Toán 11 - Chủ đề: Phương trình lượng giác

ng ạ ∞
∞
2 22 2
3 14 1
3 4 1lim lim
25 2 5
x x
x
x xx x
x x
x
→−∞ →−∞
 
+ + + 
+ + +  
=
+  
+  
= 
2 2
3 14 1
3lim
2 55
x
x x
x
→−∞
 
+ + +  
= − 
− +  
c. D ng 0. ạ ∞
0 0 0
3 1 1 3[2 ( 2)] 3 3lim lim lim
2 2 2 ( 2) 2( 2) 4x x x
x
x x x x x→ → →
− + − 
− = = = − + + + 
d. D ng ạ ∞ - ∞
( ) 2 22 2
2
11
1lim 1 lim lim
1 11 1
x x x
x
x x x xx x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ + + −  + + − = =  + + +
+ + +  
Bài 2: Tìm các gi i h n sau: ớ ạ
a. 
2
1
4 3lim
1x
x x
x−→
− +
−
b. 
2
2
3 1lim
2x
x x
x+→
+ +
−
* S d ng đ nh nghĩa gi i h n m t bên. ử ụ ị ớ ạ ộ
Gi i:ả
a. V i x ớ → 1- thì x 0. Khi đó ta có
2 4 3 (1 )(3 ) 1 (3 )
1 1
x x x x x x
x x
− + − −
= = − −
− −
T đó: ừ
2
1 1
4 3lim lim 1 (3 ) 0
1x x
x x x x
x− −→ →
− +
= − − =
−
Bài 3: Cho hàm s f(x) = ố 2
2
25
4
x

−
a. Tính 4 4 3 3lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( );x x x xf x f x f x f x− + − +→− →− → →
b. Tìm các kho ng liên t c c a f(x) ả ụ ủ
* S d ng các đ nh nghĩa và đ nh lý v liên t c t i m t đi m, liên t c trên m t kho ng ử ụ ị ị ề ụ ạ ộ ể ụ ộ ả
Gi i:ả
n u x ế ≤ - 4
n u -4 < x ế ≤ 3
n u x > 3ế
n u x <2ế
n u xế ≥ 2liên t c t i x = 2ụ ạ
a. 2
4 4 4
lim ( ), lim ( ) lim 25 25 16 3
x x x
f x f x x
− + +→− →− →−
= − = − =
2
3 3 3
lim ( ) lim 25 25 9 4; lim ( ) 4
x x x
f x x f x
− − +→ → →
= − = − = =
b. Hàm s f(x) liên t c trên (- ố ụ ∞; -4), (-4; 3), (3: + ∞)
Vì 4lim ( ) ( 4)x f x f−→− = − nên f(x) liên t c trên (- ụ ∞; -4] 
Vì 4lim ( ) ( 4)x f x f+→− ≠ − nên f(x) không liên t c t i x= -4ụ ạ
Vì 3 3lim ( ) lim ( ) (3) 4x xf x f x f− +→ →= = = nên f(x) liên t c t i x=3ụ ạ
V y hàm s f(x) liên t c trên các kho ng (- ậ ố ụ ả ∞; -4] và (-4; +∞) 
Bài 4: Tìm s th c m sao cho hàm s : ố ự ố
23
( )
2 1
x
f x
mx

= 
+
* f(x) liên t c t i x = 2 n u ụ ạ ế 2 2lim ( ) lim ( ) (2)x xf x f x f− +→ →= =
Gi iả
Ta có: 
2
2 2 2 2
lim ( ) lim 3 12, lim ( ) lim(2 1) 4 1 (2)
x x x x
f x x f x mx m f
− − + +→ → → →
= = = + = + =
T đó: ừ
2 2
11lim ( ) lim ( ) 12 4 1
4x x
f x f x m m
− +→ →
= ⇔ = + ⇔ =
V i m = ớ 11
4
thì f(x) liên t c t i x = 2. ụ ạ
Bài 5: Ch ng minh r ng ph ng trình xứ ằ ươ 3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nh t m t nghi m âm. ấ ộ ệ
