Toán - Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.
Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp.
I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:
Bài 1. Giải phương trình:
GIẢI
ĐS 
II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: và thì khi đó: 
Nếu ta chỉ có và , thì kết luận phương trình vô ngiệm.
Bài 2. Giải phương trình:
GIẢI
Vì nên 
mà 
Do và nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. Giải phương trình:
 (1)
GIẢI
(1)	
	 (2)
Ta thấy 
Mà 
Do đó (2)
Vậy nghiệm của phương trình là: 
ĐS 
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:
Dùng tính chất đại số
Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình có 1 nghiệm và hàm đơn điệu trong thì có nghiệm duy nhất là .
Phương trình có 1 nghiệm , tăng (giảm) trong , giảm (tăng) trong thì phương trình có nghiệm là duy nhất.
Bài 4. Giải phương trình:
 với 
GIẢI
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm .
Đặt là biểu thức của hàm số có đạo hàm (vì )
 Hàm luôn đơn điệu tăng trong 
 có 1 nghiệm duy nhất trong 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất .
B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài 1: Giải phương trình:
 (1)
GIẢI
Ta có (1)	
Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:
GIẢI
Ta có:	
 (1)
Vì 
Và 
Do đó (1) 	
ĐS hay , 
C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI
Bài 3: Giải các phương trình: 
 (1)
GIẢI
1. Ta có: 
(1)	
2.Với điều kiện ta có và luôn cùng dấu nên:
Dấu "=" xảy ra 
Với : phương trình có nghiệm cho bởi:
Với thì:
Dấu bằng xảy ra 
(đều không thoả mãn điều kiện của phương trình)
Vậy với thì phương trình vô nghiệm.
ĐS 
Bài 4: Giải phương trình:
 (1)
GIẢI
Điều kiện: 
Khi đó (1) 
Vì 
Do đó và 
Dấu bằng xảy ra 
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải phương trình:
HƯỚNG DẪN
Vậy phương trình tương đương: 
ĐS 
Bài 2: Giải phương trình: 
 với 
HƯỚNG DẪN
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 
Đặt liên tục trên 
Có đạo hàm: do 
 đơn điệu tăng trên 
Bài 3: Giải phương trình: 
ĐS 
Bài 4: Giải phương trình:
ĐS 
Bài 5: Giải phương trình:
ĐS hay