Tóm tắt hình học không gian - Lê Tấn Nguyên Minh

I) GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG : 
 Loại 1: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M P Q
P Q MN
N P Q
  
  
  
  Loại 2: 
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
( ); ( ) ( ) ( ) / / / /
/ /
M P Q
d P d Q P Q Mx d d
d d
  
    


  Loại 3: 
( ) ( )
( ) ( ) / /
( ); / /( )
M P Q
P Q Mx d
d Q d P
  
  
 
  Loại 4: 
( ) ( )
( ) ( ) / /
/ /( ); / /( )
M P Q
P Q Mx d
d P d Q
  
  

  Loại 5: 
( ) ( )
( ) / /( ) ( ) ( ) / /
( ) ( )
M P Q
P R P Q Mx d
Q R d
  

  
  
II) GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT 
PHẲNG : 
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) 
Cách 1 : Tìm trong mp(P) một đường thẳng  sao 
cho  cắt d tại I . Khi đó, I là giao điểm của d và (P) 
Cách 2 : 
Tìm mp(Q) chứa d 
Tìm  = (P)  (Q)  d  mp(P) = I 
Tìm I = d   
III) CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG – 
BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY: 
 Để chứng minh nhiều điểm thẳng hang, ta chứng 
minh chúng cùng là điểm chung của 2 mặt phẳng phân 
biệt các điểm đó sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của 2 
mặt phẳng 
 Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy , ta có thể 
 + Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là 
điểm chung của 2 mặt phẳng mà giao tuyến của chúng 
là đường thẳng thứ ba 
 + Chứng minh 3 đường thẳng này cùng nằm trong 1 
mặt phẳng và chúng đồng quy đôi một 
 + Chứng minh ba đường thẳng đồng quy đôi một tại 1 
điểm mang một tính chất đặc biệt trên mỗi đường 
IV) CHỨNG MINH QUAN HỆ SONG SONG : 
 1)Chứng minh hai đường thẳng song song : 
 Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , sau 
đó sử dụng các phương pháp chứng minh song song 
trong hình học phẳng( như tính chất đường trung bình, 
định lý Thales đảo…..) 
 Chứng minh hai đường thẳng đó phân biệt và cùng 
song song với một đường thẳng thứ ba 
 Áp dụng các định lý về giao tuyến của hai mặt 
phẳng 
 Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với 
một mặt phẳng 
 2) Chứng minh đường thẳng d song song với 
mp(P): 
Chứng minh 
( )
/ /( )
/ / '; ' ( )
d P
d P
d d d P



Chứng minh 
( )
/ /( )
( ) / /( )
d Q
d P
Q P



 Sử dụng định lý Thales đảo trong không gian: 
 ', ', '/ /( )
' ' ' '
AB BC
AA BB CC P
A B B C
  
Chứng minh 
( )
/ /( )
, ( )
d P
d P
d P


   
3) Chứng minh hai mp(P) và (Q) song song : 
Chứng minh 
1 2 1 2
1 2
/ /
1 1 2 2
, ( ); ', ' ( )
( ) / /( )
/ / , / /
d d P d d Q
d d P Q
d d d d
  

  


Chứng minh 
1 2
1 2
1 2
, ( )
( ) / /( )
/ /( ), / /( )
d d P
d d P Q
d Q d Q

   


Chứng minh 
( ) ( )
( ) ( ) / /( )
( )
P Q
P d P Q
Q d

  
 
V) CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC : 
1)Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt 
phẳng 

1 2
1 2
1 2
;
( )
, ( )
d d d d
d d d P
d d P
 
    
 

/ /
( )
( )
d
d P
P

 
  
 TRƯƠNG THPT TRƯƠNG ĐỊNH 
 TỔ TOÁN 
 GV: LÊ TẤN NGUYÊN MINH 
 TÓM TẮT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 
( )
( )
( ) / /( )
d Q
d P
P Q

 


,
( )
, , ( )
M N d
MA MB MC
d P
NA NB NC
A B C P

  
 
 
 

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( );
P Q
P Q d P
d Q d


    
   

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Q P
R P d P
Q R d

   
  
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : 
 1 1 2
2 2
( )
( ) / /( )
d P
d d
d P hayd P

 

 d1 cùng phương 1 
 d2 cùng phương 2  d1  d2 
 1  2 
 Sử dụng định lý ba đường vuông góc 
 Nếu d1 , d2 cắt nhau thì có thể sử dụng các phép 
chứng minh vuông góc trong hình học phẳng 
Sử dụng mặt trung trực của một đoạn thẳng 
MA MB
MN AB
NA NB
 
 
 
3) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc : 

( )
( ) ( )
( )
d P
P Q
d Q

 

      0, 90 ( ) ( )P Q P Q   

1
2
1 2
( )
( ) ( ) ( )
d P
d Q P Q
d d

   
 
