Toán 10 - Phương trình vô tỷ

GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
1. Biến ñổi tương ñương 
*2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ⇔ = ≥
* 
( ) 02 ( ) ( ) 2( ) ( )
g x
n f x g x
nf x g x



≥
= ⇔
=
* 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )++ = ⇔ = nn f x g x f x g x 
* 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )++ > ⇔ > nn f x g x f x g x 
* 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )++ < ⇔ < nn f x g x f x g x 
 *2 ( ) ( )n f x g x< ⇔
( ) 0
( ) 0
2( ) ( )
f x
g x
nf x g x





≥
≥
<
 * 2n f(x)>g(x) ⇔ 
( ) 0
2( ) ( )
( ) 0
( ) 0
g x
nf x g x
g x
f x






≥
>
<
 ≥
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
1) 2 3 0− + =x x 
 2) 4 1 1 2+ − − = −x x x 
 3) 22 6 1 1x x x+ + = + 
4) 
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
5) 24 1 4 1 1x x− + − = 
Ví dụ 2:Giải các bt sau 
1) 22x -6x+1-x+2>0 
 2) ( 5)(3 4) 4( 1)x x x+ + > − 
 3) 2 2( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − − ≥ 
 4) 2 1x x x+ − + ≤ 
 5) 
2
2 4(1 1 )
x
x
x
> −
+ +
 6) 
22( 16) 73
3 3
x x
x
x x
−
−
+ − >
− −
Bài tập: 
Giải các phương trình và bất phương trình sau. 
 1) 7 13 3 9 5 27x x x− − − ≤ − 
 2) 
2
222 2(1 1 )
x x
x
− =
+ +
 3) 2( 1) ( 2) 2− + + =x x x x x 
 4) 3(2 2) 2 6x x x+ − = + + 
 5) 1 1+ − − ≥x x x 
 6) 5 1 1 2 4x x x− − − > − 
 7) 2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + = 
GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 2
 8) 12 3 2 1x x x+ ≥ − + + 
 9) 28 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ 
10) 3 3 5 2 4x x x− − − = − 
11) 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ − 
12) 2 2( 3) 4 9x x x− + ≤ − 
13) 1 1x x x+ − − ≥ 
14) 2 24 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ − 
2. ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình 
Ta thường ñặt ẩn phụ cho các biểu thức ñồng dạng 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
 1) 2( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = + 
 2) 2 2 11 31x x+ + = 
3) 3 6 3 (3 )(6 )x x x x+ + − = + + − 
4) 2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16x x x x x+ + + = + + + − 
5) 34 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − = 
6) 2 23 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + 
Ví dụ 2: Giải các bpt sau 
1) + + > − −2 25 10 1 7 2x x x x 
2) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − ≤ − 
 3) 3 24 12 6x x+ + − ≤ 
Bài tập: Giải các pt và bpt sau 
1) 1 4 ( 1)(4 ) 5x x x x+ + − + + − = 
2) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + 
3) 2 2( 4) 4 ( 2) 2x x x x x− − + + − = 
4) 3 2 41 1 1 1x x x x x− + + + + = + − 
5) 2 22 5 6 10 15x x x x+ − − > + 
6) 2 2 8 4 (4 )( 2) 0x x x x− + − − + ≥ 
7) 221 1
3
x x x x+ − = + − 
8) 29 9 9x x x x+ − = − + + 
9) 1( 3)( 1) 4( 3) 3 0
3
x
x x x
x
+
− + + − + =
−
10) 4 2 21 1 2x x x x− − + + − = 
Bài 2: Tìm m ñể các pt và bpt sau có no: 
1) 1x x m− − > 
2) m x m m x+ = − − 
3) 2 2 22 5 2 x x m x x m+ + − − = 
4) 2 2 1 2x mx m− + = − 
5) 3 6 (3 )(6 )+ + − − + − =x x x x m 
6) 2 22 2 2 1 2 4x x m x x− + = + − + 
Bài 3: Tìm m ñể pt: 22 3 1x mx x+ − = + 
có hai nghiệm phân biệt. 
Bài 4: Cmr với 0m∀ ≥ thì pt sau luôn có 
nghiệm: 
2 2 2 35( ) 4 2 0
3
x m x m+ − + + − =
Bài 5: Tìm m ñể pt sau có nghiệm: 
2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − 
GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. Hệ ñối xứng loại 1 
 1. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng 
( ; )
( ; )
f x y a
g x y b
=

=
 (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức 
ñối xứng 
 2. Cách giải: ðặt S=x+y, P=xy. biểu diễn f(x;y),g(x;y) qua S và P ta có hệ 
( ; ) 0
( ; ) 0
F S P
G S P
=

