Toán 11 - Chủ đề 1: Hàm số – Đạo hàm

h (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (3). 
BB3: Đưa các giá trị cụ thể của giả thiết vào phương trình của (Pλ), ta sẽ xác định được 0λ=λ bằng các phương trình đặc trưng. 
Lấy x0 thay vào các phương trình (Pλ) ta có ngay ycbt. 
VI. TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ: 
 1. Nằm cùng phía với trục hoành 
⎩⎨
⎧
<
>Δ⇔
0y.y
0'y
21
 2. Nằm ở hai góc phần tư: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
13 
(I) và (III) (II) và (IV) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=>
<<
>Δ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
>>
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
 hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y
'y
21
22
11 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=<
<<
>Δ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
 hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y
'y
21
22
11 
VII. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1 HOẶC 3 ĐIỂM: 
(*)0dcxbxax :điểm giao PTHĐdcxbxaxy 2323 =+++⇒+++= 
(*) có nghiệm đặc biệt x0( )( ) 0cbxaxxx 20 =++− 
Có nghiệm kép Có 1 nghiệm Có 3 nghiệm 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎢⎢⎣
⎡
α==++
=++
⎩⎨
⎧
=
=
x nghiệm 0cbxax
 képnghiệm 0cbxax
chung nghiệm có 
0'y
0y
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
≤Δ
⇔
=++
a2
bx
0
 képnghiệm hoặcnghiệm vô
0cbxax
0
2
( )⎩⎨
⎧
≠
>Δ⇔
≠
=++
0xg
0
xx nghiệm 2 có
0cbxax
0
0
2
(*) không có nghiệm đặc biệt 
cbx2ax3'y 2 ++= 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
=
=
=
chung nghiệm 
0'y
0y
0yy minmax
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
<
>Δ
≤Δ
0yy
0'y
0'y
minmax
⎩⎨
⎧
<
>Δ
0yy
0'y
minmax
Ghi chú: PT bậc 3: y=0 không thể có 3 nghiệm phân biệt 
⎩⎨
⎧
>
≤Δ⇔
0yy
0'y
minmax
VIII. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3 ĐIỂM CÓ HOÀNH ĐỘ DƯƠNG (HAY ÂM): 
Hoành độ Hoành độ dương Hoành độ âm 
Lớn hơn α Nhỏ hơn α 
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ 
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
<
>
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
<<α
<α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
α<<
>α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21
CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT 
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]: 
• f liên tục trên [a;b] có M[GTLN] và m[GTNN] của f trên [a;b] ( ) [ ]b;axMxfm ∈∀≤≤⇔ 
• Tìm giá trị cực trị của f(x) trên [a;b] để tìm maxf và minf. 
Chú ý 1: 
1. 
[ ] [ ] ( ) ( ){ }
[ ] ( ) ( ){ }CTCĐb;ax
CTCĐb;ax
f,f,bf,afminm
f,f,bf,afmaxMba; trên tụcliên f minf maxf, 
∈
∈
=
=⇒⇔∃
2. Dùng MGT tìm max, min: . Mym 0 ≤≤
3. Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky. 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
14 
Chú ý 2: 
1. Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;b) có điểm cực trị ( )b;ax0 ∈ . 
min
max
y
00'y
xxx 21
+−+
∞+∞−
max
min
y
00'y
xxx 21
−+−
∞+∞−
2. f(x) tăng hoặc giảm trên [a;b] 
( ) ∞+=
+
∞+
afy min
y
'y
xx 0
 ( )
∞−
=
−
∞+
bfy max
y
'y
xx 0
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN [ ]βα; : 
• a>0 hoành độ đỉnh 
a2
bx0 −= 
) Nếu [ ] ( ) ( ) ( ){ }x ; : min y f x ; max y max f , f0 0∈ α β = = α β 
) Nếu [ ] ( ) ( )x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.0 ∉ α β α β
• a<0 
) Nếu [ ] ( ) ( ) ( ){ }x ; : max y f x ; min y max f , f0 0∈ α β = = α β 
) Nếu [ ] ( ) ( )x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.0 ∉ α β α β
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ: 
 1. Phương pháp 1: ( ) ( ) ( ) ( )GTLN f x max f x và GTNN f x min f x
x D x D x D x Df f f
= =
∈ ∈ ∈ ∈ f
( ) ( ) ( )
f x m; x Dđnmin f x m
x D : f x mx D 0 f 0f
≥ ∀ ∈
=
∃ ∈ =∈
⎧⎪←⎯→⎨⎪⎩
 ( ) ( ) ( )
f x M; x Dđnmax f x M 
x D : f x Mx D 0 f 0f
≤ ∀ ∈
=
∃ ∈ =∈
⎧⎪←⎯→⎨⎪⎩
y
A B
a b0 x
xfminy
bxaCT ≤≤=
xfmaxaf
bxa ≤≤
=
f(b)
 2. Phương pháp 2: 
BB1: Kiểm tra tính liên tục của hàm f trên [ ]b;aDf =
BB2: Tìm các số cực đại, số cực tiểu (giá trị y0=f(x0) của các cực trị địa phương tại các điểm ( )b;ax0 ∈ ). 