VI) THIẾT DIỆN : 
1)Thiết diện : Sử dụng phương pháp giao tuyến gốc 
 Tìm một mặt của khối đa diện ( mặt bên, mặt đáy, 
mặt chéo hay một mặt trung gian nào đó ) chứa 2 điểm 
hay một đường thẳng của mp thiết diện (P) , ta dựng 
giao tuyến đầu tiên của (P)với mặt này . Trong mặt 
đang xét, ta xác định tất cả các giao điểm có được của 
giao tuyến với tất cả các đường thẳng chứa các cạnh 
của mặt đó 
 Bổ sung các điểm mới tìm được với các điểm đã có 
sẳn của (P) , ta tiếp tục thực hiện cho các mặt bên và 
và mặt đáy còn lại đến khi các giao tuyến khép kín thì 
ta được thiết diện 
2)Thiết diện trong quan hệ song song : 
a- Loại 1: Mp thiết diện (P) chứa 1 đường thẳng d1 và 
song song với một đường thẳng d2 
  Tìm một mp(Q) chứa d2 sao cho giao điểm A của 
(Q) và d1 xác định dễ dàng, Trong mp(Q) qua giao 
điểm A , dựng một đt d’2 || d2  mp(P) là mp tạo bởi 
hai đường thẳng cắt nhau d1 và d’2 
  Sử dụng các cách xác định giao tuyến để hoàn tất 
thiết diện 
b- Loại 2: Mp thiết diện (P) đi qua điểm M và song 
song với 2 đường thẳng chéo nhau d 1 và d2 
  Trong mp(M, d1), qua M kẻ d’1 || d1 
Trong mp(M, d2), qua M kẻ d’2 || d2  mp (P) là mp 
tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d‘1 và d’2 
  Sử dụng các cách xác định giao tuyến để hoàn tất 
thiết diện 
3)Thiết diện trong quan hệ vuông góc : 
a- Loại 1: Mp thiết diện (P) đi qua điểm M và vuông 
góc với đường thẳng d 
  Tìm hai đường thẳng d 1 và d2 vuông góc với d . 
Khi đó, mp(P) là mp đi qua M và song song với d 1,d2 
Chú ý : + Nếu d1 qua M thì d1  mp(P) 
 + Có thể ta phải kẻ 1 đường thẳng qua M, 
vuông góc và cắt d 
b- Loại 2: Mp thiết diện (P) chứa đường thẳng d và 
vuông góc mp(Q) 
  Tìm 1 đường thẳng  vuông góc mp(Q) . Khi đó 
mp(P) là mp chứa d và song song với  
Chú ý : Nếu  cắt d thì mp(P) là mp( d,  ) 
VII) KHOẢNG CÁCH : 
1)Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : 
a- PP1: 
+ Dựng mp(Q) qua M và vuông góc với mp (P ) 
+ Xác định d = ( P )  ( Q ) 
+ Trong mp(Q), qua M kẻ đường thẳng vuông góc với 
d tại H  MH = d( M, (P) ) 
Q
d
H
M
P
b- PP2: 
+ Tìm một đường thẳng d vuông góc với mp( P) tại K 
+ Xác định giao điểm I của MN ( N là điểm trên d ) 
với mp (P ) 
+ Kẻ qua M đường thẳng song song với d cắt IK tại H 
 MH = d( M, (P) ) 
Chú ý : 
+ Nếu MN || mp(P) thì d( M, (P)) = d( N, (P) ) 
+ Nếu MN cắt mp(P) tại I thì 
( , ( ))
( , ( ))
d M P IM
d N P IN
 
