Toán 10 - Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia. 
c. Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức: 
( )1 2 1 2x x 3 x x 5 0+ + + = . 
7 
Giải 
a. Phương trình có hai nghiệm 
Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0 ⇔ 5m
4
≤ 
b. Phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia 
Khi 
5
m
4
≤ phương trình (1) có hai nghiệm 1 2x , x . Ta có: 1 2x x 1+ = − 
Giả sử 1 2x 2x= . Khi đó: 2 2 2
1
2x x 1 x
3
+ = − ⇔ = − . Suy ra: 1
2
x
3
= − 
Mặt khác: 1 2x x m 1= − . Ta có: 
1 2 11
. m 1 m
3 3 9
   
− − = − ⇔ =   
   
c. Phương trình có hai nghiệm thỏa : ( )1 2 1 2x x 3 x x 5 0+ + + = (*) 
Ta có: 1 2 1 2x x 1 và x x m 1+ = − = − 
Thay vào (*) ta được: ( )m 1 3 1 5 0 m 1 0 m 1− + − + = ⇔ + = ⇔ = − . 
Giá trị m = –1 thỏa điều kiện 
5
m
4
≤ nên nhận đựơc. 
 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 
Bài 1: Giải và biện luận phương trình: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2). 
Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 2m 1 m 2
x 1
−
= −
−
Bài 3: Giải phương trình: x 2 5 x− = − 
Bài 4: Giải phương trình 2x 3 4 3x− = + 
Bài 5: Giải phương trình: 2x x 169 17− + = 
Bài 6: Giải phương trình: 
2
2
x 2 1 2x x 4
1
2x 3 2x 3 4x 9
+ − −
− = −
− + −
II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Bài 1: Giải phương trình: 1 4x 3x
x 1 x 1
−
+ =
− −
Bài 2: Giải phương trình: 2x 3x 2 x 2− + = − 
Bài 3: Giải phương trình: 2x 1 x 3− = + 
Bài 4: Giải phương trình: 23x 9x 7 2x 3− + = − 
Bài 5: Tìm m để phương trình ( ) ( )2m 1 x 3 m 2 x m 0+ + − + = có một nghiệm bằng –2. 
Tính nghiệm còn lại. 
8 
Hướng dẫn và đáp số 
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 
Bài 1: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2) (1) 
Trường hợp 1: 2m 1 0 m 1 và m 1− ≠ ⇔ ≠ ≠ − . 
(1) có nghiệm duy nhất 
( )m m 2
x
m 1
+
=
−
Trường hợp 2: 2m 1 0 m 1 hoặc m 1− = ⇔ = − 
+ Khi m = 1: Phương trình (1) ⇔ 0x = 6 (vô nghiệm) 
+ Khi m = –1: Phương trình (1) ⇔ 0x = 0. (Phường trình có nghiệm tùy ý) 
Bài 2: 2m 1 m 2
x 1
−
= −
−
 (1) 
Điều kiện xác định: x ≠ 1. 
Khi đó: (1) ⇔ ( ) ( )m 2 x 3 m 1− = − 
+ Trường hợp 1: m –2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 
Pt(1) ⇔ 
( )3 m 1
x
m 2
−
=
−
Giá trị 
( )3 m 1
x
m 2
−
=
−
 là nghiệm của phương trình (1) 
⇔ 
( )3 m 1 1
1 m
m 2 2
−
≠ ⇔ ≠
−
Suy ra: Với 
1
m 2 và m
2
≠ ≠ thì (1) có nghiệm duy nhất 
( )3 m 1
x
m 2
−
=
−
. 
+ Trường hợp 2: m = 2 
Pt(1) ⇔ 0x = 3 ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm. 
Bài 3: x 2 5 x− = − (1) 
Cách 1: Biến đổi tương đương 
Phương trình (1) ⇔ ( ) ( ) ( )2 2
5 x 0 x 5
3 2x 7 0x 2 5 x
− ≥ ≤ 
⇔ 
− =
− = − 
 ⇔ 
7
x
2
= 
Cách 2: Bình phương hai vế. Giải phương trình. Thử nghiệm 
Pt(1) ⇒ ( ) ( )2 2 7x 2 5 x 6x 21 x
2
− = − ⇔ = ⇔ = 
Thay x = 
7
2
 vào (1). Ta được 
7 7
2 5
2 2
− = − là đẳng thức đúng. 
Vậy phương trình (1) có nghiệm 
7
x
2
= 
9 
Bài 4: 2x 3 4 3x− = + (1) 
Cách 1: ( )
x 72x 3 4 3x
2x 3 4 3x 1
2x 3 4 3x x
5
= −
− = + 
− = + ⇔ ⇔ 
− = − + = −

