Toán 10 - Hàm số bậc nhất y = ax + b

 21 2 1 210 3( )x x x x  . Tìm m để B = 0. 
Bài tập 60: 
a) Cho phương trình : 2 22 1 0x mx m    ( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị nguyên 
của m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x thoả mãn điều kiện 1 22000 2007x x   
b) Cho a, b, c, d  R . CMR ít nhất một trong 4 phương trình sau có nghiệm 
2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
  
  
  
  
Bài tập 61: 
1) Cho a, b , c, là các số dương thoả mãn đẳng thức 2 2 2a b ab c   . CMR phương trình 
2 2 ( )( ) 0x x a c b c     có hai nghiệm phân biệt. 
Cho phương trình 2 0x x p   có hai nghiệm dương 1 2,x x . Xác định giá trị của p khi 
4 4 5 5
1 2 1 2x x x x   
đạt giá trị lớn nhất. 
Bài tập 62: Cho phương trình : 
 (m + 1 ) x2 – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số. 
a) Giải phương trình với m = 1. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia. 
 Bài tập 63: Cho phương trình 
 : 2 23 2 2 10 4 0x y xy x y      (1) 
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phương trình ( 1 ) thoả mãn 2 2 10x y  
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1). 
Bài tập 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x : 
 21 1 1 0a x b x c   và 
2
2 2 2 0a x b x c   
Có nghiệm chung. CMR 
 :     
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 .a c a c a b a b b c b c    
Bài tập 65: Cho phương trình bậc hai ẩn x : 
Ebook4Me.Net 
14 
 2 22( 1) 2 3 1 0x m x m m      
 a) Chứng minh phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 1m  
 b) Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình , chứng minh : 1 2 1 2
9
8
x x x x   
 Bài tập 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x : 
 2 22 2 2 0x mx m    
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm. 
b) Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 2 1 22 4A x x x x    . 
Bài tập 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x : 
 2( 1) 2( 1) 3 0m x m x m      với m  1. (1) 
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 
b) Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình (1) , tìm m để 1 2 0x x  và 1 22x x 
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phương trình 
 2 ( ) 0x a b c x ab bc ac       vô nghiệm . 
Bài tập 69: Cho các phương trình bậc hai ẩn x : 
2
2
0(1);
0(2).
ax bx c
cx dx a
  
  
Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR : 2 2 2 2 4m n p q    . 
Bài tập 70: Cho các phương trình bậc hai ẩn x : 
 2 0x bx c   có các nghiệm 1 2,x x ; phương trình 
2 2 0x b x bc   có các nghiệm 3 4,x x . 
 Biết 3 1 4 2 1x x x x    . Xác định b, c. 
Bài tập 71 : Giải các phương trình sau 
a) 3x4 - 5x2 +2 = 0 
b) x6 -7x2 +6 = 0 
c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = 0 
d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 
e) 3x2+ 3x = xx 2 +1 
f) (x + 
x
1
) - 4 ( )
1
x
x  +6 =0 
g) 121 2  xx 
h) 20204  xx 
i) (10
48
3 2
2

x
x
)
4
3 x
x
 
Bài tập 72. giải các phương trình sau. 
a) x2 - 5 x - 5 =0 b) - 5 .x2- 2 x +1=0 
 c) ( 1 - 03)13()3 2 x d)5x4 - 7x2 +2 = 0 e) (x2 +2x 
+1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = 0 f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = xx 2 
+1 . 
Bài tập 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là x 1 , x 2 . 
1/ không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau: 
2
2
2
1
11
xx
A  ; B
2
2
2
2
1
1 44
x
x
x
x 