* S d ng đ nh lí: N u f(x) liên t c trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì t n t i đi m x ử ụ ị ế ụ ồ ạ ể ∈ (a;b) sao cho 
f(c) = 0 
Gi i:ả
Đ t f(x) = xặ 3 – 2x2 + 1
Ta có f(x) liên t c trên ụ ụ và do đó liên t c trên [-1; 0] ụ
M t khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên t n t i s c ặ ồ ạ ố ∈ (-1; 0) sao cho f(c) = 0. V y ph ng trìnhậ ươ 
có ít nh t m t nghi m âm. ấ ộ ệ
Bài 6: Ch ng minh r ng ph ng trình (3mứ ằ ươ 2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghi m âm v i m i giá trệ ớ ọ ị 
c a m. ủ
Gi i:ả
f(x) = (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 là m t đa th c nên liên t c trên ộ ứ ụ ụ và do đó liên t c trên [-1;0]. ụ
H n n a ơ ữ f(0) = 1 > 0
F(-1) = -3m2 + 5 – 7 + 1 = -(3m2 + 1) < 0, ∀m ∈ 
Do đó t n t i s c ồ ạ ố ∈ (-1; 0) sao cho f(c) = 0. V y ph ng trình luôn có nghi m âm v i m iậ ươ ệ ớ ọ 
giá tr c a m ị ủ
Bài 7: a. Tìm giao đi m c a đ th các hàm s y = ể ủ ồ ị ố 3
x
(H) và y = x – 2(d) 
b. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (H) t i các giao đi m đóế ươ ế ế ủ ạ ể
* Ph ng trình ti p tuy n v i đ th (H) c a hàm s y=f(x) t i Mươ ế ế ớ ồ ị ủ ố ạ 0(x0;y0) là y-y0=f’(x0)(x–x0) 
Gi i:ả
a. Hoành đ giao đi m c a (H) và (d) là nghi m c a ph ng trình: ộ ể ủ ệ ủ ươ
2 12 3 03 2
30
xx x
x
xx x
= − − − = 
= − ⇔ ⇔ 
=≠ 
V y có hai giao đi m c a (H) và (d) là A(-1; -3), B(3; 1) ậ ể ủ
b. 
3( )f x
x
= có đ m hàm là ạ 2
3'( )f x
x
= − . T đó: f’(-1) = -3, f’(3) = -ừ 1
3
• Ti p tuy n c a (H) t i A(-1; -3) có ph ng trình: ế ế ủ ạ ươ
y + 3 = -3(x + 1) ⇔ y = -3x – 6
• Ti p tuy n c a (H) t i B(3; 1) có ph ng trình: ế ế ủ ạ ươ
y – 1 = - 
1
3
(x – 3) ⇔ y = -
1
3
x + 2
Bài 8: Tìm đ o hàm c a các hàm s sau: ạ ủ ố
a. f(x) = cot 3
4
x x pi −   ; 
b. g(x) = cos2x + cos2 2
2 2cos
3 3
x xpi pi   + + −      
c. h(x) = sin(cos2x).cos(sin2x) 
Sau khi tìm g’(x) có nh n xét gì v hàm g(x) ậ ề
Áp d ng công th c: y’ụ ứ x = y’u. u’x 
Gi i:ả
a. f’(x) = ( ) 'cot 3 cot 3
4 4
x x x xpi pi    − + −        
= 2
1 3cot 3
42 sin 3
4
xx
x x
pi
pi
 
− −    
−  
b. T ng t g’(x) = - 2cosxsinx – 2cosươ ự 2 2 2 2sin 2cos sin
3 3 3 3
x x x xpi pi pi pi       + + + − −              
= - sin2x -sin
4 42 sin 2
3 3
x xpi pi   + + −      
= - sin2x + 2cos
4
3
pi
sin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0 