Tìm f(a), f(b): là các số trị biên của hàm f. 
BB ( )
( )
3: So sánh f(a), f(b) và các y0, ta có: ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ } xf miny các;bf;afminm
xf maxy các;bf;afmaxM
bxa0bxa
bxa0bxa
≤≤≤≤
≤≤≤≤
==
==
Ghi chú: Khi viết , ta có tập giá trị của hàm f là: f(D( ) Mxfm ≤≤ f) = [m;M] 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
15 
CHỦ ĐỀÀ 5: LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN, TIỆM CẬN 
I. LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN I(x0,f(x0)): 
x x x01 02
y " 0 0
y Lõm Uốn Lồi Uốn Lõm
−∞ +∞
+ − + 
x x0
y " 0
y Lồi Uốn Lõm
−∞ +
− +
∞
 Dấu hiệu điểm uốn: 
Dấu hiệu 1: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f x 0 ; f x đổi dấu - ,x ; x ,′′ ′′= ∞ 0 +∞ 
Dấu hiệu 2: 
( )
( )
( )
( )
f x 0 f x 00 0 hoặc 
f x 0 f x 00 0
′′ ′′= =
′ ′≥ ≤
⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩
II. CÁC DẠNG ĐIỂM UỐN: 
HÌNH DẠNG ĐIỂM UỐN DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐIỂM UỐN 
I
(T)
(C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
x a; b : f x 0; f x0 0 0i
f x đổi dấu khi x đi qua x0
I x ; f x : là điểm uốn của C : y f x0 0
′′ ′ 0∃ ∈ = ∃
′′
⇒ =
⎧⎪⎨⎪⎩
≠
I(T) (C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
x a; b : f x 02 0 0i
f x không đổi dấu khi x đi qua x0
I x ; f x : là điểm uốn của C : y f x0 0
′∃ ∈ =
′
⇒ =
⎧⎪⎨⎪⎩ 
I
(T)
(C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
x a; b :gt mở rộng f x3 0 0i :
f x đổi dấu khi x đi qua x0
 giá trị mở rộng f x0
4i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc0
f x đổi dấu khi x đi qua x0
I x , f x : là0 0
′′∃ ∈ = ∞
′′
′ = ∞
′
′′
⇒
⎡ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎢ ⎧⎢ ⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎢ ⎩⎣
( ) ( ) điểm uốn của C : y f x=
III. TIỆM CẬN: 
Tiệm cận đứng x = x0 Tiệm cận ngang y = y0 Tiệm cận xiên y = ax+b 
∞=
→
ylim
0xx
 0x
yylim =∞→ 
( )[ ]
( )[ ]⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
∞=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
=
∞→
∞→
∞→
∞→
0baxylim
lim
baxylimb
x
ylima
x
x
x
x
Chú ý: 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
16 
( ) ( ) xiêncậntiệmlàbaxy thì 0xlim với xbaxy
x
+==εε++= ∞→ 
 1. Hàm phân thức 
( )
( )xQ
xPy = : 
TCĐ: x = x0 TCN TCX TC cong là Parabola 
Tìm nghiệm x0 của Q(x) = 
0 Bậc P(x)≤Bậc Q(x) Bậc P(x) > Bậc Q(x) 1 bậc Bậc P(x) > Bậc Q(x) 2 bậc 
 2. Hàm hữu tỷ: 
( )
( ) 'bx'a
'a
'bP
'a
'abb'ax
'a
a
xQ
xP
'bx'a
cbxaxy 2
2
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+−+==+
++= 
TCX:
'a
'abb'ax
'a
ay0
'bx'a
'a
'bP
lim 2x
−+=⇒=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
∞→ 
 3. Hàm vô tỷ (hàm căn thức): y = f(x) 
• Nếu 
( ) ( ) ( )b2f x ax bx c a x x . Với lim x 0
x2a
= + + = + + ε ε =→∞
b
Nhánh trái : y - a x
b 2a
TCX : y a x
2a b
Nhánh phải : y a x
2a
= +
⇒ = + =
= +
⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
• Nếu ( ) ( )x
2
pxbaxqpxxbaxxf 2 ε++++=++++= 
p
Nhánh trái : y ax b- x
p 2
TCX : y ax b x
2 p
Nhánh phải : y ax b x
2
= + +
⇒ = + + + =
= + + +
⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
 4. Đặc biệt: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim f x
xC y f x g x x mà T y g x là tiệm cận cong.
