Toán - Giải tích tổ hợp

 có một cách chọn nên theo quy tắc nhân có cả thảy 
n(n-1)(n-2)2.1=n! cách sắp xếp. 
Ví dụ 1: Tính số hoán vị của các tập sau 
a) A gồm 5 phần tử khác nhau 
b) B gôm các chữ cái X,Y,Z,T 
Ví dụ 2: Từ các số 1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm: 
 a) Gồm 5 chữ số khác nhau 
 b) Gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 1 
 c) Gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bằng chữ số 1. 
Giải: Giả sử các số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5a a a a a 
a) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4,5 chính là số các hoán 
vị của tập {1,2,3,4,5} suy ra có P5=5!=120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán 
b) Vì a1=1 nên a1 có 1 cách chọn 
 Các số còn lại là các hoán vị của tập {2,3,4,5} có P4=4!=24 cách chọn cho 4 vị trí 
còn lại. Vậy có 24 số thoă mãn yêu cầu bài toán 
c) Số các số có 5 chữ số không bắt đầu bằng chữ số 5 chính bằng só các số có 5 chữ 
số trừ đi số các số có 5 chữ số bắt đầu bằng số 1. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu 
bài toán là : 120-24=96 số. 
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4? 
Giải: Vì các số cần lập là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị phải là số 2 hoặc 4  có 2 
cách chọn vị trí hàng đơn vị. Khi chọn hàng đơn vị rồi thì 3 vị trí còn lại chính là 
hoán vị của ba số còn lại nên có P3=3!=6 cách chọn. Vậy có 2.6=12 các số thỏa mãn 
yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 3: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số được lập từ các số 1,2,3,4,5? 
Giải: Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho. Bây giờ ta xét vị trí của một 
chữ số trong 5 số 1,2,3,4,5 chẳng hạn ta xét số 1. 
Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị 
trí này lại có tổng là 24(105+104+103+102+10+1)=24.11111 
Vậy tổng các số có 5 chữ số là 24.11111(1+2+3+4+5)=5599944. 
Nhận xét: Qua ba ví dụ trên ta thấy các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một 
hoán vị cảu n phần tử là: 
 *Tất cả n phần tử đều phải có mặt 
 * Mỗi phần tủ xuất hiện một lần 
 * Có thứ tự giữa các phần tử 
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain,
International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, French (France)
Ví dụ 4: Có 30 học sinh của trường X tham gia mít tinh, trong đó có 4 học sinh cùng 
một lớp 26 học sinh còn lại được chọn từ 13 lớp khác nhau mỗi lớp 2 học sinh. Hỏi 
có bao nhiêu cách xếp 30 học sinh thành một hàng sao cho các học sinh cùng một lớp 
thì đứng kề nhau. 
Giải: Những học sinh cùng một lớp ta xếp cùng một nhóm, ta có 14 nhóm khác nhau 
và ta có P14 cách sắp xếp các nhóm này thành một hàng. 
Trong mỗi nhóm 2 người thi ta có 2 cách xếp thành 1 nhóm và nhóm 4 người thì có 
4!=24 cách xếp, như vậy với mỗi cách xếp 14 nhóm trên thì ta có 24.213 cách hoán vị 
các học sinh trong nhóm. Vậy có 24.213.P14 cách xếp. 
Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn? 
Giải: Do các chỗ ngồi xung quanh bàn tròn không có phần tử đầu và phần tử cuối nên 
người thứ nhất được ngồi tự do. Tiếp theo n-1 người con lại chính là số hoán vị của 
n-1 chỗ ngồi còn lại. Vậy số cách xếp là (n-1)! 
Chú ý: Một cách xếp n phần tử thành vòng tròn gọi là hoán vị vòng tròn. Số hoán vị 
vòng tròn của n phần tử là (n-1)!. 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tồn tại hai số khác nhau cso 5 chữ số, mỗi số được viết bởi 
đúng 5 chữ số 1,2,3,4,5 sao cho hiệu của chúng chia hết cho 120. 
Giải: Số các số có 5 chữ số khác nhau là 5!=120 số. Các số này không có số nào chia 
hết cho 120 (vì không có số nào tận cùng bằng 0) nên số dư của các số này khi chia 
cho 120 chỉ có thẻ là 1,2,3,4,,119 nên theo nguyên lí Dirichlê tồn tại 2 số a,b trong 
120 số đó sao cho a-b chia hết cho 120 (đpcm). 
Bài tập: 
 1) Xét các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Hỏi: 
 a) Có bao nhiêu số? 
 b) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng chữ số 1? 
 c) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng 12? 
 d) Có bao nhiêu số chia hết cho 5? 
 e) Có bao nhiêu số lẻ? 
 2) Có n cuốn sách và n cuốn vở . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2n vật trên vào 2n ô sao 
cho những cuốn sách được xếp vào ô có vị trí chẵn? 
 3) Trên một con tàu có 4 toa trống và có 40 nam, 40 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 
80 người này lên tau biết rằng trong mỗi toa chỉ có nam hoặc nữ và số người mỗi toa 
là bằng nhau. 
 4) Cho 10 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp 23 người này 
thành một hàng dọc sao cho đầu hàng là học sinh nam, cuối hàng là học sinh nữ? 
 5) Một thư viện có 70 cuốn sách tham khảo gồm 20 cuốn Toán, 13 cuốn Lý, 17 cuốn 
Hóa và 20 cuốn Tin. Hỏi cô thư viện có bao nhiêu cách xếp 70 cuốn sách này lên giá 
sách sao cho những cuốn sách cùng bộ môn phải xếp canh nhau. 
 6) Tìm tất cả các số thực k sao cho trong tất cả k! số có đúng k chữ số được lập từ 
1,2,...,k luôn có hai số sao cho hiệu của hai số đó chia hết cho k? 
 7) Có bao nhiêu cách xếp 7 nam, 3 nữ xung quanh một bàn tròn sao cho không có 
hai nữ ngồi cạnh nhau? 
 8) Tìm tất cả các giá trị của n sao cho Pn<500. 
Bài 3: CHỈNH HỢP 
1. Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử . Một chỉnh hợp chập k (1 k n  ) của n 
phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A theo một thứ tự 
nhất định và được kí hiệu: knA 
Ví dụ: Chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử lấy từ tập {1,2,3} là: 12,21,13,31,23,32 
Nhận xét: 1) Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử được xem là khác nhau nếu: 
 * Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau 
 * Hoặc chúng gồm k phần tử giống nhau nhưng được sắp xếp theo một thứ tự khác 
nhau 
 2) Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi 
 * Cần chọn k phần tử từ n phần tử 
 * k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự 
2. Số chỉnh hợp 
 Xét tập A gồm n phần tử. Ta đi tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử của A 
Phần tử thứ nhất: Có n cách chọn 
Phần tử thứ 2: có n-1 cách chọn 
.................................................. 
Phần tử thứ k: có n-(k-1)=n-k+1 cách chọn 
Theo quy tắc nhân có n(n-1)...(n-k+1) số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Vậy ta có 
định lí sau: 
Định lí: Ta có kn
n!
A n(n 1)...(n k 1)
(n k)!
    