 ; 
5
2
5
1 xxC  ; 
7
2
7
1 xxD  
2/ lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng: 
a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3 
Ebook4Me.Net 
15 
b) u = 
1x
1
1 
 , v = 
1x
1
2 
 . 
Bài tập 74 . Cho hai phương trình : x2- mx +3 = 0 và x2- x +m+2= 0 . 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung. 
b) Tìm m để hai phương trình tương đương. 
Bài tập 75. Cho phương trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 . 
a) tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 
b) Tìm a sao cho 
1x
1
+
2x
1
<3 . 
c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x1, x2. 
Bài tập 76. Cho phương trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= 0 . 
a) Giải phương trình với m =- 2 . 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2. 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2
2
2
1 xxC  
Bài tập 77: 
 Cho phương trình: 
 mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1) 
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? 
c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 của PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = 3 
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m 
Bài tập 78: Cho phương trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x1 ;x2 của PT 
thoả mãn điều kiện x1
2 + x2
2 = 1 
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu 
 (m – 1)x2 – 2x + 3 = 0 
Bài tập 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) = 0 
 Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : 
 1 2
1 2
1 1
5
x x
x x

  
Bài tập 81 .Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 có các nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 độc 
lập với m . 
Bài tập 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1) 
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi a 
b) Với mọi giá trị của a thì (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 < 1 < x2 
c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1
2 + x2
2 = 6. 
Bài tập 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = 0 (1) 
 mx2 + 10x – 1 = 0 (2) ( m khác không ) 
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai 
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện 6x1 + x2 = 5 
Bài tập 84: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – 1 = 0 (1) 
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu 
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1 
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 5 
4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1
2 + x2
2 = m2 – 2m + 3 . 
Bài tập 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = 0 
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phương các nghiệm bằng 9 
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phương các nghiệm có GTNN 
Bài 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Không giải PT lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 
a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1) 
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2 
Bài tập 87. Cho Phương trình x2 – (m – 1) x – m2 +m – 2 = 0 
Ebook4Me.Net 
16 
a) Giải PT khi m = 2 
b) C/mr phgương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m 
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x1 ; x2 .Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn 
3 3
1 2
2 1
x x
x x
   
   
   
 đạt GTLN 
Bài tập 88: Cho Phương trình : x2 – mx – m – 1 = 0 (*) 
a) C/mr PT (*) có nghiệm x1 ; x2 với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT và GT m tương ướng 
. 
b) Đặt A = x1
2 + x2
2 – 6x1.x2 
1) Chứng minh A = m2 -8m + 8 
2) Tìm m sao cho A= 8 
3) Tìm GTNN của a và GT m tương ứng . 
Bài tập 89: Cho phương trình x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 = 0 (1) 
a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a 
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1 < 1 < x2 
c) Với giá trị nào của a thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 
 x1
2 + x2
2 =6 
Bài tập 90: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0 ( *) 
a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m 
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu 
c) Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của PT (*) 
 Chứn minh rằng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1 
Bài tập 91: Cho phương trình : x2 – (1- 2n) x + n – 5 = 0 
a) Giải PT khi m = 0 
b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n 
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm cảu PT đã cho 
Chứng minh rằng biểu thức : x1(1 + x2) + x2(1 +x1) 
Bài tập 92: Các nghiệm của phương trình 
 x2 + ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên 
 Chứng minh rằng a2 + b2 là hợp số 
Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m: 
 x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0 
 vô nghiệm 
Bài tập 94: Cho các phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a.c  0) và cx2 + dx + a = 0 có các nghiệm x1; x2 và y1 ; 
y2 tương ướng C/m x1
2 + x2
2 + y1
2 + y2
2  4 
Bài tập 95: Cho các phương trình x2+ bx +c =0 (1) và x2 +cx +b = 0 (2) 
 Trong đó 
2
111