Cách 2: ( ) ( ) ( )( )2 2
x 7
2x 3 4 3x 5x 1 x 7 0 1
x
5
= −

− = + ⇔ + − − = ⇔
 = −

Bài 5: ( )
2 2
22
x 17 x 17
x x 169 17 x 169 x 17
34x 120x 169 x 17
≥ ≥
− + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ 
=+ = − 
Tập nghiệm S = ∅ 
Bài 6: 
2
2
x 2 1 2x x 4
1
2x 3 2x 3 4x 9
+ − −
− = −
− + −
 (1) 
Pt(1) ⇔ ( ) ( )
2x 2 1 2x x 4
1
2x 3 2x 3 2x 3 2x 3
+ − −
− = −
− + − +
Điều kiện xác định: 
3
x
2
≠ ± 
(1) ⇔ ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2x 2 2x 3 2x 3 4x 9 2x x 4 0+ + − − − − + − − = 
⇔ 
7
4x 14 0 x
2
+ = ⇔ = − (nhận) 
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Bài 1: 1 4x 3x
x 1 x 1
−
+ =
− −
 Điều kiện xác định:x ≠ 1. 
Phương trình biến đổi thành 
( )
( )
2
x 1 loại
x 5x 4 0
x 4 nhận
=
− + = ⇔ 
=
Bài 2: 2x 3x 2 x 2− + = − (1) 
(1) 
( )
2 2
2 2
x 2 x 2
x 3x 2 x 2 x 4x 4 0
x 3x 2 x 2 x 2x 0
≥ ≥ 
 
 − + = − − + =⇔ ⇔ 
  
− + = − − − =  
 ⇔ 
x 2
x 2 x 2
x 0
≥

= ⇔ =

=
Bài 3: 2x 1 x 3− = + ⇔ 
2 2
2 2
x 1 x 3 x x 4 0
x 1 x 3 x x 2 0 (*)
 − = + − − =
⇔ 
− = − − + + =  
Phương trình (*) vô nghiệm. Do đó: 
1 17
S
2
 ±
=  
 
Bài 4: 23x 9x 7 2x 3− + = − 
( ) ( )22
2x 3 0
1
3x 9x 7 2x 3
− ≥
⇔ 
− + = −
10 
2
3
x3
x 2
x 22 x 1
x 3x 2 0
x 2
 ≥ ≥ 
⇔ ⇔ ⇔ = 
= 
− + = 
=
Bài 5: ( ) ( )2m 1 x 3 m 2 x m 0+ + − + = (1) 
Phường trình (1) có một nghệim x = –2 ⇔ ( ) ( )( )+ + − − + =4 m 1 3. 2 m 2 m 0 
⇔ − + = ⇔ =m 16 0 m 16 . 
Khi đó: 1 2
m
x x
m 1
=
+
. Với = = −1m 16 và x 2 . 
Ta được: − = ⇔ = −2 2
16 8
2x x
17 17

 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
1– Nối liên kết mỗi phương trình cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở cột (II). 
 (I) (II) 
1 
9x 7 x 2
x 36
2 7
+ − 
− − = 
 