lim f x g x lim x 0
x x
= ∞→∞= = + ε ⇒ =
− = ε =→∞ →∞
⎧⎪⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ 
I. HÀM BẬC HAI: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++== 
• Tam thức bậc hai có dạng: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++== 
Gọi 
2a
b- xđặt 0, khi;ac4b 1,2
2 Δ±=≥Δ−=Δ , ta có f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai (cũng là 
hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2+bx+c = 0). 
• Tính chất của các nghiệm số x1; x2 (quy ước x1 < x2) 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
17 
thuận) Viete lý (Định 
a
cxxP
a
bxxS
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=+=
) ( )
a
x-x :đề Mệnh 21
Δ=⇒ 
) Hệ quả (Định lý Viete đảo): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm của phương trình: ( ) ⇒
( ) ( )04P-S :Với0PSxxxf 22 ≥=+−= 
) Nếu 21 x0x0a
cP <<⇔<= (hai nghiệm trái dấu) 
Ta có hai trường hợp nhỏ: 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−=
>⇒<−=
21
21
xx0
a
bS
xx0
a
bS
) Nếu 0xx
0
a
bS
0
a
cP
21 <<⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−=
>=
 (hai nghiệm đều âm) 
) Nếu 21 xx0
0
a
bS
0
a
cP
<<⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−=
>=
 (hai nghiệm đều dương) 
• Tính chất đồ thị ( ) ( ) cbxaxxfy:P 2 ++== 
là một Parabola (đứng) có đỉnh ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−
a4
;
a2
bS 
) Để ý 
a2
bxS −= ; là nghiệm kép của tam thức bậc hai, thì a2
bx:d −= là trục đối xứng của (P). 
• Dấu tam thức bậc hai: 
Viết tam thức dưới dạng: ( ) ( )0aac4abx4xa4xaf4 22 ≠++= 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 4ac-b với ;*bax2xaf4
bac4bax2xaf4
22
22
=ΔΔ−+=⇔
−++=⇔
Từ (*) ta có định lý thuận về dấu tam thức bậc hai như sau: 
 Tam thức bậc hai luôn có dấu của hệ số a; với mọi giá trị của x và chỉ loại trừ hai trường hợp: 
) Nếu 0
a2
baf0 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⇒=Δ 
) Nếu ( ) ( )21 x;xx;0xaf0 ∈∀<⇒<Δ 
0>Δ 
• Tồn tại (x1;x2) mà trong đó f(x) trái 
dấu a 
• [ ] { }0;x;x 21 φ≠ ( )
x x1 2
| |Cùng Trái Cùng
2f x ax bx c dấu 0 dấu 0 dấu
a a| | a
−∞ +
= + +
∞
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
18 
0=Δ 
• Không tồn tại (x1;x2) mà trong đó f(x) 
trái dấu a 
• [ ] { }0x;x 21 =
⇒ Sự trái dấu bị suy biến ( )
b
x x x1 2 2a
|Cùng Cùng
2f x ax bx c dấu 0 dấu
a a|
−∞ = = −
= + +
+∞
0<Δ 
• Không tồn tại (x1;x2) mà trong đó f(x) 
trái dấu a 
• [ ] φ=21 x;x
⇒ Sự trái dấu bị biến mất 
( )
x
Cùng
2f x ax bx c dấu
a
−∞ +
= + +
∞
• Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai: 
Dấu a 
Dấu Δ 
a>0 a<0 
Δ > 0 
y
(P)
S
x1 x20 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S
x1 x2
0 x
a2
b−
a4
Δ−
Δ < 0 
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
Δ = 0 
y
(P)
S
0 x
a2
b−
a4
Δ−
y
(P)
S0
x
a2
b−
a4
Δ−
max 
min 
( )
a2
bx khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=Δ−=
∈
 ( )
a2
bx khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=Δ−=
∈
) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: 
Nếu tồn tại số thực ( ) 0af thỏa <αα , thì tam thức B2 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và 21 xx <α< . 
