Toán học 10 - Công thức lượng giác

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1.Công thức cộng:cos(a+b) = cosacosb - sinasinb cos(a-b) = cosacosb + sinasinbsin(a+b) = sinacosb + sinbcosasin(a-b) = sinacosb – sinbcosaNhớ :	 cos thời cos cos, sin sin sin thời sin cos, cos sin là cùng	 tg tổng thì tổng tg ta phép chia của một trừ thừa tg ra	Cụ thể : VT và VP ngược dấuVT và VP cùng dấutg hiệu là hiệu tg ngươiphép chia của một cộng thừa tg vôcoscotgtgO+-1-111BAA’B’MPQsinKαNEFβVận dụng kiến thức đã học :Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :xyĐối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tgVí dụ : Tính cos150 và cotg2150Giải Ví dụ : TínhGiải 2. Công thức nhân đôi : sin2α = 2sinαcosαcos2α = cos2α – sin2α	= 2cos2α – 1	= 1 – 2sin2αNhớ :sin cặp thì cặp sin côcos hai lấy hiệu bình cô sin bìnhthêm hai cos bình trừ duy nhấtduy nhất trừ đi hai sin bìnhtg nhị là nhị tg anhphép chia của một trừ bình tg thôiChứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β) và tg(α+β). Cụ thể :a. Hệ quả 1:Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα theo Chứng minh : Chứng minh : Vận dụng các công thức nhân đôi ta được hệ qủa một. b. Hệ quả 2:cos bình không biết bằng chi ?mẫu hai, tử tổng một và cos haiNhớ :Ta có : Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :Giải Áp dụng hệ qủa 2 : đặt3. Công thức biến đổi :a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng :Nhớ : 	tích sin là tích nửa âm	 cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừChứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng hoặc trừ vế theo vế. Ví dụ : TínhGiải b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích :Nhớ :cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos	cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin	sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos	sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin Cụ thể :Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệuỞ VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôiChứng minh : sin(a + b) = sinacosb + sinbcosasin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosbĐặt :	α = a + b	β = a – b Áp dụng tương tự với các hàm khácVí dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sauM = sinx – sin2x + sin3xM = sin3x + sinx – sin2x– sin2x = Giải M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx =2cosx(sin2x – sinx)Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sauN = tg750 – tg150Giải Mở rộng cho các công thức sau :i.ii.iii.sin3α = 3sinα – 4sin3αiv.cos3α = 4cos3α – 3cosαVận dụng công thức :Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả : Chứng minh : sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α) = 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α) = 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α sin3α = 3sinα – 4sin3αTương tự cho cos3αTương tự cho sinα - cosαi.ii.iii.iv.Bài tập củng cố :1. Tính: A = sin100sin300sin500sin700A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200) A = sin100sin300 cos400cos200Giải : 2. Tính : B = cos200 + cos400 +  + cos1600 + cos1800 B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800 B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800 B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) + (cos800 – cos800 ) + cos1800 B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1 3.Ví dụ :CMR : Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:A + B + C = πA + B = π – C tg(A + B) = tg(π – C) Giải : Giải : (đpcm)4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi: Mà : A + B + C = πC + A = π – B (1)Giải : (1)Do đó :Tam giác ABC cân tại B