=
 giải hệ này ta tìm ñược S,P. Khi ñó x,y là no của pt: X2-SX+P=0 (1). 
 3. Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P 
2 2 2 2
3 3 2 2 3
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2
( )( ) 3
( )
( ) 2 ( 2 ) 2
x y x y xy S P
x y x y x y xy S SP
x y y x xy x y SP
x y x y x y S P P
+ = + − = −
+ = + + − = −
+ = + =
+ = + − = − −
 4. Chú ý: *Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ 
 * Hệ có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P− ≥ . 
 5. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 
1) 3 3
2 2
8
x y xy
x y
+ + =

+ =
2) 
2 23 3
3 3
3( )
6
x y x y xy
x y
 + = +

+ =
3) 3
1 1 4
x y xy
x y
 + − =

+ + + =
4) 2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =

+ + =
Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 
2 21) 2 1
x y m
x y m
+ =

+ = +
2) 
2
1 1
4 6
x y m
x y m m
 + + − =

+ = − +
3) 1
1 3
x y
x x y y m
 + =

+ = −
4) 2 2 2 6
x y m
x y m
+ =

+ = − +
 gọi (x;y) là 
nghiệm. Tìm Max và Min của 
F=xy+2(x+y). 
Ví dụ 3: Cho x+y=1. Tìm GTNN của 3 3A x y= + . 
GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 4
Ví dụ 4: Cho , 0x y ≠ thỏa mãn: 2 2( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm Max 3 3
1 1A
x y
= + . 
Bài tập: 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 
 3 3
2
1) 
26
x y
x y
+ =

+ =
2 2
2
2) 
4
x xy y
x xy y
+ + =

+ + =
30
3) 
35
x y y x
x x y y
 + =

+ =
13
64) 
5
x y
y x
x y

+ =

 + =
2 2
2 2
1 1 5
5) 
1 1 9
x y
x y
x y
x y

+ + + =


 + + + =

4 4
x 346) 
2
y
x y
 + =

+ =
Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 
2 21) 3 8
x y xy m
x y y x m
+ + =

+ = −
 2 2 2
2 1
2) 
2 3
x y m
x y m m
+ = −

+ = + −
 và xác ñịnh Min của xy. 
Bài 3: Cho x,y thỏa mãn x 3 y 2 3 x 1 y.− + = + − Tìm gtln và gtnn của x+y. 
II. Hệ ñối xứng loại 2 
 1. ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng 
( ; )
( ; )
f x y a
f y x a
=

=
 (II) 
 2. Cách giải: Trừ hai pt của hệ cho nhau ta ñược ( ; ) ( ; ) 0f x y f y x− = 
( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0
x y
x y g x y
g x y
=
⇔ − = ⇔ 
=
. 
3. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 
2
2
3 2
1) 
3 2
x x y
y y x
 = +

= +
2
2
3 2
2) 3 2
x y
x
y x
y

= +

 = +

9 7 4
3) 
9 7 4
x y
y x
 + + − =

+ + − =
2
2
2
2
23
4) 
23
yy
x
x
x
y
 +
=


+
=


GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 5
Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 
2 1
1) 
2 1
x y m
y x m
 + − =

+ − =
4 2
2) 
4 2
x y m
y y m
 + − =

+ − =
Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có 
nghiệm duy nhất thì ñiều kiện cần là x0=y0. 
Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 
2
2
1) x y y m
y x x m
 = − +

= − +
2 3 2
2 3 2
3 2
2) 
3 2
x y y my
y x x mx
= − +

= − +
Bài tập: 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 
3
3
2
1) 
2
x x y
y y x
 = +

= +
2 2
2 2
2 2
2) 
2 2
x y x y
y x y x
− = +

− = +
3
3
1 2
3) 
1 2
x y
y x
+ =

+ =
2
2
12
4) 
12
x y
y
y x
x

= +


= +

2 2
5) 
2 2
x y
y x
 + − =

+ − =
4 2 2
6) 
4 2 2
x y
y x
 + − =

+ − =
1 1
7) 
1 1
x y
y x
 + + =

+ + =
2
2
2
18) 
2
1
y
x
y
xy
x

=
−


=

−
Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 
3
1) 
3
x y m
y x m
 + − =

+ − =
1 2
2) ( 0)
1 2
x y m
m
y x m
 + + − = ≥
+ + − =
GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 6
Bài 3:Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 
2 3 2
2 3 2
4
1) 
4
y x x mx
x y y my
 = − +

= − +
2
2
2
2
2
2) 
2
m
x y
y
my x
x

= +


= +

2
2
( 1)
3) 
( 1)
x y m
y x m
 + = +

+ = +
3
3
2
4) 
2
x y x m
y x y m
 = + +

= + +
III. Hệ ñẳng cấp 
1.ðịnh nghĩa: 
*Biểu thức f(x;y) gọi là hệ ñẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; )kf mx my m f x y= 
*Hệ: 
( ; )
( ; )
f x y a
g x y b
=