Nhận xét: nn n
n!
A n! P
(n n)!
  

 vậy số chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là số 
hoán vị của n phần tử đó. 
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số khác nhau gồm 5 chữ số khác nhau được lập bởi từ các chữ 
số 1,2,..,9. 
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau? 
Ví dụ 3: Trong cuộc thi đấu cầu mây có 20 vận động viên tham gia. Kết thúc cuộc 
đấu người ta trao 1 giải nhất, 1 giải nhì và 2 giải 3. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra, 
biết khả năng đạt giải của các vận động viên là như nhau? 
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ 
0

 mà điểm đầu và điểm cuối là 2 trong n điểm nói trên?. 
Ví dụ 5: Tìm n sao cho 
 2 1 6 5 4n n n n n 1 n 4 n 21) A A 8 2)A 10A 3)P .A 15P      
Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 
n 2 n 1 2 n k k k 1
n k n k n k n n 1 n 11)A A k A 2)A A k.A
  
        
Bài tập 
1. Tìm số nguyên dương n biết 
3
n
5 4
n n 2
5
n 3 n n 5
a)A 20n
b)A 18A
c)P 720A P

 



2. Giải các phương trình sau 
Bài 4: TỔ HỢP 
1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con của A gồm k phần tử 
(0 k n  ) gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu knC . 
2. Số tổ hợp: 
 Định lí : kn
n!
C
k!(n k)!