) Hệ quả: 
Nếu tồn tại hai số thì tam thức B( ) ( ) 0ffcho sao và <βαβα 2 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và có một nghiệm nằm trong 
khoảng ( ) ( )β<αβα với ; . 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
19 
Chẳng hạn: 2121 xx hayxx <β<<αβ<<α< 
• Từ định lý đảo ở trên ta có sự so sánh một số thực α với hai nghiệm x1, x2 của tam thức ( ) ( )0acbxaxxf 2 ≠++= 
như sau: 
) TH1: (không cần xét dấu Δ, vì luôn luôn có Δ > 0). ( ) 21 xx0xaf <α<⇔<
) TH2: Δ < 0: việc so sánh không đặt ra. 
) TH3: ( ) ( )
0
af 0 x x xem hình 11 2
S
0
2
Δ >
α > ⇔ α < <
− α >
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x1 x2α 
x // //
(hình 1) 
2
xx
2
S 21+=
) TH4: ( ) ( )2 hìnhxem 
0
2
S
xx0af
0
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<α−
αα
>Δ
x 1 x2 α
x // //
(hình 2) 
2
xx
2
S 21 +=
• Tam thức có ít nhất ba thực nghiệm ( ) cbxaxxf 2 ++= 0cba ===⇔ 
• Hai tiếp tuyến phát xuất từ một điểm bất kỳ M đến trên đường chuẩn (d) đến Parabola đều vuông góc với nhau và đồng thời 
đoạn nối các tiếp điểm T1T2 luôn luôn đi qua tiêu điểm F của (P). 
(P)
(d)
M
T1
(t )1(t )2
T2
II. HÀM BẬC BA: ( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== Học sinh xem phần này trong Sgk 
( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== 
• MXĐ: ( )+∞∞−= ;D
• Các đạo hàm: 2b6axy và cbx2ax3y 2 +=′′++=′
• Tâm đối xứng là điểm uốn: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
a3
bf;
a3
bI 
• Xét . Ta được bảng tổng kết. ac3b2'y −=Δ′=Δ′
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
20 
0
0a
<Δ′
>
 ∞+
∞−
+′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
<Δ′
<
∞−
∞+
−′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
=Δ′
>
∞+
∞−
++
∞+∞−
y
'y
a3
bx
y
I
(C)
0
x
a3
b−
0
0a
=Δ′
<
∞−
∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
bx
y
I
(C)
0
x
a3
b−
)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
>
 ∞+
∞−
+−+
∞+∞−
CT
CĐ
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b−
)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
<
∞−
∞+
−+−
∞+∞−
CĐ
CT
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b−
Chú ý: Xem thêm phần 7 CHỦ ĐỀà 3 
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) ở trên có điểm cực tiểu và điểm cực đại (hàm số có cực trị) là: 
 ( ) ( ) 0ac3b có cbx2ax3xgx'f'y 2g2 >−=Δ′++===
2. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị. Ba điểm A, I, B thẳng hàng. 
• Gọi (x0;y0) là tọa độ các điểm cực trị ở trên nó thỏa: 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ =++=
+++==
0cbx2x3xg
dcxbxaxxfy
0
2
00
0
2
0
3
000
• Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x0) : f(x0), ta có: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y f x Ax B g x x y x vì g x 0= = + + α +β ⇔ = α +β = 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
21 
• Vậy, là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của (C). Điểm uốn của (C) là ( ) β+α= xy:d ( )dI∈ hay A, I, B 
thẳng hàng. 