x = 3 
A 
2 
7x 10 4
1
7x 6 5x
−
= −
−
 x = 
1
2
 B 
3 2x 1 x 1− = − x = 0 C 
4 4 x x 3− = + x ∈ ∅ D 
5 x 4 x 4− = + 
x = 9 E 
 2– Cho phương trình 3 x m− = . Khẳng định nào sau đây sai ? 
 A. Tập xác định của phương trình D = ℝ. 
 B. Nếu m = 0 thì phương trìnhcó nghiệm duy nhất x = 3. 
 C. Nếu m > 0 thì phương trình có hai nghiệm là x 3 a= ± . 
 D. Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm. 
 E. Có hai khẳng định sai. 
3– Cho phương trình 
2x 2x 3
3
x 1
+ −
=
−
. Khẳng định nào sau đây là sai ? 
 A. Khi x ≠ 1 thì phương trình có nghĩa. 
 B. Phương trình có hai nghiệm là 0 và 1 
 C. Phương trình chỉ có nghiệm là x = 0. 
 D. Khi x ≠ 1 thì phương trình viết được thành 2x x 0− = 
 E. Phương trình đã cho tương đương với phương trình 3 2x x 0− = 
11 
4– Kết quả nào sau đây là tập nghiệm của phương trình: 2x 1 x 3− = + ? 
 A. x = 4 B. x = 
2
3
− 
 C. x = –4 D. x = 4 và x = 
2
3
− 
 E. x = –4 và x = 
2
3
− 
5– Đáp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 11 4x 2x 3− = + ? 
 A. 
4
x 7 hay x
3
= − = B. x = 7 
 C. x = 4 D. 
4
x 7 hay x
3
= = 
 E. Một kết quả khác 
6– Cho phương trình 2mx 4 6+ = .Phương trình vô nghiệm khi: 
 A. m = 2 B. m = 0 
 C. m = 1 D. m = –1 
 E. Một kết quả khác 
7 – Với giả thiết là phương trình ở câu 6. Phương trình có nghiệm khi : 
 A. m ≠ 2 B. m ≠ 1 
 C. m ≠ 0 D. m ≠ –1 
 E. Một kết quả khác 
8 – Với giả thiết là phương trình ở câu 6, khi m = 1 thì nghiệm của phương trình là: 
 A. x = 1 hoặc x = –5 B. x = –1 hoặc x = –5 
 C. x = 5 hoặc x = –1 D. x = 1 hoặc x = 5 
 E. Một kết quả khác 
9 – Cho phương trình ( )2m x 1 m 5m 6 x+ − = − . Với giá trị nào của m được cho sau 
đây thì phương trình có nghiệm duy nhất ? 
 A. m = 2 B. m = 3 
 C. m = 2 hoặc m = 3 D. m ≠ 2 và m ≠ 3 
 E. Một kết quả khác 
10 – Cho phương trình 2m x 3x 2m 2x+ = + . Khẳng định nào sau đây đúng ? 
 A. Khi m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 
2
2m
x
m 1
=
+
 B. Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất 
2
2m
x
m 1
=
+
 C. Khi m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m 
 D. Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất x = 2m + 1 
 E. Tất cả các khẳng định đều sai 
12 
 Cho phương trình : ( ) ( )2m x 2x 1 m 4 2m x 2− + = − + . Dùng giả thiết này để trả lời 
các câu 11, 12, 13. 
11 – Phương trình vô nghiệm khi m có giá trị: 
 A. m = –2 B. m = 1 
 C. m = 2 D. m = –1 
 E. Một kết quả khác 
12 – Với giá trị nào của m được cho sau đây thì phương trình có nghiệm tùy ý ? 
 A. m = –2 B. m = 1 
 C. m = 2 D. m = –1 
 E. Một kết quả khác 
13 – Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm là : 
 A. x = –2 B. x = 1 
 C. x = 2 D. x = –1 
 E. Một nghiệm khác 
Trả lời trắc nghiệm 
1– Đáp án ( )1; E , ( )2 ; A , ( )3 ; D , ( )4 ; B , ( )5 ; C 
2– Đáp án E 
3– Đáp án B 
4– Đáp án D 
2x 1 x 3− = + ⇔ ( ) ( ) ( )( )2 2
x 3 0 x 3
2x 1 x 3 2x 1 x 3 02x 1 x 3
+ ≥ ≥ − 
⇔ 
+ + + + − − =
− = + 
( )( )
x 4x 3
2
3x 2 x 4 0 x
3
=≥ − ⇔ ⇔
+ − = = −

 (vì thỏa điều kiện x ≥ −3) 
Tập nghiệm của (1): { }2S 4 ; 3= − 
5– Đáp án D. 
 11 4x 2x 3− = + ⇔ 
4
11 4x 2x 3 x
3
11 4x 2x 3
x 7