c. h’(x) = -2cos(cos2x)cosxsinxcos(sin2x) – 2sin(cos2x)sin(sin2x)sinxcosx 
= -sin2xcos(cos2x)cos(sin2x) – sin2xsin(cos2x)sin(sin2x)
= -sin2x [cos(cos2x)cos(sin2x) + sin(cos2x)sin(sin2x)]
= -sin2xcos(cos2x – sin2x) 
= -sin2xcos(cos2x) 
Vì g’(x) = 0 nên g(x) là m t hàm b ng. B ng cách ch n x = 0, ta th y g(0) =ộ ằ ằ ọ ấ 3
2
V y g(x) = ậ 3
2
 v i m i x. ớ ọ
Bài 9: Tìm 
a. d(tanx) 
2
x kpi pi ≠ +   ; 
b. dy v i y = ớ
2 2 5
1
x x
x
+ +
−
(x ≠ 1)
* Áp d ng công th c: df(x) = f’(x)dx ụ ứ
Gi i:ả
a. d(tanx) = (tanx)’dx = 2cos
dx
x
b. V i y = ớ
2 2 5
1
x x
x
+ +
−
 ta có:
y’ = 
2 2
2
( 2 5) '( 1) ( 2 5)( 1) '
( 1)
x x x x x x
x
+ + − − + + −
−
 = 
2 2 2 2
2 2 2
(2 2)( 1) ( 2 5) 2( 1) 2 5 2 7
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x x
+ − − + + − − − − − −
= =
− − −
V y dy = ậ
2
2
2 7
( 1)
x x dx
x
− −
−
Bài 10: Không dùng máy tính và b ng s hãy tính g n đúng sin29ả ố ầ 0 
* Áp d ng công th c f(xụ ứ 0 + ∆x) ≈ f(x0) + f’(x0)∆x 
Gi i:ả
Vì 290 = 300 – 10 = 
6 180
pi pi 
−   nên 
sin290 = sin
6 180
pi pi 
−   ≈ sin cos 0,48496 6 180
pi pi pi  
+ − ≈    
Bài 11: Tìm y(n) bi t ế 1
2
y
x
=
−
* Dùng ph ng pháp quy n p toán h c.ươ ạ ọ
Gi i:ả
Ta có: 
' '' '''
2 3 4
1 1 1 1.2 1 1.2.3(1); ;
2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2)x x x x x x
     
= − = =     
− − − − − −     
Ta d đoán yự (n) = (-1)n 1
!
( 2)n
n
x +− (*). Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. ứ ằ ạ
T (1) suy ra (*)đúng khi n = 1ừ
Gi s (*)đúng v i n = k, ta có ả ử ớ
( )
1
1 !( 1) (2)
2 ( 2)
k
k
k
k
x x +
 
= − 
− − 
Ta ch ng minh (*)đúng v i n = k+1ứ ớ
L y đ m hàm hai v c a (2) ta đ C: ấ ạ ế ủ ượ
( 1) 1
1 1
2 2 2 2
1 ![( 2) ]' !( 1)( 2)( 1) ( 1)
2 ( 2) ( 2)
k k k
k k
k k
k x k k x
x x x
+ +
+ +
+ +
− + − 
= − = − 
− − − 
 = 1 2
( 1)!( 1)
( 2)
k
k
k
x
+
+
+
−
−
V y v i m i n ậ ớ ọ ∈ *, ta có: 
( )
1
1 !( 1)
2 ( 2)
n
n
n
n
x x +
 
= − 
− − 
III. BÀI T P: Ậ
1. Áp d ng đ nh nghĩa, tìm các gi i h n sau: ụ ị ớ ạ
a. 
2
21
4 3lim
3 2x
x x
x x→
− +
− +
b. 
2lim
1 3x x→−∞ −
2. Tính các gi i h n sau: ớ ạ
a. 
2
2
3 2lim
2 2x
x x
x→
− +
+ −
b. 
3
3
5 2lim
3 4x
x
x x→−∞
−
+ −
c. ( )2lim 3 4 3x x x x→+∞ + − − d. ( )2lim 1x x x x→+∞ + −
3. Tìm các gi i h n sau: ớ ạ
n u ế
n u ế
n uế
n u ế
n u ế
n uế
a. 
2
7lim
2x
x
x+→−
−
+
 và 
2
7lim
2x
x
x−→−
−
+
b. 