• Do đó tọa độ các điểm cực trị và điểm uốn là: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
β+α−=
−=
⎩⎨
⎧
β+α=
=
⎩⎨
⎧
β+α=
=
a3
by
a3
bx
I;
xy
xx
B;
xy
xx
A
1
1
CTA
CTA
CĐA
CĐAI
3. Quỹ tích của cực trị, điểm uốn hàm bậc ba 
Từ các tọa độ A, B, I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó. 
) Khử tham số m. 
) Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với mọi giá trị tham số mDm∈∀ . 
) Quỹ tích của A, B hay I là ( ) β+α= xy:d 
4. Định tham số để hàm bậc ba cắt trục hoành trong các trường hợp 
TH1: (C) tiếp xúc Ox thì hệ sau có nghiệm: ⎪⎩
⎪⎨⎧ =++
=+++⇔
⎩⎨
⎧
=′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2
23
TH2: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧ <β+αβ+α=
>−=Δ′⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH3: (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt: ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧ =β+αβ+α=
>−=Δ′⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH4: Luôn cắt Ox tại ít nhất một điểm hay phương trình: ( )0a0dcxbxax 23 ≠=+++ : không thể vô nghiệm. 
TH5: (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất: 
( )( )⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧ >β+αβ+α=
>−=Δ′
≤−=Δ′
⇔
0xxyy
0ac3b
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
2
g
TH6: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm dương: ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
>
<
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
 hoặc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCĐ
CĐ
CTCĐ
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0) xCĐ
x3
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0)
xCT x3
TH7: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm âm: ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
<
<
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
 hoặc
0x
00f
0yy
0a
CĐ
CTCĐ
CT
CTCĐ
y
(C) 0
x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0)
xCĐ
x3
y
(C) 0
x
x1 x2
fCT
fCĐ
f(0)
xCĐ
x3
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
22 
TH8: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm dương: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
>Δ
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
 hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g
CT
CTCĐ
g
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCĐ
xCT
yCĐ
yCĐ
yCT
x3
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCĐ
xCT
yCĐ
yCĐ
yCT
x3
TH9: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm âm: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
<
>Δ
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
 hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g
CĐ
CTCĐ
g
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCĐ
xCT
yCĐ
yCT
x3
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCĐ
xCT
yCĐ
yCT
x3
5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng 
TH1: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng hay 
x1 + x3 = 2x2 hay ( ) mà AB = BC. { }C;B;AOxC =∩
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
∃>−=Δ
⇔
OxI uốnđiểm:0
a3
bf
CT;CĐ:0ac3b' 2g
TH2: Định lý Viete: Khi ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 và không chỉ đúng một nghiệm đơn thì: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=++
−=++
a
dxxx
a
cxxxxxx
a
bxxx
321
133221
321
6. Dạng đặc biệt của hàm bậc 3: 
Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có một nghiệm x0 = α ( ) ( ) ( )⎢⎣
⎡
=ϕ++αα+α++=
α=⇔
0baxbaxxg
x
2
) Có 3 nghiệm đơn 
( )
⎩⎨
⎧
>Δ
≠⇔
0
0xg
g
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
23 
) Có đúng hai nghiệm 
( ) ( )
⎩⎨
⎧
>Δ
=∨
⎩⎨
⎧
=Δ
≠⇔
0
0xg
0
0xg
gg
) Có đúng một nghiệm 
( )
⎩⎨
⎧
=Δ
≠∨<Δ⇔
0
0xg
0
g
g 
7. Dạng không đặc biệt của hàm bậc 3 
TH1: Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (*) không tìm được nghiệm đặc biệt thì (*) có nghiệm kép: ( 0a ≠ )
) thì
⎪⎩
⎪⎨⎧ =++
=+++⇔
0cbx2ax3
0dcxbxax
 :nghiệm có sau Hệ 
2
23
TH2: Giải (*) bằng đồ thị hoặc sử dụng trong (*) định lý Bolzano Cauchy. [ ]
( ) ( ) ( ) ( )ba;cx nghiệm có 0xf0bfaf
ba; trên tục liên f
0 ∈==⇒⎭⎬
⎫
< 
Nếu giả thiết ở định lý Bolzano Cauchy cho thêm f đơn điệu thì x0 = c là nghiệm duy nhất của f(x)=0. 
TH3: Đồ thị (C): y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 có: ( )0a ≠
) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé, lớn khi a > 0, a < 0 so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với (C). 