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – 
Đoạn vuông góc chung : 
a- PP1: ( Có một mp(P)  d1 tại H ) 
+ Tìm hình chiếu d’2 của d2 lên mp(P) 
+ Từ H, kẻ HK  d’2 , từ K kẻ KN || d2 , 
từ N kẻ NM || KH thì đoạn MN là đoạn vuông góc 
chung của d1 và d2 
Đặc biệt : 
Nếu mp(P)  d1 tại M và mp(P) 
chứa d2 thì từ M kẻ MN  d2 thì 
MN là đoạn vuông góc chung 
Chú ý : 
HKNM luôn là hình chữ nhật 
 nên HK = MN 
b- PP2: ( Có 1 mp(P) || d2 và (P) chứa d1 ) 
+ Xác định hình chiều d’2 của d2 lên mp(P) và xác 
định giao điểm M của d’2 với d1 
+ TừM , kẻ MN  d2 thì MN là đoạn vuông góc chung 
của d1 và d2 
Chú ý : Vì mp(P) || d2 nên 
 MN = d(d1, d2) = d( A, (P)) A d2 
VIII) GÓC : 
1)Góc giữa hai đường thẳng : 
a-Xác định góc : 
 Từ 1 điểm O bất kỳ , ta kẻ hai đường thẳng d’1|| d1 
d’2 || d2 thì (d1 , d2 ) = ( d’1, d’2 ) 
 Từ 1 điểm O bất kỳ trên d1, ta kẻ đường thẳng 
d’2 || d2 thì (d1 , d2 ) = ( d1, d’2 ) 
b- Tính góc : Nếu góc cần tính là góc trong một tam 
giác vuông thì ta sử dụng các hệ thức lượng trong tam 
giác vuông. Nếu góc cần tính là góc trong tam giác 
thường thì ta sử dụng định lý cosin 
2)Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : 
 Tìm hình chiếu d’ của d lên mp(P) 
  (d, (P)) = ( d, d’) 
Chú ý : 
 Xác định giao điểm I của d và mp(P) , chọn một điểm 
M trên d và xác định hình chiếu M’ của nó lên mp(P) 
thì d’ là đường thẳng qua I và M 
3) Góc giữa hai mặt phẳng : 
+ Tìm giao tuyến  = (P)  (Q) 
+ Tìm mp(R)   
+ Tìm a = ( R )  ( P) ; b = ( R )  ( Q ) 
 Thì ( (P) , (Q) ) = (a, b ) 
M
N
I
K
d
H
P
d'2
d2
d1
N
K
M
H
P
NM
d2
d1
P
d'2
Q
N
M
d2
d1P
b
a
R
Δ
Q
P
Chú ý : Định lý diện tích hình chiếu 
 S’ = S cos( (ABC) , (A’B’C’) ) 
IX) KHỐI ĐA DIỆN : 
1) Thể tích : 
 VLăng trụ = Sđáy . h 
 Vhộp chữ nhật = abc ( a,b, c là 3 kích thước ) 
 VLập phương = a
3 
 V Chóp = 
1
3
 Sđáy . h 
2) Hệ thức tỉ số thể tích : 
.
. ' ' '
. .
' ' '
S ABC
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC
 
3) Phương pháp thể tích : 
a-Tính thể tích : Để tính thể tích 
của một khối đa diện (H) phức tạp 
+ Phân chia(H) thành các khối đơn giản 
Tính thể tích từng phần và cộng lại 
+ Ghép thêm vào (H) các khối đơn giản để được một 
khối đa diện đặc biệt, tính thể tích khối này sau đó trừ 
ra các thể tích khối đơn giản ghép vào 
b-Tính tỷ số thể tích : Để tính tỷ số thể tích hai phần 
của một khối đa diện (H) bị chia ra bởi mp , ta thực 
hiện như sau : 
+ Dựng thiết diện tạo bởi  và ( H ) 
+ Dùng phương pháp thể tích ở trên để tính thể tích 
V1, V2 của 2 hình của (H) do  chia ra 
+ Tính tỷ số thể tích 
X) KHỐI TRÒN XOAY : 
I) Hình cầu : 
1)ĐN: Hình cầu S(O; R) = { M/ OM  R } 
2) Thiết diện : Cho mặt cầu S(O;R) và mp (P) 
+d(O;(P)) > R  (S)  (P) =  
+d(O;(P)) = R  (S) tiếp xúc với (P) tại I là hình 
chiếu của O lên (P) 
+d(O;(P)) < R  (P) cắt (S) theo 1 đường tròn ( C ) có 
tâm I là hình chiếu của O lên ( P ) và bán kính 
 2 2 ( , ( ))r R d O P  
3)Công thức : 
2
3
4
4
3
S R
V R




4) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : 
a-Định nghĩa : Là mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của 
hình chóp, tâm của nó cách đều tất cả các đỉnh của 
hình chóp 1 đoạn bằng R 
+ Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp  Đáy của hình 
chóp có đường tròn ngoại tiếp 
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục 
đường tròn ngoại tiếp đáy và mặt trung trực của một 
cạnh bên 
b-Chú ý : 
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau  góc hợp giữa 
các cạnh bên và đáy bằng nhau  Đáy là đa giác nội 
tiếp và hình chiếu của đỉnh hình chóp lên đáy là tâm 
đường tròn ngoại tiếp đáy 
II) Hình trụ : 
1)ĐN: Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra khi quay một 
hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh của nó 
2) Thiết diện : 
+ Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một 
hình tròn bằng với hình tròn đáy 
+ Các thiết diện qua trục hình trụ là các hình chữ nhật 
bằng nhau 
+ Thiết diện song song với trục hình trụ là các hình 
chữ nhật 
3)Công thức : 
 Sxq = CVđáy . đường sinh 
 V = Sđáy . đường cao 
II) Hình nón: 
1)ĐN: Hình nón tròn xoay là hình sinh ra khi quay 
một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc 
vuông của nó 
2) Thiết diện : 
+ Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là một 
hình tròn 
+ Các thiết diện qua trục hình trụ là các tam giác cân 
bằng nhau 
+ Thiết diện qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo 
một tam giác cân có hai cạnh là 2 đường sinh 
3)Công thức : 
 Sxq = 
1
2
CVđáy . đường sinh 
 V = 
1
3
Sđáy . đường cao 
S'
S
C'
B'
A'
C
B
A
P
C'
B'
A'
C
B
A
S