3
1
2 11lim
1x
x
x−→−
+
+
 và 
3
1
2 11lim
1x
x
x+→−
+
+
4. Cho hàm s f(x) = ố 3
1 3
1 1
2
x x
mx

−
− − +
V i giá tr nào c a m, hàm s f(x) có gi i h n khi x ớ ị ủ ố ớ ạ → 0.Tìm gi i h n đó. ớ ạ
5. Tìm các kho ng liên t c c a các hàm s sau: ả ụ ủ ố
a. f(x) = 2 6x x+ − ; 
b. g(x) = 
2 1
6
sin
6 2
2
2
x x
x x
x x
pi
pi pi
pi
pi

+ ≤
< <
>
6. Tìm s th c a sao cho hàm s f(x) = ố ự ố
sin
3
3
3
x x
ax x
pi
pi

<
− ≥
liên t c t i x = ụ ạ
3
pi
7. Ch ng minh r ng ph ng trình xứ ằ ươ 3 – 10x2 – 1 = 0 có ít nh t m t nghi m d ng. ấ ộ ệ ươ
8. Ch ng minh r ng ph ng trình (mứ ằ ươ 2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghi m d ng v i m i giá trệ ươ ớ ọ ị 
c a tham s m ủ ố
9. Cho hàm s y = ố
2
2
x x
x
+
−
 (C)
a. Hãy tính (b ng đ nh nghĩa) đ o hàm c a hàm s t i x = 1ằ ị ạ ủ ố ạ
b. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m A(1; -2) ế ươ ế ế ủ ạ ể
10. Ch ng minh r ng hàm s f(x) = ứ ằ ố
2
2
( 1) 0
( 1) 0
x neu x
x neu x
 − ≥
+ < liên t c t i x = 0 nh ng không có đ oụ ạ ư ạ 
hàm t i x = 0 ạ
11. Tìm vi phân c a các hàm s : ủ ố
a. y = 
2
1
x
x
+
−
b. y = 
tan x
x
12. Tính g n đúng các s sau v i sai s 0,001ầ ố ớ ố
a. cos610 b. tan 440 c. 16,02
13. Cho y = x2sinx. Tìm y(4). 
14. Ch ng minh r ng: ứ ằ
( )(sin ) sin
2
nx x n pi = +   (n ∈ *) 
( )(cos ) cos
2
nx x n pi = +   (n ∈ *)
CH Đ 4: Ủ Ề
PHÉP D I HÌNH Ờ
VÀ PHÉP Đ NG D NG TRONG M T PH NG Ồ Ạ Ặ Ẳ
I. TÓM T T VÀ B SUNG KI N TH C Ắ Ổ Ế Ứ
A. PHÉP D I HÌNH TRONG M T PH NG Ờ Ặ Ẳ
1. Phép d i hình là phép bi n hình b o toàn kho ng cách gi a hai đi m b t kì, nghĩa là v i haiờ ế ả ả ữ ể ấ ớ 
đi m M, N tuỳ ý và nh M’, N’ t ng ng c a chúng, ta luôn có M’N’ = MN. ể ả ươ ứ ủ
2. Các phép t nh ti n, đ i x ng tr c, đ i x ng tâm, phép quay là nh ng phép d i hình.ị ế ố ứ ụ ố ứ ữ ờ
3. Th c hi n liên ti p hai phép d i hình F và G ta đ c m t phép d i hình. Phép d i hình nàyự ệ ế ờ ượ ộ ờ ờ 
đ c g i là h p thành c a F và G ượ ọ ợ ủ
4. Phép d i hình:ờ
a. Bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t gi a các đi mế ể ẳ ể ẳ ả ứ ự ữ ể 
y. ấ
b. Bi n đ ng th ng thành đ ng th ng, bi n tia thành tia, bi n đo n th ng thành đo nế ườ ẳ ườ ẳ ế ế ạ ẳ ạ 
th ng b ng nó. ẳ ằ
c. Bi n tam giác thành tam giác b ng nó, bi n g c thành góc b ng nó. ế ằ ế ố ằ
d. Bi n đ ng tròn thành đ ng tròn có cùng bán kính. ế ườ ườ
5. - N u m t phép d i hình bi n tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng bi n tr ng tâm ,ế ộ ờ ế ế ọ 
tr c tâm, tâm các đ ng tròn n i ti p, ngoài ti p c a tam giác ABC t ng ng thành tr ng tâm,ự ườ ộ ế ế ủ ươ ứ ọ 
tr c tâm, tâm các đ ng tròn n i ti p, ngo i ti p c a tam giác A’B’C’. ự ườ ộ ế ạ ế ủ
- Phép d i hình bi n m t đa giác n c nh ờ ế ộ ạ H thành m t đa giác n c nh ộ ạ H’, bi n các đ nh c a ế ỉ ủ H  