=
 trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp 
2. Cách giải: 
 *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra 
 * với 0≠x ñặt y=tx thay vào hệ ta có: 
( ; ) (1; )
( ; ) (1; )
k
k
f x tx a x f t a
g x tx b x g t b
= = 
⇔ 
= =
(1; ) (1; ) ,af t g t t x y
b
⇒ = ⇒ ⇒ . 
3. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Giải các hệ pt sau 
2 2
2 2
3 1
1) 
3 13
x xy y
x xy y

− + = −

− + =
2
3 3
( ) 2
2) 
19
x y y
x y

− =

− =
2 2
2
4 1
3) 
3 4
x xy y
y xy

− + =

− =
Ví dụ 2:Tìm a ñể hệ bpt sau có nghiệm 
2 2
2 2
5 4 2 3
2 17 4 2
2 5
x xy y
a
x xy y
a

− + ≥


−
+ + ≤
+
. 
Bài tập: Giải các hệ pt sau 
2 2
2 2
3 5 4 38
1) 
5 9 3 15
x xy y
x xy y
 + − =

− − =
2 2
2 2
2 4
2) 
2 2 4
x xy y
x xy y
 + + =

+ + =
2 2
2 2
( )( ) 3
3) 
( )( ) 15
x y x y
x y x y

− − =

+ + =
GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 7
IV. Một số hệ khác 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 
3
3
1) 
12
x y x y
x y x y
 + = +

− = − −
( )2 2
2 2
(1 ) 1
2) 
3 1
y x x y
x y
 + = +

 + =
3 3 3
2 2
1 19
3) 
6
x y x
y xy x
 + =

+ = −
3 3
2 2
3 3
4) 
1
x y y x
x y
 + = +

+ =
3 165) 
3 8
x y
x y
 =

+ =
3
1 1
6) 
2 1
x y
x y
y x

− = −


= +
Bài tập: Giải các hệ pt sau 
3
1) 
2
x y x y
x y x y

− = −

+ = + +
3
2)
4 1 1 2
x y x y
x y x

− = −

+ − − = −
2 1 13) 
3 2 4
x y x y
x y
 + + − + =

+ =
V. Giải phương trình bằng cách ñặt ẩn phụ ñưa về hệ 
1. Các dạng thường gặp 
 *
n nx b a ax b+ = − ñặt nt ax b= − ta có hệ 
n
n
x b at
t b ax
 + =

+ =
 * ( ) ( )n ma f x b f x c− ± + = ñặt ( ), ( )n mu a f x v b f x= − = + ta có: 
n m
u v c
u v a b
± =

+ = +
2. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
3 31) 1 2 2 1x x+ = − 
4 42) 17 3x x+ − = 
33) 2 1 3x x− + + = 
4 4 44) 1 1x x x= + − − 
2 2 155) 8 8 5
16
x
x x
+
+ − = 
Ví dụ 2:Tìm m ñể pt sau có nghiệm 
3 31) 1 2 1 2x x m− + + = 2) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = . 
GV: Nguyễn Tất Thu  
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 8
Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
2 23 3 31) (2-x) + (x+7) - (2-x)(x+7)=3 
2 32) 2 4
2
x
x x
+
+ = 
33 23) 2 2x x− = − 
3 34) 1 2 1 2 2x x− + + = 
3 33 35) 35 ( 35 ) 30x x x x− + − = 
3 2 46) 1 1 1 1x x x x x− + + + + = + −
4 1 57) 2x x x
x x x
+ − = + − 
34 8 88) 17 2 1 1x x− − − = 
2 49) 2 8 6
2
x
x x
+
+ + = 
210) 2 4 6 11x x x x− + − = − + 
2 211) 3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0 x x x x x+ + + + + + + =
Bài 2: giải các hệ sau 
2 2 2 2
2
1)
4
x y x y
x y x y
 + − − =

+ + − =
3 3 3
2 2
1 19
2)
6
x y x
y xy x
 + =

+ = −
2 2
2 2 2
6
3)
1 5
y xy x
x y x
 + =

+ =
2 3
2
( ) ( ) 12
4)
( ) 6
x x
y y
xy xy

+ =

 + =
2 2 3
5)
3
x y
y x
x y xy

+ =


− + =
2
2
1 3
6)
1 3
x
x
yy
x
x
y y

+ + =


 + + =

2
7)
1
x y x y
y x y x
 + + − =

 + − − =
1 3 3
8)
12 8
x x y
y
x y
y

+ + + − =


 + + =

( )
9) 2
( ) 3
x
x y y
x y x y

− =

 + =
2
2
2 1
10)
1
x x y
x y

− + =

 + =
3
3
11)
12
x y x y
x y x y
 + = +

− = − −