Toán 11 - Phương trình hàm

Mở đầu
 Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm.
 Trong các kỳ thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic toán khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm. Tuy nhiên cho đến nay, học sinh các trường chuyên, lớp chọn còn biết rất ít về các dạng phương trình hàm và các phương pháp chính thống để giải các phương trình hàm.
 Dưới đây là một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp và phương pháp giải các bài toán đó.
Nội dung
Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể lập vô số các đại lượng trung bình. Dưới đây, chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông như các đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hoà, trung bình bình phương. Những đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau.
.
Bài toán 1.(phương trình một ẩn hàm)
 Xác định các hàm số liên tục trên R và thoả mãn điều kiện
 (1)
Giải: Đặt (2). Thế vào (1), ta được
 (3) 
Cho y = 0 thì .
Vậy (3) có dạng:
 (4)
Doliên tục nên cũng liên tục.Vậy (4) là phương trìmh hàm Cauchy.
Vì vậy . Thay vào (2), ta được , với 
Vậy , với .
Bài toán 2. (phương trình hai ẩn hàm tương ứng)
 Xác định các cặp hàm liên tục trên R và thoả mãn điều kiện
 (1)
Giải: Xét y = 0, từ (1) ta thu được , trong đó 
Thế vào (1), ta được (2)
Đặt , thì (2) có dạng 
 (3)
Nhận xét rằng là hàm liên tục vì là các hàm liên tục. 
Vậy (3) là phương trình hàm Cauchy. Do đó (3) có nghiệm
 . Suy ra tuỳ ý.
Thử lại, ta thấy cặp hàm thoả mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 3. (phương trình một ẩn hàm) 
 Xác định các hàm số liên tục, không âm trên R và thoả mãn diều kiện: (1)
Giải: Giả sử tồn tại để . Khi đó
Hàm này thoả mãn điều kiện bài ra.
Xét trường hợp . Từ gỉa thiết suy ra >0 .
Lấy lôgarit hai vế của (1), ta được hay , trong đó 
Theo kết quả của bài toán (1) thì tuỳ ý.
Suy ra tuỳ ý
Vậy ; tuỳ ý
Bài toán 4. (phương trình 2 ẩn hàm tương ứng)
 Xác định các cặp hàm liên tục, không âm trên R và thoả mãn điều kiện: (1)
Giải: Giả sử tồn tại để . Khi đó
Từ (1) suy ra 
Cặp hàm này thoả mãn điều kiện bài ra.
Xét trường hợp 
Xét y = 0, từ (1), ta thu được, trong đó . Thế vào (1), ta được 
 hay (2)
Lấy lôgarit hai vế của (2), ta được
 hay
, trong đó (3)
Áp dụng cách giải bài toán 2, ta thu được 
Suy ra , trong đó .
 Thử lại , ta thấy cặp hàm thoả mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 5. (phương trình một ẩn hàm)
Xác định các hàm số liên tục, dương trên R và thoả mãn điều kiện
 (1)
Giải: Viết (1) dưới dạng 
hay 
hay (3)
trong đó 
Từ giả thiết ta có nhận xét rằng >0 và liên tục trên R.
Áp dụng cách giải bài toán 1, ta được . Ta cần chọn a, b sao cho>0, .
Chọn a = 0, b > 0. Khi đó > 0, 
Vậy > 0 tuỳ ý
Bài toán 6. (phương trình hai ẩn hàm tương ứng)
 Xác định các cặp hàm liên tục, dương trên R và thoả mãn điều kiện (1)
Giải: Xét y = 0, từ (1), ta có 
, trong đó (2)
Thế (2) vào (1), ta được 
hay 
hay (3)
trong đó 
Từ giả thiết ta có nhận xét rằng > 0 và liên tục trên R
Áp dụng cách giải bài toán 2, ta thu được . Ta càn chọn 
 Sao cho > 0, 
Chọn = 0, > 0 tuỳ ý. Khi đó > 0, 
Suy ra , (vì )
Thử lại, ta thấy cặp hàm thoả mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 7. (phương trìmh một ẩn hàm)
Xác định các hàm số liên tục trên và thoả mãn điều kiện
 (1) 
Giải: Từ điều kiện bài toán suy ra 
 Nếu tồn tại > 0 sao cho thì từ (1) suy ra 
Trong trường hợp này .
Nếu > 0, thì đặt 
Khi đó liên tục trên R và (1) có dạng:
Theo kết quả của bài toán 3, thì 
Vậy , tuỳ ý
Bài toán 8. (phương trình 2 ẩn hàm tương ứng)
Xác định các cặp hàm liên tục trên và thoả mãn điều kiện
 (1)
Giải: Xét y = 1, từ (1), ta có 
Thế vào (1), ta được: 
hay (2) 
Nếu tồn tại > 0: thì từ (2) suy ra
Trong trường hợp này suy ra 
Nếu > 0, thì lấy lôgarit hai vế của (2), ta được 
hay , (3)
 trong đó 
Đặt , từ (3), ta được (4)
Đặt , thế vào (4), ta được 
 (5) 
Đặt , thì (5) có dạng (6)
Đây là phương trình hàm Cauchy
Suy ra . Suy ra > 0.
Suy ra suy ra 
Suy ra 
Thử lại, ta thấy cặp hàm thỏa mãn điều kiện bài ra.
Bài toán 9. (phương trình một ẩn hàm)
Xác định các hàm số liên tục trên R/{0} và thoả mãn điều kiện
 (1)
 Giải: Đặt . Khi đó liên tục trên R/{0} và (1) có dạng .
Theo bài toán 1, thì . Do đó 
Kết luận: , tuỳ ý
Bài toán 10. (phương trình một ẩn hàm) 
Xác định các hàm số liên tục trên R/{0} và thoả mãn điều kiện
 (1)
Giải: Từ điều kiện bài toán, suy ra . 
 Nếu tồn tại sao cho thì 
. Suy ra 
 Nếu thì (1) 
hay với 
Theo kết quả của bài toán 9 thì . Do đó 
Kết luận: , tuỳ ý
Trên đây là một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông và cách giải các bài toán đó. Bao gồm các phương trình một ẩn hàm và phương trình hai ẩn hàm tương ứng. 
Kết luận
Tóm lại, các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng. Mỗi dạng lại có một phương pháp giải khác nhau, nhưng đích chung là chúng ta phải đưa các phương trình đó về phương trình hàm Cauchy đã có cách giải. Trên đây là một số dạng phương trình cơ bản và phương pháp giải các phương trình đó, ngoài mấy dạng cơ bản trên còn rất nhiều các dạng phương trình khác ở trong giáo trình.