thành các đ nh c a ỉ ủ H’, bi n các c nh c a ế ạ ủ H thành các c nh c a ạ ủ H’ 
6. Hai hình đ c g i là b ng nhau khi có m t phép d i hình bi n hình này thành hình kia. ượ ọ ằ ộ ờ ế
B. PHÉP Đ NG D NG TRONG M T PH NG Ồ Ạ Ặ Ẳ
7. Phép bi n hình F đ c g i là phép đ ng d ng t s k (k > 0), n u v i hai đi m M, N b t kì vàế ượ ọ ồ ạ ỉ ố ế ớ ể ấ 
nh M’, N’ t ng ng c a chúng ta luôn có M’N’ = kMN. ả ươ ứ ủ
8. a. Phép d i hình là phép đ ng d ng t s 1ờ ồ ạ ỉ ố
b. Phép v t t s k là phép đ ng d ng t s |k|ị ự ỉ ố ồ ạ ỉ ố
c. Th c hi n liên ti p phép đ ng d ng t s k và phép đ ng d ng t s p ta đ c phép đ ngự ệ ế ồ ạ ỉ ố ồ ạ ỉ ố ượ ồ 
d ng t s pk. ạ ỉ ố
9. Phép đ ng d ng t s k là h p thành c a m t phép d i hình và m t phép v t t s k. Nó cũng làồ ạ ỉ ố ợ ủ ộ ờ ộ ị ự ỉ ố 
h p thành c a m t phép v t t s k và m t phép d i hình. ợ ủ ộ ị ự ỉ ố ộ ờ
10. Phép đ ng d ng t s k:ồ ạ ỉ ố
a. Bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t gi a các đi mế ể ẳ ể ẳ ả ứ ự ữ ể 
y. ấ
b. Bi n đ ng th ng thành đ ng th ng, bi n tia thành tia, bi n đo n th ng thành đo nế ườ ẳ ườ ẳ ế ế ạ ẳ ạ 
th ng. ẳ
c. Bi n tam giác thành tam giác đ ng d ng v i nó, bi n góc thành góc b ng nó.ế ồ ạ ớ ế ằ
d. Bi n đ ng tròn bán kính R thành đ ng tròn bán kính k R. ế ườ ườ
11. - N u m t phép đ ng d ng bi n tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng bi nế ộ ồ ạ ế ế 
tr ng tâm, tr c tâm,tâm các đ ng tròn n i ti p, ngo i ti p c a tam giác ABC t ng ng thànhọ ự ườ ộ ế ạ ế ủ ươ ứ 
tr ng tâm, tr c tâm, tâm các đ ng tròn n i ti p, ngo i ti p c a tam giác A’B’C’. ọ ự ườ ộ ế ạ ế ủ
- Phép đ ng d ng bi n m t đa giác n c nh ồ ạ ế ộ ạ H  thành m t đa giác n c nh ộ ạ H’, bi n các đ nhế ỉ 
c a ủ H thành các đ nh c aỉ ủ  H’, bi n các c nh c a H thành các c nh c a ế ạ ủ ạ ủ H’ 
12. Hai hình đ c g i là đ ng d ng v i nhau n u có m t phép đ ng d ng bi n hình này thànhượ ọ ồ ạ ớ ế ộ ồ ạ ế 
hình kia. 
II. RÈN LUY N KĨ NĂNG GI I TOÁN: Ệ Ả
Bài 1: Ch ng minh r ng n u phép d i hình bi n ba đi m O, A, B l n l t thành O’, A’, B’ thì taứ ằ ế ờ ế ể ầ ượ 
có: 
a. ' '. ' ' .O A O B OAOB=
uuuuuruuuuur uuuruuur
b. ' ' ' 'O B tO A OB tOA= ⇔ =
uuuuur uuuuur uuur uuur
, v i t là m t s tuỳ ý. ớ ộ ố
* S d ng công th c: ABử ụ ứ 2 = 2AB
uuuur
Gi i ả
a. Vì O’A’ = OA.O’B’=OB,A’B’=AB và AB2 = 2AB
uuuur
 nên ta có: 
A’B’2 = AB2 ⇒ 2 2' 'A B AB=
uuuuuur uuuur
⇒ 2 2( ' ' ' ') ( )O B O A OB OA− = −
uuuuur uuuuur uuur uuur
⇒ 2 2 2 2' ' 2 ' '. ' ' 2 .O B O B O A OB OB OA OA− = − +
uuuuuur uuuuuur uuuur uuuuruuuuur uuuruuur
⇒ 2' ' 2 ' '. ' ' .O B O A O B OAOB− =
uuuuuur uuuuuruuuuur uuuruuur
b. T câu a) và đ nh nghĩa ta có: ừ ị