Bài tập tổng hợp 
 Các bài toán đếm 
1.Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác 
nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? 
2. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số 
Và thỏa đk :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số 
Đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị 
3. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau 
sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau . 
4. Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam .Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi 
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để : 
a) 3 hs nữ ngồi kề nhau 
b) 2 hs nam ngồi kề nhau 
5. Xếp 6 người A,B,C,D,E,F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao 
Cho: 
a)A và F ngồi ở hai đầu ghế 
b) A và F ngồi cạnh nhau 
c) A và F không ngồi cạnh nhau 
6. Có 4 nam và 4 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vào một bàn dài có hai dãy ghế 
đối diện nhau .Mỗi ghế có 4 HS sao cho đối diện với mối nam là một nữ ? 
7. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau ,mỗi dãy có 4 ghế .Người ta muốn 
Xếp chỗ ngồi cho 4 HS trường A và 4 HS trường B vào bàn nói trên .Hỏi có bao 
nhiêu cách sắp xếp sao cho 
a)Bất cứ hai HS nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau đều khác trường với nhau 
b) Bất cứ hai HS nào ngồi đối diện nhau đều khác trường với nhau 
8. Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em ,trong đó có 7 HS khối 12,6 HSK11 
Và 5 HSK10.Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối 
có ít nhất 1 HS được chọn. 
9. Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó ,10 câu 
trung bình và 15 câu dễ .Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi 
đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( 
khó,dễ,Trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2? 
10. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người ,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao 
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi ,sao 
cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ? 
11.Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, 
riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? 
12. Cho đa giác đều 1 2 2... nA A A nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam 
giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm 1 2 2, ,..., nA A A gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có 
đỉnh là 4 trong 2n điểm 1 2 2, ,..., nA A A . Tìm n? 
 13. Từ 9 số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số 
gồm 7 chữ số khác nhau? 
14. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số 
gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 
8? 
15. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 
một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ? 
16. Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học 
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm 
vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn như vậy? 
17. Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học 
sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học 
sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? 
18. Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con 4 phần tử của A bằng 20 
lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,,n} sao cho số tập con gồm k 
phần tử của A là lớn nhất? 
19. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số 
khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau? 
20. Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, 
trên d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói 
trên. Tìm n? 
21. Mỗi phòng thi có 4 dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Có bao nhiêu cách xếp 10 học 
sinh A và 10 học sinh B vào phòng thi sao cho hai học sinh ngồi cạnh nhau hoặc nối 
đuôi nhau phải khác lớp nhau? 
22. Có bao nhiêu cách phát 5 món quà cho 3 người sao cho người nào cũng có ít nhất 
một món quà? 
23. Một Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn 
học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội hoạ. Ông muốn lấy 6 cuốn và tặng cho 
6 học sinh A,B,C,D,E,F mỗi em một cuốn. 
 a) Giả sử thày giáo muốn sau khi tặng sách cho những em học sinh trên những cuốn 
sách thuộc hai thể laoij văn học và âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
 b) Giả sử thầy giao muốn sau khi tặng sách cho các em học sinh xong, mỗi một trong 
ba loại còn lại mỗi loại ít nhất một cuốn? 
24. Có bao nhiêu số tự nhiên gôm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 
ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt ít nhất một lần? 
25. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau tao thành từ các số 1,2,3,4,5,6 mà các số 
đó nhỏ hơn số 345? 
26. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn 
công tác ba người cần có cả nam và nũ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có 
bao nhiêu cách ? 
27 
Giải pt và hệ pt 
1.Giải các pt sau : a) 3 15
n n
C C b) 2 1
14 14 14
2
n n n
C C C
   