− = + = ⇔ − = − −
=
6– Đáp án B 
2mx 4 6+ = ⇔ 
2mx 4 6 2mx 2
2mx 4 6 2mx 10
+ = = 
⇔ + = − = − 
Phương trình vô nghiệm khi m = 0. 
7– Đáp án C. 
13 
Phương trình bậc nhất có nghiệm trong hai trường hợp: (nghiệm duy nhất hoăc vô 
số nghiệm). Đối với phương trình đã cho chỉ xảy ra trường hợp có nghiệm duy 
nhất. Khi đó: m ≠ 0. 
8– Đáp án A. 
Với m = 1. Ta có: 
2mx 2 x 1
2mx 10 x 5
= = 
⇔ 
= − = − 
9– Đáp án D. 
( )2m x 1 m 5m 6 x+ − = − ⇔ ( )2m 5m 6 x m 1− + = − 
Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ 2m 5m 6 0 m 2 và m 3− + ≠ ⇔ ≠ ≠ . 
10– Đáp án B 
2m x 3x 2m 2x+ = + ⇔ ( )2m 1 x 2m+ = 
Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất 
2
2m
x
m 1
=
+
11– Đáp án C 
( ) ( )2m x 2x 1 m 4 2m x 2− + = − + ⇔ ( )2m 4 x m 2− = + 
Khi m = 2, phương trình thành 0x = 4 (vô nghiệm) 
12– Đáp án A 
Khi m = –2, phương trình thành 0x = 0 (luôn luôn nghiệm đúng) 
13– Đáp án D. 
C– BÀI TẬP CÓ ĐIỂM THƯỞNG 
 BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Bài 1: Giải và biện luận phương trình ( )3 2m x m 4 4m x 1− − = − . 
Bài 2: Giải phương trình : 23 2x 4x 9 2x+ − + = 
Bài 3: Giải phương trình 
3 2
3 7 3x 17
x 3 x 1 x 4x 3x
− −
+ =
+ + + +
Bài 4: Giải phương trình : 2x x 3 x 1 0− − + + = 
Bài 5: Giải phương trình 27x 12x 5 3x 5− + = − 
Bài 6: Cho phương trình ( )2x 2 m 2 x 4m 5 0− + + + = . 
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 1 2x x 2− = 
14 
Hướng dẫn giải bài tập 
Bài 1: Phương trình ( )3 2m x m 4 4m x 1− − = − (1) 
Phương trình (1) ⇔ ( )( ) ( )2m m 2 m 2 x m 2− + = − 
Trường hợp 1: ( ) ( )m m 2 m 2 0 m 0 , m 2− + ≠ ⇔ ≠ ≠ ± . 
Phương trình có nghiệm duy nhất: ( )
m 2
x
m m 2
−
=
+
Trường hợp 2: ( )( )m m 2 m 2 0 m 0 hoặc m 2 hoặc m 2− + = ⇔ = = = − . 

 Khi m = 0: (1) ⇔ 0x = 4 : Phương trình (1) vô nghiệm. 

 Khi m = 2: (1) ⇔ 0x = 0 : Phương trình (1) luôn luôn nghiệm đúng. 

 Khi m = –2: (1) ⇔ 0x = 16 : Phương trình (1) vô nghiệm. 
Bài 2: Phương trình : 23 2x 4x 9 2x+ − + = (1) 
( ) ( )
2
22
2x 3 0
1 4x 4x 9 2x 3
4x 4x 9 2x 3
− ≥
⇔ − + = − ⇔ 
− + = −
( )22
32x 3 0 x
2
4x 4x 9 2x 3 8x 0

− ≥ ≥ 
⇔ ⇔ 
− + = −  =
Phương trình (1) vô nghiệm. 
Bài 3: 
3 2
3 7 3x 17
x 3 x 1 x 4x 3x
− −
+ =
+ + + +
 (1) 
Tập xác định { }D \ 0 ; 1 ; 3= − −ℝ 
Phương trình biến đổi thành + + =210 x 27x 17 0 ⇔ 
( )
( )
= −


= −

x 1 loại
17
x nhận
10
Bài 4: 2x x 3 x 1 0− − + + = 
( ) 21 x x 3 x 1⇔ − − = − − ⇔ 2
2
x 1x 1
x 2 0 x 2
x 2x 4 0 x 1 5
≤ −≤ − 