' ' ' ' ' ' ' ' 0O B tO A O B tO A= ⇔ − =
uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur r
⇔ 2( ' ' ' ') 0O B tO A− =
uuuuur uuuuur
⇔ 2 2 2' ' 2 ' '. ' ' ' ' 0O B tO B O A t O A− + =
uuuuuuruuuuur uuuuuruuuuur
⇔ 2 2 22 . 0OB tOB OA t OA− + =
uuuuruuur uuuruuur
⇔ 0OB tOA− =
uuur uuur r
⇔ OB tOA=
uuur uuur
Bài 2: Ch ng minh r ng phép d i hình bi n đ ng th ng thành đ ng th ngứ ằ ờ ế ườ ẳ ườ ẳ
* Đ ch ng minh hìnhể ứ  H’ là nh c a hìnhả ủ  H qua phép bi n hình F ta ch ng minh r ng: ế ứ ằ
M ∈ H  ⇔ M’ = F(M) ∈ H’
M thu c đ ng th ng AB khi và ch khi t n t i t ộ ườ ẳ ỉ ồ ạ ∈ , sao cho AM t AB=
uuuur uuur
Gi i:ả
Cho đ ng th ng d và phép d i hình F. L y A, B phân bi t thu c đ ng th ng d, g i A’ = F(A),ườ ẳ ờ ấ ệ ộ ườ ẳ ọ 
B’ = F(B). Khi đó vì A’B’ = AB nên A’ và B’ phân bi t. Ta s ch ng minh r ng F(d) là đ ngệ ẽ ứ ằ ườ 
th ng A’B’. ẳ
L y đi m M thu c d, g i M’ = F(M). Áp d ng câu b) c a bài 1, ta có: ấ ể ộ ọ ụ ủ
M ∈ d ⇔ AM t AB=
uuuur uuur
, -∞ < t < + ∞
⇔ ' ' ' 'A M t A B=
uuuuuur uuuuur
, -∞ < t < + ∞
⇔ M’ thu c đ ng th ng A’B’. ộ ườ ẳ
V y F(d)là đ ng th ng A’B’. ậ ườ ẳ
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. G i I là tâm đ i x ng c aọ ố ứ ủ nó và E, 
F, G, H l n l t là trung đi m c a các c nh AB, BC, CD,ầ ượ ể ủ ạ DA như 
hình 4.1. Ch ng minh r ng hai hình thang AEID và FBEHứ ằ b ngằ 
nhau. 
* Đ ch ng minh hai hình b ng nhau ta ch ra m t phépể ứ ằ ỉ ộ d i hìnhờ 
bi n hình này thành hình kia. ế
Gi i:ả
Phép quay tâm I góc 900 bi n FBEH thành EAHG.ế Phép đ iố 
x ng qua đ ng trung tr c c a AE bi n EAHG thànhứ ườ ự ủ ế AEID. Do 
đó hai hình thanh AEID và FBEH b ng nhau. ằ
Bài 4: Trên m t vùng đ ng b ng có ba thành ph A,ộ ồ ằ ố B, C t oạ 
thành m t tam giác nh n nh hình 4.2. Ng i taộ ọ ư ườ mu nố 
tìm m t v trí I trong tam giác ABC đ xây d ngộ ị ở ể ự m t sânộ 
Hình 4.1
H
D
G
C
F
I
BEA
C
I
J
B
A'
A
Hình 4.2
Hình 4.4
C
A
B
I
D
E
bay chung cho c ba thành ph đó sao cho t ng kho ng cách t I t i các trung tâm c a ba thànhả ố ổ ả ừ ớ ủ 
ph đó là ng n nh t. ố ắ ấ
* Đ gi i các bài toán tìm đi m sao cho t ng các kho ng cách t đó đ n m t s đi m cho tr cể ả ể ổ ả ừ ế ộ ố ể ướ 
là ng n nh t ta th ng dùng các phép d i hình thích h p đ n i các đo n thă g đang xét l iắ ấ ườ ờ ợ ể ố ạ ẳ ạ 
thành m t đ ng g p khúc. Khi đó t ng các kho ng cách là ng n nh t khi đ ng g p khúc đóộ ườ ấ ổ ả ắ ấ ườ ấ 
thu c m t đ ng th ng. ộ ộ ườ ẳ
Gi iả
Bài toán th c ti n trên đ c đ a v bài toán hình h c sau: ự ễ ượ ư ề ọ
Cho tam giác nh n ABC. Tìm đi m I n m trong tam giác đó sao cho IA + IB + IC ọ ể ằ
Lâ đi m I n m trong tam giác ABC. Phép quay tâm B góc 60ấ ể ằ 0 bi n I thành J và bi n A thành A’. ế ế
Đ ý r ng (BI, BJ) = 60ể ằ 0, (BA’, BA) = -600. 