ĐS:a) n = 7 b) n = 4, n = 8 
2. Giải các pt sau : a) 2 2
1 2
3 4
n n
C nP A   b)  
2
2 2 3 1
1 2
4
n n n
C A n A    
ĐS: a) n = 3 b) VN 
3.Giải các pt sau : 
a) 1 2 3 26 6 9 14
x x x
C C C x x    b) 
5 6 7
5 2 14
x x x
C C C
  
ĐS: a) x = 7 b) x = 3 
4.Giải các pt sau : 
a)  2 272 6 2x x x xP A A P   b) 2 2 2 3 3 32 100n nn n n n n nC C C C C C    
ĐS: a) x=3 ,x=4 b) n = 4 
5.Giải các hệ pt sau : 
a) 
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
  

 
 b) 1 1
1 1 1
: : 5 : 5:3
y y y
x x x
C C C
 
    
7.Giải hệ 
3
4
70
2 100
y
x x
y
x x
A C
C A
  

  
Các tính chất 
 Chứng minh các đẳng thức sau: 
1
1 1
1
1
1
1 1
2 1
2
1 2 3 4
4
1)
2)
3)
4) 2 (2 )
5) 4 6 4 (4 )
k k k
n n n
k k
n n
k k k
n n n
k k k k
n n n n
k k k k k k
n n n n n n
A kA A
kC nC
C C C
C C C C k n
C C C C C C k n

 



 
 

   

 

 
    
      
6) mọi n≥2 ta luôn có: 
2 2 2
2 3
1 1 1 1
...
n
n
A A A n

    
7) Tính giá trị của biểu thức 
4 3
1 3
( 1)!
n nA AM
n
 

 biết 
2 2 2 2
1 2 3 42 2 149n n n nC C C C       
8. Tính tổng 
2
1
1 1 1
2 ... ...
p n
n n n
n p n
n n n
C C C
S C p n
C C C 
      
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
NHỊ THỨC NEWTON 
1. Công thức Newton 
 Định lí: 0 1 1 2 2 2 1 1( ) ...n n n n n n n nn n n n na b C a C a b C a b C ab C b
          
2.Nhận xét 
 Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau 
* Gồm có n+1 số hạng 
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n 
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n 
*Các hệ số có tính đối xứng: k n kn nC C
 
* Số hạng tổng quát : 1
k n k k
k nT C a b

  
VD: Số hạng thứ nhất 01 0 1
n
nT T C a  , số hạng thứ k 
1 1 1
( 1) 1
k n k k
k nT C a b
   
   
3. Một số hệ quả 
 Hq: Ta có : 
0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n nx C xC x C x C      
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Từ khai triển này ta có các kết quả sau 
 * 0 1 ... 2n nn n nC C C    
 * 0 1 2 ... ( 1) 0n nn n n nC C C C      
3. Các dạng toán thường gặp 
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như 
 *Xác định hệ số của xk trong khai triển 
 * Xác định hệ số không chứa x 
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó 1
k n k k
k nT C a b

  
VD1: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau 
10
9
7 8 9
) ( ) (1 2 )
) ( ) (2 3 )
) ( ) (1 ) (1 ) (2 )
a P x x
b P x x x
c P x x x x
 
 
     
VD2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau 
12
4 3 17
3 2
2
) ( ) ( ) ( 0)
1
) ( ) ( ) ( 0)
a f x x x
x
b f x x x
x
  
  
VD3: Trong khai triển của 10
1 2
( )
3 3
x thành đa thức 
2 9 10
0 1 2 9 10...a a x a x a x a x     , hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 10k  ). 
VD4: Cho khai triển 
1 1
03 32 2(2 2 ) (2 ) ... (2 )
x xx x
n n n n
n nC C
 
 
    (n là số nguyên 
dương). Biết trong khai triển đó 3 15n nC C và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?. 
VD5: Xét khai triển 10 11 101 11( 1) ( 2) ...x x x a x a      . Tính a5=? 
VD6: Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x
3n-3
 trong khai triển thành đa 
thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n. 
Dạng 2: Tính tổng 
0
n
k k
k n
k
T a C b