cb
Bài tập 96: Cho p,q là hai số dương .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 
 px2 + x +q = 0 và x3 ; x4 là nghiệm của phương trình qx
2 + x + p = 0 
 C/m : 1 2 3 4. . 2x x x x  
Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm 
:
2 2 21 0; 1 0; 1 0x ax b x bx c x cx a           
Bài tập 98: Cho phương trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = 0 (1) 
a) C/m phương trình luôn luôn có nnghiệm 
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để 2(x1
2 + x2
2 ) = 5x1x2 
Bài tập 99: Cho phương trình x2 + a1x + b1 = 0 (1) ; 
 x2 + a2x + b2 = 0 (2) 
 Có các hệ số thoả mãn  1 2 1 22a a b b  .Cmr ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm 
Ebook4Me.Net 
17 
Bài tập 100: Chứng minh rằng phương trình :  
2 2 2 2 2 2 0a x b a c x b    
Vô nghiệm 
 Nếu a + b > c và a b c  
Bài tập 101: Cho hai phương trình : 
 x2 + mx + 1 = 0 (1) x2 + x + m = 0 (2) 
a) Tìm m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung 
b) Tìm m để hai phương trình trên tương đương 
Bài tập 102: Cho phương trình: 
x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1) 
a) C/mr phương trình (1) luôn có nghiệm 
Trong trường hợp phương trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a2 + b2 + c2 = 14 
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phương trình :x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0 có nghiệm chung thì : (b 
– d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0 
Bài tập 104: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân 
biệt 
Bài tập 105: G/s x1 , x2 là hai nghiệm của hai phương trình x
2 + ax + bc = 0 và x2 , x3 là hai nghiệm của 
phương trình x2 + bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh x1, x3 là nghiệm của phương trình x
2 + cx + ab = 
0 . 
Bài tập 106: Cho phương trình x2 + px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phương trình (1) biết rằng khi 
thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phương trình : x2 – p2x + pq = 0 
Bài tập 107: Chứng minh rằng phương trình : 
 (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0 
 Luôn có nghiệm với mọi a,b,c. 
Bài tập 108: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x
2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0 
 Tìm GTLN của biểu thức A = 1 2 1 22 2x x x x  
Bài tập 109: Cho a  0 .G/s x1 ; x2 là nghiệm của phương trình 
2
2
1
0
2
x ax
a
   
 Chứng minh rằng : 4 41 2 2 2x x   
Bài tập 110 Cho phương trình 2
2
1
0x ax
a
   .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 
 Tìm GTNN của E = 4 41 2x x 
Bài tập 111: Cho pt x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0 
a) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm kép 
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn – 1 
Ebook4Me.Net 
18 
 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
Dạng 





''' cybxa
cbyax
1. Giải hệ phương trình 
1)






3)12(4
12)12(
yx
yx
 2)








5
3
1
7
3
1
3
2
5
3
yx
yx
2. Giải và biện luận hệ phương trình 
1)





55
55
myx
ymx
 2)





mmyxm
myxm
3)1(
72)5(
3. Tìm giá trị của tham số để 
hệ phương trình có vô số nghiệm 
1)





23)12(
3)12(
mmyxm
mymmx
 2)





mnmynx
nmnymx
2
22
4. Tìm m để hai đường thẳng sau song song 
 my
m
xmyx 
1
)1(,046 
5. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau trên Oy 
 mymxmmyx 3)32(,2  
Hệ gồm một phương trình bậc nhất vàmột phương trình bậc hai hai ẩn 
Dạng 





)2(
)1(
22 khygxeydxycx
cbyax
PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2). 
1. Giải hệ phương trình 
1)





423
532
22 yyx
yx
 2)





5)(3
0143
yxxy
yx
3)





100121052
132
22 yxyxyx
yx
2. Giải và biện luận hệ phương trình 
1)





22
12
22 yx
ymx
 2)





22
12
22 yx
ymx
 3. Tìm m để đường thẳng 0)1(88  mymx 
cắt parabol 02 2  xyx tại hai điểm phân biệt. 
Hệ phương trình đối xứng loại I 
Dạng 





0),(
0),(
2
1
yxf
yxf
 ; với ),( yxf i = ),( xyf i . 
Ebook4Me.Net 
19 
PP giải: đặt PS
Pxy
Syx
4; 2 





1. Giải hệ phương trình 
1)





7
5
22 xyyx
xyyx
 2) 





30
11
22 xyyx
xyyx
3) 