Ta có:
 (BI, BA)=(BI,BJ)+(BJ,BA’)+(BA’,BA)=(BJ, BA’) 
Do đó tam giác BIA b ng tam giác BIA’ (c-g-c) ằ
T đó suy ra A’J = AI ừ
Do đó IA + IB + IC = A’J + JI + IC ng n nh t khi A’, J,ắ ấ I, 
C th ng hàng, J gi a A’I và I gi a JC. ẳ ở ữ ữ
Khi đó: · 0120BIC = ; · · 0' 120AIB BJA= =
V y I nhìn các c nh c a tam giác ABC d i góc 120ậ ạ ủ ướ 0. 
Đ xác đ nh đi m I ta d ng nh A’ c a A qua phépể ị ể ự ả ủ 
quay tâm B góc 600. 
Trên A’C d ng các đi m I, J sao cho BIJ là tam giác đ u và (BI, BJ)=60ự ể ề 0. Ta s ch ng minh I làẽ ứ 
đi m c n tìm. ể ầ
V t v y, do ậ ậ ·ABC nh n nên 0 < (BC, BA’) < 180ọ 0.Do đó A’ và A cùng phía v i nhau đ i v iớ ố ớ 
đ ng th ng BC. T ng t A’ và B cùng phía v i nhau đ i v i đ ng th ng AC. Do đó đ ngườ ẳ ươ ự ớ ố ớ ườ ẳ ườ 
th ng A’C c t AB t i đi m n m trong đo n th ng AB. Do ẳ ắ ạ ể ằ ạ ẳ · 'CBA >600 và · 'ABA = 600 nên I ph iả 
n m trong tam giác ABC. Khi đó d th y A’, J, I, C th ng hàng, J gi a A’I, I gi a JC và IA +ằ ễ ấ ẳ ở ữ ở ự 
IB + IC = A’J + JI + IC = A’C nên nó ng n nh t. ắ ấ
Bài 5: Cho đi m A thu c đ ng tròn ể ộ ườ C đ ng kính BC nh hình 4.4. D ng v phía ngoài c aườ ư ự ề ủ 
tam giác ABC tam giác ABD vuông cân D. G i I là trung đi m c a DB, tìm t p h p các đi m Iở ọ ể ủ ậ ợ ể 
khi A ch y trên n a đ ng tròn ạ ử ườ C . 
* Đ có th dùng phép bi n hình gi i các bài toán tìm t p h p đi m ta xem t p h p đi m đó làể ể ế ả ậ ợ ể ậ ợ ể 
nh c a m t hình đã bi t qua m t phép bi n hình xác đ nh. ả ủ ộ ế ộ ế ị
Gi i:ả
Trên tia BD l y đi m E sao cho BE = BA. Do (BA, BE) = 45ấ ể 0 nên có th em E là nh c a A quaể ả ủ 
phép quay tâm B góc 450. Ta l i có: ạ
2
24
4
BABI BI
BE BA BA
= = =
Do đó: 2
4
BI BE=
uur uuur
V y I là nh c a E qua phép v t tâm B t s ậ ả ủ ị ự ỉ ố 2
4
. Khi đó I là nh c a A qua phép đ ng d ngả ủ ồ ạ 
F là h p thành c a phép quay tâm B góc 45ợ ủ 0 và phép v t tâm B t s ị ự ỉ ố 2
4
. Do đó khi A ch y trênạ 
n a đ ng tròn ử ườ C, thì I ch y trên n a đ ng trònạ ử ườ C’ là nh c a ả ủ C qua phép đ ng d ng F. ồ ạ
III. BÀI T P: Ậ
1. Ch ng minh r ng h p thành c a hai phép đ i x ng qua hai đ ng th ng song song là m t phépứ ằ ợ ủ ố ứ ườ ẳ ộ 
t nh ti n. ị ế
2. Ch ng minh r ng phép d i hình bi n m t tia thành m t tia. ứ ằ ờ ế ộ ộ
J
C
I
B
A' A
Hình 4.3
3. Cho hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’ nh hình 4.5. Tìm m t phép d i hìnhư ộ ờ 