 
PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n nx C xC x C x C      , ta 
chọn những giá trị x thích hợp 
Ví dụ 1.Cmr: 0 2 2 1 3 2 12 2 2 2 2 2) ... ...
n n
n n n n n na C C C C C C
       
0 1 1 0) ...k k k km n m n m n m nb C C C C C C C

    
Ví dụ 2: Tính các tổng sau 
0 1 21 1 1) ...
2 3 1
n
n n n na C C C C
n
   

1 2) 2 ... nn n nb C C nC   
2 3 4) 2.1. 3.2 4.3 ... ( 1) nn n n nc C C C n n C     
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
 0 2 2 4 4 2006 20062007 2007 2007 2007) 2 2 ... 2d C C C C    
Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 22 4 ... 2 243n nn n n nC C C C     
Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 
7
4
1
( )nx
x
 , biết 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n nC C C       . 
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng 
2 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) ... 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C     
Ví dụ 6: Tính tổng 
2 1
0 13 1 3 1...
2 1
n
n
n n nS C C C
n
 
   

Ví dụ 7: Tính tích phân 
1
2
0
(1 )nI x x dx  và tính tổng 
0 1 3 41 1 1 1 ( 1)...
2 4 6 8 2( 1)
n
n
n n n n nS C C C C C
n

     

Bài tập 
1. Xét khai triển 20
1
(2 )x
x
 
 a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển 
 b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x 
2. Xác định hệ số của x4 trong khai triển 2 10( ) (3 2 1)f x x x   
3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau 
28
3 15) ( ) ( )na f x x x x

  biết rằng 1 2 78n nn nC C
   với x>0. 
 b) 73
4
1
( ) ( )f x x
x
  với x>0 
4. Giả sử n là số nguyên dương và 0 1(1 ) ...
n n
nx a a x a x     . Biết rằng tồn tại số 
nguyên k (1 1k n   )sao cho 1 1
2 9 24
k k ka a a   . Tính n=? 
5. Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của 5
3
1
( )nx
x
 , biết rằng 
1
4 3 7( 3)
n n
n nC C n

    
6. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. 
7. Trong khai triển nhị thức 213
3
( )
a b
b a
 tìm hệ số của số hạng chứa a và b có 
số mũ bằng nhau. 
8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng 
2 1
0 12 1 2 1...
2 1
n
n
n n nS C C C
n
 
   

9. Tìm số nguyên dương n sao cho 
1 2 2 3 3 4 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005
n n
n n n n nC C C C n C

           
10. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên 
dương thỏa mãn 1 3 5 2 12 1 2 1 2 1 2 1... 1024
n
n n n nC C C C

        . 
11. Giả sử 20 1 2(1 2 ) ...
n n
nx a a x a x a x      , biết rằng 0 1 ... 729na a a    . 
Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,,an. 
12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n 
tập con có số phần tử lẻ. 
13. Tính tổng 1 2 2 22 ... nn n nS C C n C    . 
14. Cho 
1
2
0
2.4.6....(2 2)2
(1 )
1.3.5....(2 1)(2 1)
n n nI x dx
n n

  
 
. Hãy tính tổng sau 
1 2 31 1 1 ( 1)1 ...
3 5 7 2 1
n
n
n n n nS C C C C
n

     

15. Tính các tổng sau 
1 3 2 3 3 3
2 3
0 1 2 3
1 1 2 2 3 3
) 2 3 ...
2 2 2
) ...
3 4 1
) 3 2 3 3 3 ...
n
n n n n
n
n
n n n n n
n n n n
n n n n
a S C C C n C
b S C C C C C
n
c S C C C nC  
    
     

    
16. .Vôùi moãi n laø moät soá töï nhieân,haõy tính toång: 
0 1 2 2 3 31 1 1 12 2 2 ... 2
2 3 4 1
n n
n n n n nC C C C C
n
    

NHỊ THỨC NEWTON