931
19
2244
22
yxyx
xyyx
 4) 







243
2
111
33 yx
yx 
5) 





















49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx
yx
xy
yx
 6) 







2
5
1722
y
x
y
x
yx
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
1) 






myx
yx
66
22 1
 2) 





mxyyx
yxyx
)1)(1(
8)22
3. Cho hệ phương trình 





3
2
22 xyyx
myx
Giả sử  yx; là một nghiệm của hệ. Tìm m để biểu thức F= xyyx  22 đạt max, đạt min 
Hệ phương trình đối xứng loại II 
Dạng 





0),(
0),(
xyf
yxf
PP giải: hệ tương đương 





0),(),(
0),(
xyfyxf
yxf
 hay 





0),(),(
0),(),(
xyfyxf
xyfyxf
1. Giải hệ phương trình 
1) 






yxx
xyy
43
43
2
2
 2) 






yxyx
xxyy
3
3
2
2
3) 






yxyx
xyxy
40
40
23
23
 4) 






yxx
xyy
83
83
3
3
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
1) 






myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
 2)






myyyx
mxxxy
232
232
4
4
Hệ phương trình đẳng cấp (cấp 2) 
Dạng 






)2(''''
)1(
22
22
dycxybxa
dcybxyax
PP giải: đặt txy  nếu 0x 
1. Giải hệ phương trình 
Ebook4Me.Net 
20 
1) 






932
222
22
22
yxyx
yxyx
 2) 






42
1332
22
22
yxyx
yxyx
3) 






16
17243
22
22
yx
yxyx
 4) 






137
15
2
22
xyy
yx
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
1)






myxyx
yxyx
1732
1123
22
22
 2)






myxyx
yxyx
22
22
54
132
Một số Hệ phương trình khác 
1. Giải hệ phương trình 
1) 





7
1
22 yxyx
yx
 2) 





180
49
22 xyyx
xyyx
3) 





7
2)(
33 yx
yxxy
 4)





0)(9)(8
012
33 yxyx
xy
5) 






21
122
yx
yx
 6) 






yxyx
xyxy
10)(
3)(2
22
22
2. Giải hệ phương trình 
1) 






12
527
yxyx
yxyx
 3) 








7
14
2
222
zyx
yxz
zyx
2)






523
5
3
2
323 22
yx
x
xyy
3. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung 
a) mx 31  và 124 22  mx 
b) 01)2()1( 2  xmxm và 
 0122  mxx 
4. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 





02
)1(
xyyx
xyayx






11
1
xy
myx
4. Tìm m, n để hệ phương trình sau có nhiều 
hơn 5 nghiệm phân biệt 






myxyyxmx
ynxyx
22
22
)(
1
PHẦN 5 
BẤT ĐẲNG THỨC 
Dựng định nghĩa 
Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau 
Ebook4Me.Net 
21 
1.Cho a,b,c,d > 0 
a) nếu a < b thỡ 
a
b
 < 
a + c
b + c
 b) nếu a > b thỡ 
a
b
 > 
a + c
b + c
c) 1 < 
a
a + b
 + 
b
b + c
 + 
c
c + a
 < 2 
d) 2 < 
a + b
a + b + c
 + 
b + c
b + c + d
 + 
c + d
c + d + a
 + 
d + a
d + a + b
 < 3 
2.Cho 
a 
b
 < 
c
d
 và b,d > 0, Chứng minh rằng 
a 
b
 < 
a + c
b + d
 < 
c
d
3.Chứng minh rằng  a , b ,c 
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a 
c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc  a2 + b2c2 
f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 
i) 4ab(a – b)2  (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0 
k) 
a
b
 + 
b
a
 ≥ a + b l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b) 
m) 
a2
1 + a4
  