 − = = ±⇔ 
 
− − = = ±  
Với x ≤ –1, ta nhận được nghiệm 
x 2
x 1 5
 = −

= −
15 
Bài 5: 27x 12x 5 3x 5− + = − (1) 
( ) ( )22 2
53x 5 0 x
31
7x 12x 5 3x 5 x 9x 10 0

− ≥ ≥ 
⇔ ⇔ 
− + = − 
− + =
⇔ 
5
x
9 413
x
29 41
x
2
 ≥ +
⇔ =
±
=

Bài 6: Phương trình ( )2x 2 m 2 x 4m 5 0− + + + = (1) 
a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
⇔ ∆’ > 0 ⇔ 2
m 1
m 1 0 m 1
m 1
< −
− > ⇔ > ⇔  >
b. Phương trình có hai nghiệm thỏa 1 2x x 2− = 
Phương trình có hai nghiệm thỏa 1 2x x 2− = thì hai nghiệm không thể trùng 
nhau. Do đó: ∆’ > 0 ⇔
m 1
m 1
< −
 >
Khi đó: ( )22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x 2 x x 2x x 4 x x 4x x 4− = ⇔ + − = ⇔ + − = (*) 
Với: 
( )1 2
1 2
x x 2 m 2
x x 4m 5
+ = +

= +
(*) ⇔ ( ) ( )24 m 2 4 4m 5 4+ − + = 
2m 2 0 m 2⇔ − = ⇔ = ± (thỏa điều kiện ∆’ > 0) 
16 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 
A– TÓM TẮT GIÁO KHOA 
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn 

 Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y dạng: ax by c+ = (1) 
Với a, b, c là các hệ số và a, b không đồng thời bằng 0 

 Nghiệm của (1) là ( )0 0x ; y sao cho 0 0ax by c+ = . 

 Ghi chú: 
c ≠ 0 vô nghiệm 
a = b = 0 
c = 0 nghiệm (x; y) tùy ý 
a ≠ 0, b = 0 Nghiệm có dạng ( )c ; y , với y
a
 
∈ 
 
ℝ 
a = 0, b ≠ 0 ( )cx; , với x
b
 
∈ 
 
ℝ 
a ≠ 0, b ≠ 0 
Nghiệm có dạng 
c ax
x;
b
− 
 
 
 , (x∈ ℝ) 
hoặc ( )c by ; y , với y
a
− 
∈ 
 
ℝ 

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm của (1) là một đường thẳng 
trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 

 Dạng 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

+ =
(x, y là hai ẩn số), (các chữ còn lại là hệ số) 

 Nghiệm của hệ là cặp số ( )0 0x , y nghiệm đúng đồng thời cả hai 
phương trình. 
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 

 Dạng 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =

+ + =
 + + =
x, y,z là ba ẩn số. Các chữ còn lại là hệ số. 

 Nghiệm của hệ là bộ ba số ( )0 0 0x , y , z nghiệm đúng đồng thời cả 
ba phương trình của hệ. 
17 
B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
 BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Bài 1: Giải phương trình: 3x – 5y = 4. 
Giải 

 Cách 1: Với x ∈ ℝ, ta có: 3x – 5y = 4 ⇔ 
3x 4
y
5
−
= . 
Phương trình vô số nghiệm dạng: 
x
3x 4
y
5
∈

−
=
ℝ
Tập nghiệm: S = 
3x 4
x; x
5
 − 
∈  
  
ℝ 

 Cách 2: Với y ∈ ℝ, ta có: 3x – 5y = 4 ⇔ 
5y 4
x
3
+
= . 
Phương trình vô số nghiệm dạng: 
y
5y 4
x
3
∈

+
=
ℝ
Tập nghiệm: S = 
5y 4
y; x
3
 + 
∈  
  
ℝ . 