bi n hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’. ế
D'
C'
B'
A'
D C
BA
Hình 4.5
4. Cho ba đi m A, B, C th ng hàng theo th t đó. D ng v m t phía c a đ ng th ng AC cácể ẳ ứ ự ự ề ộ ủ ườ ẳ 
tam giác đ u ABD và BCE. D ng hình bình hành DCEF. Ch ng minh AEF là tam giác đ u. ề ự ứ ề
5. Cho hai hình vuông ABCD và AEFG nh hình 4.6. G i I, J, L, M l n l t là trung đi m c a BD,ư ọ ầ ượ ể ủ 
DE, EG, GB. Ch ng minh r ng t giác IJLM là hình vuông. ứ ằ ứ
6. Cho đ ng tròn ườ C và đi m A n m ngoài đ ng tròn.ể ằ ườ V i m iớ ỗ 
đi m B thu c ể ộ C, d ng hình vuông ABCD sao cho n u điự ế d c cácọ 
c nh theo chi u ABCD thì luôn th y hình vuông bênạ ề ấ ở trái như 
hình v 4.7. Ch ng minh r ng B ch y trên ẽ ứ ằ ạ C thì C và D cũng 
ch y trên nh ng đ ng tròn c đ nh. ạ ữ ườ ố ị
7. Cho hai đi m phân bi t A, B và đ ng tròn (O) khôngể ệ ườ có đi mể 
chung v i đ ng th ng AB. Ch ng minh r ng khi đi mớ ườ ẳ ứ ằ ể C ch yạ 
trên đ ng tròn (O) tr ng tâm tam giác ABC cũng ch yườ ọ ạ trên m tộ 
đ ng tròn c đ nh. ườ ố ị
8. Cho dây cung AB đ dài không đ i có hai đ u mútộ ổ ầ ch yạ 
trên đ ng tròn tâm O bán kính R và m t đi m C c đ nh trên (O). Ch ng minh r ng tr ng tâmườ ộ ể ố ị ứ ằ ọ 
c a tam giác ABC ch y trên m t đ ng tròn c đ nh. ủ ạ ộ ườ ố ị
Hình 4.7
BA
CD
Hình 5.1
d//(α)
d
αα
d
A
d
α
(α) ≡ (β)
d
β β
Hình 5.2
(α) // (β)
α≡βαα
CH Đ 5: Ủ Ề
QUAN H SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Ệ
I. TÓM T T VÀ B SUNG KI N TH C Ắ Ổ Ế Ứ
A. Đ I C NG V Đ NG TH NG VÀ M T PH NG Ạ ƯƠ Ề ƯỜ Ẳ Ặ Ẳ
1. V trí t ng đ i c a đ ng th ng và m t ph ng: ị ươ ố ủ ườ ẳ ặ ẳ
- Đ ng th ng c t m t ph ng ườ ẳ ắ ặ ẳ
- Đ ng th ng song song v i m t ph ng ườ ẳ ớ ặ ẳ
- Đ ng th ng n m trong m t ph ng ườ ẳ ằ ặ ẳ
2. V trí t ng đ i c a hai m t ph ng: ị ươ ố ủ ặ ẳ
- Hai m t ph ng c t nhau ặ ẳ ắ
- Hai m t ph ng song song v i nhau ặ ẳ ớ
- Hai m t ph ng trùng nhau. ặ ẳ
3. V trí t ng đ i c a hai đ ng th ng: ị ươ ố ủ ườ ẳ
- Hai đ ng th ng chéo nhau (không cùng n m trong b t kì m t ph ng) ườ ẳ ằ ấ ặ ẳ
- Hai đ ng th ng c t nhau ườ ẳ ắ
- Hai đ ng th ng song song nhau ườ ẳ
- Hai đ ng th ng trùng nhau ườ ẳ
4. Các xác đ nh m t m t ph ngị ộ ặ ẳ
M t m t ph ng đ c xác đ nh b i: ộ ặ ẳ ượ ị ở
- Ba đi m phân bi t không th ng hàng ể ệ ẳ
- M t đi m và m t đ ng th ng không ch a đi m đóộ ể ộ ườ ẳ ứ ể
- Hai đ ng th ng c t nhau ườ ẳ ắ
- Hai đ ng th ng song song ườ ẳ