) Qua mọi (điểm uốn của (C)) chỉ kẻ đúng được một tiếp tuyến với (C). ( ) Iy;x 00 ≡
) Xét điểm tùy ý qua M kẻ đúng được hai tiếp tuyến với (C). ( ) (Cy;xM 00 ∈ 
III. HÀM BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3) 
 1. Dạng 1: Hàm bậc bốn ( ) ( )0acdxcxbxaxy:C 234 ≠++++= 
• Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d là một đa thức bậc ba nên ít nhất một nghiệm thức α. Như vậy đạo hàm y’(x) có thể viết 
dưới dạng: y’=(x - α).g(x). Trong đó: g(x) là một đa thức bậc hai px2 + qx + r (mà các hệ số p, q, r phụ thuộc vào α, a, b, c, d). 
) Nếu g(x) vô nghiệm, g(x) chỉ có nghiệm duy nhất α và đổi dấu qua α ⇒ y(x) chỉ có một cực trị. 
) Nếu g(x) có nghiệm kép, y’ đổi dấu khi qua nghiệm α hàm số chỉ cũng có một cực trị. Hoặc là g(x) có một nghiệm 
bằng α và một nghiệm x hàm số y cũng chỉ có một cực trị. α≠2
T1
T2
(t) (C)
) Nếu g(x) có hai nghiệm phân biệt α≠21 x,x thì hàm số có ba cực trị. 
• Tiếp tuyến với đồ thị tại hai tiếp điểm: 
) B1: Gọi (t): y = αx + β là dạng tiếp tuyến không thẳng đứng của: 
 (C): y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 
 Phương trình hoành độ giao điểm của (t) và (C) là:
( ) ( )4 3 2 4 3 2ax bx cx dx e x ax bx cx d x e 0 1+ + + + = α + β ⇔ + + + − α + + β = 
) B2: Áp đặt (t) tiếp xúc (C) tại hai tiếp điểm T1(x1;y1) và T2(x2;y2) hay tạo điều kiện cho (1) có 2 nghiệm kép 
 21 xxxx =∨= ( ) ( ) ( ) 2xxxxaexdcxbxax 2221234 −−≡β++α−+++ ( ) có nghiệm. 
) B3: Cân bằng hệ số hai vế của (2) (hay đồng nhất không hai vế của (2)), ta tìm được các giá trị thực cụ thể của các hệ 
số: 00; β=βα=α và hoành độ tiếp điểm x = x1; x = x2. 
Kết luận: ( ) β+α= xy:t 0 là tiếp tuyến cần tìm. (d) y
0 x
(C)
A B C D
• Đồ thị hàm bậc bốn và trục đối xứng song song Oy: 
Xét đồ thị ( ) cdxcxbxaxy:C 234 ++++= ( 0a )≠ với giả sử 
 thì điều kiện cần để AB = BC = CD là (C) nhận (d) : x = α là 
một trục đối xứng song song Oy. Hay: 
( ) { }D;C;B;AOxC =∩
( ) ( )0a cdxcxbxaxxf 234 ≠++++= có bốn nghiệm tạo thành một cấp số cộng. 
 2. Dạng 2: Hàm trùng phương ( ) ( )0a cbxaxy:C 24 ≠++= 
• MXĐ: ( )+∞∞−= ;D
• Hàm số chẵn (trục đối xứng của (C) là Oy) 
• Sự biến thiên: Xét đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) 
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt  
24 
) Nếu chỉ có một nghiệm và đổi dấu khi x qua nghiệm ⇒ Hàm số có cực trị, đồ thị không có điểm 
uốn. 
0'y0ab =⇒≥
) Nếu có ba nghiệm, hàm số có ba cực trị, lúc này đồ thị có hai điểm uốn. Đồ thị nhận một trong 
bốn dạng sau: 
0'y0ab =⇒<
y
0 x
(C)
⎩⎨
⎧
≥
>
0ab
0a
y
0 x
(C)⎩⎨
⎧
≥
<
0ab
0a
y
0 x
(C)⎩⎨
⎧
>
>
0ab
0a
y
0 x
(C)⎩⎨
⎧
>
<
0ab
0a
• Bài toán đồ thị ( ) { } CDBCAB:D;C;B;AOxC ===∩ hay phương trình: ( ) ( )0a * 0dbxax 24 ≠=+