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d): 
3x – 5y = 4 ⇔ 
3x 4
y
5
−
= . 
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
4x 7y 1
x 3y 14
+ =

− = −
 (*) 
Chú ý: Xét hệ 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

+ =
 (*) 
Phương pháp Gau-xơ: Khử bớt một ẩn từ một trong hai phương trình của hệ để hệ (*) 
có dạng 1 1 1
a x b y c
0 my n
+ =

+ =
 hoặc 
2 2 2
mx 0 n
a x b y c
+ =

+ =
Như vậy ta tính được giá trị của một ẩn. Rồi tìm giá trị của ẩn còn lại. 
* Ngoài ra, ta còn các hương pháp đã học ở lớp dưới: 
Phương pháp cộng đại số: Nhân lần lượt hai phương trình với các số thích hợp để có 
thể khử được x (nhằm tính y) hoặc khử được y (nhằm tính x). Tổng quát: 
Hệ (*) ⇔ 
( )
( )
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
a b a b x c b b c
a b a b y a c a c
− = −

− = −
Giải 
Phương pháp Gau-xơ 
Nhân phương trình (2) cho –4 rồi cộng với phương trình (1). ta có: 
O
1
1
18 
4x 7y 1 4x 7y 1 y 3 x 5
x 3y 14 19y 57 4x 7.3 1 y 3
+ = + = = = −   
⇔ ⇔ ⇔   
− = − = + = =   
Tập nghiệm: ( ){ }S 5 ; 3= − 
Phương pháp cộng đại số: 
Để tính x: Hệ (*) ⇔ 
12x 21y 3
19x 95 x 5
7x 21y 98
+ =
⇒ = − ⇔ = −
− = −
Để tính y: Hệ (*) ⇔ 
4x 7y 1
19y 57 y 3
4x 12y 56
+ =
⇒ = ⇔ =
− + =
Tập nghiệm: ( ){ }S 5 ; 3= − 
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm 
x 3y m
mx 6y 1
− =

+ =
 (*) 
Giải 
Nhân (1) cho 2, cộng hai phương trình cho nhau vế theo vế. 
x 3y m
mx 6y 1
− =

+ =
 ⇔ ( )
x 3y m
m 2 x 2m 1
− =

+ = +
Hệ (*) vô nghiệm khi phương trình : ( )m 2 x 2m 1+ = + vô nghiệm 
⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = –2. 
Bài 4: Giải hệ phương trình: (*) : 
x y z 2 (1)
x 2y 3z 1 (2)
2x y 3z 1 (3)
+ + =

+ + =
 + + = −
Giải 
Nhân (1) với –1, cộng với (2) vế theo vế. Nhân (1) với –2, cộng với (3) vế theo vế. 
(*) ⇔ 
x y z 2
y 2z 1 (4)
y z 5 (5)
+ + =

+ = −

− =
Nhân (5) với 2, cộng với (4) vế theo vế. Ta được: 
(*) ⇔ 
x y z 2
y 2z 1
3z 6
+ + =

+ = −

= −
Ta có: z = –2. Thế ngược lên trên, suy ra: y = 3 và x = 1. 
Vậy Tập nghiệm của hệ là ( ){ }S 1; 3 ; 2= − 
19 
 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0. 
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
7x 11y 36
x 3y 8
− =

− =
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm 
mx y 2
x y 3
+ =

− =
 (*) 
Bài 4: Giải hệ phương trình: (*) 
x y z 11
2x y z 5
3x 2y z 24
+ + =

− + =
 + + =
Hướng dẫn và đáp số 
Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0. 
Phương trình có vô số nghệim. 
Nghiệm có thể biểu diễn ở hai dạng: 
x
y 2x
∈

=
ℝ
 hoặc 
y
x
2
y

=

 ∈ ℝ
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d): y = 2x. 
Bài 2: Giải hệ phương trình 
7x 11y 36
x 3y 8
− =

− =
Phương pháp Gau-xơ: 
7x 11y 36 7x 11y 36 x 2
x 3y 8 10y 20 y 2
− = − = =  
⇔ ⇔  
− = = − = −  
Bài 3: 
mx y 2
x y 3
+ =

− =
 ⇔ ( )
mx y 2
m 1 x 5
+ =

+ =
Hệ phương trình vô nghiệm khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1. 
Bài 4: 
x y z 11
2x y z 5
3x 2y z 24
+ + =

− + =
 + + =
⇔ 
x y z 11 x y z 11 x 4
3y z 17 3y z 17 y 5
y 2z 9 5z 10 z 2
+ + = + + = =  
  