1
2
 n) ( 
a + b
2
 )2  
a2 + b2
2
 o) 
a2 + b2 + c2
3
 ≥ ( 
a + b + c
3
 )2 
p) 
a2
4
 + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) 
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac 
t) a2 + ab + b2 ≥ 
3
4
 (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b 
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
4.Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab| 
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thỡ 
x
1 + x
 ≥ 
y
1 + y
 b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tựy ý ta cú 
|a – b|
1 + |a – b|
 ≤ 
|a|
1 + |a|
 + 
|b|
1 + |b|
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b 
6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + 1 > 0 
6.Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1 
4.Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b(
1
a
 + 
1
c
 ) + 
1
b
 (a + c)  (
1
a
 + 
1
c
 )(a + c) 
5.Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng 
c + a
c2 + a2 
 ≥ 
c + b
c2 + b2 
5.Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng : 
a3 + b3 + c3 – 3abc
a + b + c
 ≥ 0 
5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng : 
1
a3 + b3 + abc
 + 
1
b3 + c3 + abc
 + 
1
c3 + a3 + abc
  
1
abc
4.Cho cỏc số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng : 
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 
5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 
1
1 + a2
 + 
1
1 + b2
 ≥ 
2
1 + ab
 a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : 
1
1 + a3
 + 
1
1 + b3
 + 
1
1 + c3
 ≥ 
3
1 + abc
 b) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng : 
1
1 + 4x
 + 
1
1 + 4y
 ≥ 
2
1 + 2x+y
6.  a,b,c,d chứng minh rằng 
a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 
Ebook4Me.Net 
22 
b) 1 < 
a
a + b + c
 + 
b
a + b + d
 + 
c
b + c + d
 + 
d
a + c + d
 < 2 
7.Cho a ,b ,c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc ,chứng minh rằng : 
a) 
a
b
 + 
b
c
 + 
c
a
 – 
a
c
 – 
c
b
 – 
b
a
 < 1 
b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 
c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 
d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 
e) (a + b + c)2  9bc với a  b  c 
f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc 
8. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 
9.Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng : 
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc 
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab 
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 
10. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giỏc,với a  b  c 
 Chứng minh rằng : (a + b + c)2  9bc 
*.Cho tam giỏc ABC,chứng minh rằng : 
aA + bB + cC
a + b + c
 ≥ 

3
*.Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4 
. Chứng minh rằng : 
1
1.2
 + 
1
2.3
 + 
1
3.4
 + + 
1
n(n + 1)
 < 1  n  N 
. Chứng minh rằng : 
1
2!
 + 
2
3!
 + 
3
4!
 + + 
n – 1
n!
 < 1  n  N n ≥ 2 
*.Cho ba số dương a ,b ,c thoả món: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng : 
 3  a + b + c  
1
abc
.11.Cho 3 số a, b, c thoả món a + b + c = 3. Chứng minh rằng : 
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3 
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 
Bất đẳng thức Cauchy 
1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng : 
a) 
a
b
 + 
b
a
 ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + 
1
b
 ≥ 2a b > 0 c) 
2a2 + 1
4a2 + 1
 ≥ 1 
d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b 
f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 
h) 
a2
a4 + 1
  
1
2
 i) 
1
a
 + 
1
b
 ≥ 
4
a + b
 j) 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 ≥ 
2
a + b
 + 
2
b + c
 + 
2
c + a
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 h) 
a2 + 2
a2 + 1
 ≥ 2 k) 
a6 + b9
4
 ≥ 3a2b3 – 16 
l) 
a2 + 6
a2 + 2
 ≥ 4 m) 
a2
b2
 + 
b2
c2
 + 
c2
a2
 ≥ 
a
c
 + 
c
b
 + 
b
a
2.Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2





1
a2
 + 
2
a
 + 1 ≥ 16 
3. Cho 3 số a ,b ,c > 0 tựy ý . Chứng minh rằng: 
a) a2b + 
1
b
 ≥ 2a b) a + b + c ≤ 
1
2
 ( a2b + b2c + c2a + 
1
a
 + 
1
b
 + 
1
c
 ) 
Ebook4Me.Net 
23 
4.Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < 
2
1
a
 + 
1
b
 < ab < 
a +b
2
5.Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1