vậy (1) cú 2 nghiệm : 
Vớ dụ 21 : 
Lời giải : ĐK : 
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
(2)
Đặt  và 
Th“ :
(2) 
*  ta cú :
*  ta cú : 
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa món : 
Vớ dụ 22 : 
lời giải : ĐK : 
Đặt :
Từ phương tr“nh ta được :
( Do )
từ đú ta giải ra được cỏc nghiệm :
3. Dựng 3 ẩn phụ .
Vớ dụ 23 : 
Lời giải : 
Đặt  ta cú :
 (1)
Mặt khỏc :  (2)
Từ (1) và (2) ta cú :
Nờn :
:Leftrightarrow 
từ đú dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :
Vớ dụ 24 :  (1)
Lời giải : 
Đặt 
Suy ra : 
khi đú từ (1) ta cú :
:Leftrightarrow 
Giải như vớ dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :
III. Phương phỏp dựng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dựng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phộp thế hoặc rỳt gọn theo vế .
a. Dựng một ẩn phụ .
Vớ dụ 25 : 
Lời giải :ĐK :  
Đặt  . Ta cú :
TQ : 
b. Dựng 2 ẩn phụ .
* ND : 
* Cỏch giải :
Đặt : 
Như vậy ta cú hệ :
Vớ dụ 26 :  (1)
Lời giải : ĐK :
Đặt 
Khi đú :
(1) :Leftrightarrow 
 (Do hệ :  : vụ nghiệm )
hoặc 
Đến đõy chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu .
Vớ dụ 27 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt :
Với : 
 (*)
Như vậy ta được hệ :
Giải (1) :
(1)
 ()
Vậy  thỏa (*) chớnh là 2 nghiệm của phương tr“nh đó cho .
Vớ dụ 28 : 
Lời giải :
Đặt :
(2)  
(1) 
2. Dựng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 : 
CG : Đặt  ta cú hệ :
Vớ dụ 29 : 
Lời giải :
Đặt :  ta cú : 
(1) :Leftrightarrow 
(2): Vụ nghiệm .
Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :
Dạng 2 : 
CG : ĐẶt 
PT :Leftrightarrow 
Vớ dụ 30 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt :  (1)
PT 
Lấy (3) trừ (2) ta được :
(1) 
 (Do ) 
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Vớ dụ 31 : 
Lời giải : ĐK :  
Đặt. 
Chọn a, b để hệ :
 () (*)
là hệ đối xứng .
Lấy ta được hệ :
Giải hệ trờn ta được :  
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là :  
Dạng 4 :
Nội dung phương phỏp : 
Cho phương tr“nh :  
Với cỏc hệ số thỏa món :
Cỏch giải : 
Đặt 
Vớ dụ 32 : 
Lời giải : ĐK : 
PT 
- Kiểm tra : 
Đặt : 
 (1)
Mặt khỏc :  (2) 
Từ (1) và (2) ta cú hệ : 
Đõy là hệ đỗi xứng loại II đó biết cỏch giải .
Vớ dụ 33 : 
Lời giải : 
PT 
- Kiểm tra : 
Đặt : 
 (1)
Mặt khỏc :  (2)
Từ (1) và (2) ta cú hệ :
Vớ dụ 34 : 
Lời giải : 
PT 
- Kiểm tra :
Đặt : 
 (1)
Mặt khỏc :  (2)
Từ (1) và (2) ta cú hệ :
Giải hệ trờn đó thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương phỏp biến đổi tương đương
Dạng 1: Phương trỡnh
Dạng 2: phương trỡnh:
( g(x,m) phải cú nghĩa)
Dạng 3: Phương trỡnh:
(f(x,m) và g(x,m) phải cú nghĩa)
Vớ dụ minh hoạ :
VD1: tỡm m để pt sau cú nghiệm:
LG:
Phương trỡnh đó cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:
Do đú điều kiện để phương trỡnh đó cho cú nghiệm là:
(ST) Vớ dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1 
VD1: GPT: 
Đặt , ta cú: 
do đú điều kiện cho ẩn phụlà 
Khi đú phương trỡnh cú dạng :
Vậy pt cú 2 nghiệm x=1, x=2
VD2:GPT: ++=0 (1)
Nx: khụng là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được 
 (2)
Đặt } , khi đú 
(2)  hoặc t=-1/2
Bõy giờ xột 2 trường hợp:
TH1: Nếu n chẵn Khi đú ĐK của pt phải khụng õm,do đú 2 nghiệm trờn bị loại. Vậy pt vụ nghiệm.
TH2: Nếu n lẻ
Với  ( vụ nghiệm)
Với 
Vậy...
Bài tập tương tự: Giải cỏc pt sau:
b>Giải và biện luận pt :
(ST) Vớ dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2: 
Giải: Đk:
đặt : 
Khi đú pt được chuyển thành hệ:
giải ra được  hay 
Bài tập tương tự:
Giải cỏc pt sau:
b> Giải và biện luận : 
vớ dụ: 
- Sử dụng BĐT,vớ dụ:
Vậy Đk cho ẩn phụ là : 
-Sử dụng đạo hàm [/b] 
Vớ dụ 
VD1: GPT: 
Đặt , ta cú: 
do đú điều kiện cho ẩn phụlà 
Khi đú phương trỡnh cú dạng :
Vậy pt cú 2 nghiệm x=1, x=2
Bài tập tương tự: Giải cỏc pt sau:
b>Giải và biện luận pt :
(ST)