+ = ⇔ + = ⇔ =  
  + = = =  
Vậy Tập nghiệm của hệ là ( ){ }S 4; 5 ; 2= 

 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
1– Cặp số nào được cho sau đây là nghiệm của phương trình 2x 3y 1 0− − = ? 
 A. ( )1; 1 B. ( )2 ; 1 
 C. ( )3 ; 2 D. ( )1; 2 
 E. Không có cặp số nào là nghiệm 
1
1
O
20 
2– Cặp số ( )1; 2 là nghiệm của phương trình nào được cho sau đây ? 
 A. 4x + 3y – 2 = 0 B. –4x – 3y + 2 = 0 
 C. 4x – 3y + 2 = 0 D. 4x – 3y – 2 = 0 
 E. 4x + 3 y + 2 = 0 
3– Hãy nối liên kết mỗi phương trình được cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở 
cặp (II). 
 Phương trình Nghiệm 
1 x – 2y + 1 = 0 ( )1; 3 A 
2 2x – y + 1 = 0 ( )1; 0 B 
3 x + 2y – 1 = 0 ( )1; 1 C 
4 x – 2y – 1 = 0 ( )1; 3− − D 
5 2x – y – 1 = 0 
( )3 ; 1 E 
4– Phương trình 3x 4y 1 0+ − = có tập nghiệm là tập nào sau đây ? 
 A. 
x
3x 1
y
4
∈

+
=
ℝ
 B. 
1 4y
x
3
y
+
=

 ∈ ℝ
 C. 
x
3x 1
y
4
∈

−
=
ℝ
 D. 
4y 1
x
3
y
−
=

 ∈ ℝ
 E. 
x
1 3x
y
4
∈

−
=
ℝ
 Cho phương trình ( ) ( )2m m 1 x m 1 y m 1 0− + − + − = .Dùng giả thiết này để trả lời các 
câu 5, 6, 7. 
5– Khi m = 0. Nghiệm của phương trình là: 
 A. Cặp số ( )x ; 1 , x ∈ℝ . B. Cặp số ( )x ; 1 , x− ∈ℝ . 
 C. Cặp số ( )1; y , y− ∈ℝ . D. Cặp số ( )1; y , y ∈ℝ . 
 E. Phương trình vô nghiệm. 
6– Khi m = 1. Tập nghiệm của phương trình là: 
 A. Tập hợp rỗng. 
 B. Tập các cặp số ( )x ; 0 , với mọi x ∈ ℝ. 
 C. Tập các cặp số ( )0 ; y , với mọi y ∈ ℝ. 
 D. Tập các cặp số ( )x ; y , với mọi x, y ∈ ℝ. 
 E. Một tập hợp khác. 
21 
7– Khi m = –1. Tập nghiệm của phương trình là: 
 A. Cặp số ( )x ; 1 , x ∈ℝ . B. Cặp số ( )x ; 1 , x− ∈ℝ . 
 C. Cặp số ( )1; y , y− ∈ℝ . D. Cặp số ( )1; y , y ∈ℝ . 
 E. Phương trình vô nghiệm. 
8– Nối liên kết mỗi hệ phương trình được cho ở cột (I) với nghiệm tương ứng của nó 
được cho ở cột (II). 
 Phương trình Nghiệm 
1 2x – 3y + 6 = 0 
3
x ; x 3 , x
2
 
− ∈ 
 
ℝ A 
2 3x + 2y + 6 = 0 
3
y 3 ; y , y
2
 
− + ∈ 
 
ℝ B 
3 2x + 3y – 6 = 0 
3
x ; x 3 , x
2
 
− − ∈ 
 
ℝ C 
4 2x – 3y – 6 = 0 
2
x ; x 2 , x
3
 
− ∈ 
 
ℝ D 
5 3x – 2y – 6 = 0 
3
y 3 ; y , y
2
 
− ∈ 
 
ℝ E 
9– Cho hệ phương trình : 
x my 3
mx 4y 6
+ =

+ =
. Khẳng định nào sau đây là sai ? 
 A. Khi m = 1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1) 
 B. Khi m = 0. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3; 
3
2
). 
 C. Khi m = 2. Hệ phương trình có nghiệm tùy ý (x; y) 
 D. Khi m = –2. Hệ phương trình vô nghiệm. 
 E. Có một trong các khẳng định trên là sai. 
 Cho hệ : 
( )
( )
3x m 1 y m 1
m 1 x y 3
+ − = +

+ + =
. Dùng giả thiết này để trả lời các câu 10, 11, 12. 
10– Với giá trị nào của