Tóm tắt lượng giác - Lê Tấn Nguyên Minh

I. Hàm số lượng giác : 
sin cos
tan ( 0)
cot ( 0)
M M
M
M
M
M
M
M
OK y OH x
y
AR x
x
x
BS y
y
 


     
   
   
II. Giá trị hàm số lượng giác các góc đặc biệt : 
 Góc 
HSLG 
00 
0 
300 
6

450 
4

600 
3

900 
2

sin 0 1
2
 2
2
3
2
1 
cos 1 3
2
2
2
1
2
0 
tan 0 3
3
1 3 || 
cot || 3 1 3
3
0 
III. Góc liên kết : 
 1. Góc đối nhau : 
 sin ( -a ) = - sina  cos ( - a ) = cosa 
 tan ( -a ) = - tana  cot ( - a ) = - cota 
 2. Góc phụ nhau : 
sin cos cos sin
2 2
a a a a
            
   
tan cot cot tan
2 2
a a a a
            
   
 3. Góc bù nhau : 
 sin ( - a ) = sina  cos ( - a ) = - cosa 
 tan ( - a ) = - tana  cot ( - a ) = - cota 
 4. Góc hơn kém nhau k : 
 sin( a + k) = 
sin ( 2 )
sin ( 2 1)
a k m
a k m


  
 cos( a + k) = 
cos ( 2 )
cos ( 2 1)
a k m
a k m


  
 tan(a + k) = tana 
 cot(a + k) = cota 
IV. Hệ thức cơ bản – Hệ quả : 
V. Công thức cộng : 
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
cot cot 1
cot( )
cot cot
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
   
  

  
  




VI. Công thức nhân : 
 1. Công thức nhân đôi : 
2 2 2 2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan
tan 2
1 tan
cot 1
cot 2
2cot
a a a
a a a a a
a
a
a
a
a
a
 
      
 


 
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
tan .cot 1
2
1
1 tan
cos 2
1
1 cot
sin
a a a R
a
a a k
a
a
a a k
a
a a a k
a a k
a
a a k
a







    
    
   
   
     
    
 TRƯỜNG THPT TRƯƠNG ĐỊNH 
 TỔ TOÁN 
 GV: LÊ TẤN NGUYÊN MINH 
 TÓM TẮT LƯỢNG GIÁC 
S
R
K
H
(cot)
(tan)
(sin)
(cos )
1
-1
1-1
B
B'
A
A' α
M
O
 2. Công thức nhân ba: 
3
3
3
2
3
2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan 3
1 3tan
cot 3cot
cot 3
3cot 1
a a a
a a a
a a
a
a
a a
a
a
  
  

 


 

 3. Công thức hạ bậc : 
2 2
2 2
3 3
1 cos 2 1 cos 2
sin cos
2 2
1 cos 2 1 cos 2
tan cot
1 cos 2 1 cos 2
3sin sin 3 3cos cos 3
sin cos
4 4
a a
a a
a a
a a
a a
a a a a
a a
 
   
 
   
 
 
   
 4. Công thức tính sina, cosa, tana theo tan
2
a
t  : 
2
2 2
2
2
2 1
sin cos
1 1
2 1
tan cot
1 2
t t
a a
t t
t t
a a
t t

   
 

   

VII. Công thức biến đổi : 
 1. Biến đổi tích thành tổng : 
 
 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
    
     
    
 2. Biến đổi tổng thành tích : 
 
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin
cot cot
sin sin
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
b a
a b
a b
 
  
 
   
 
  
 
  

  

  
 VIII.Các kết quả: 
2 2
2
2
4 4 2 2 2
6 6 2 2 2
sin cos 2 sin
4
1 cos 2cos , 1 cos 2sin
2 2
1 sin sin cos 2sin
2 2 4
1
sin cos 1 2sin cos 1 sin 2
2
3 1
cos 4
4 4
3
sin cos 1 3sin cos 1 sin 2
4
5 3
cos 4
8 8
a a a
a a
a a
a a
a a
a a a a a
a
a a a a a
a


     
 
    
           
   
     
 
     
 
IX.Đẳng thức cơ bản trong tam giác : 
2 2 2
2 2 2
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin
sin sin sin 2 2cos cos cos
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
cos 2 cos2 cos 2 1 4cos cos cos
cos cos cos 1 2cos cos cos
A B C
A B C
A B C A B C
A B C A B C
A B C
A B C
A B C A B C
A B C A B
   
   
    
    
     
    
tan tan tan tan tan tan
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
cot cot cot cot cot cot 1
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
C
A B C A B C
A B B C C A
A B B C C A
A B C A B C
   
   
   
   
X. Phương trình lượng giác : 
 1. Phương trình lương giác cơ bản : 
2
sin sin
2
cos cos 2
tan tan ( , )2
cot cot ( , )
u v k
u v
u v k
u v u v k
v l
u v k l z
u v k
v l
u v k l z
u v k

 






 
      
     
  
   
  

   
 
Chú ý : 
+ Đối với các họ nghiệm theo tan và cot , nếu 1 vế của 
phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt điều 
kiện 
+ Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác , ta 
dùng : - sina = sin ( -a ) , - tana = tan ( - a) 
 - cota = cot(- a ) , - cosa = cos(  - a ) 
+ Để đổi hàm số , ta dùng góc phụ 
 Đặc biệt : 
sin 0 sin 1 2
2
sin 1 2 cos 0
2 2
cos 1 2 cos 1 2
u u k u u k
u u k u u k
u u k u u k

 
 
 
  
        
           
         
2.PT bậc nhất theo một HSLG của u : 
+ Có dạng 
sin (1)
sin 0
cos (2)
cos 0
tan 0
tan (3)
cot 0
cot (4)
b
u
a
a u b b
u
a u b a
a b b
u
aa u b
b
u
a
 
 
  

 
 
 
 
+ Đối với phương trình (1) và (2) , cần có thêm điều 
kiện 1
b
a
  
+ Chọn  sao cho
sin ;
2 2
cos [0; ]
tan ;
2 2
cot (0; )
b
a
b
a
b
a
b
a
 
 
  
 
 
  
      
  
     
 
  
+ Đưa về phương trình cơ bản để giải 
3.PT bậc hai theo một HSLG của u : 
+ Có dạng : 
 asin2u + bsinu + c = 0 . Đặt t = sinu ( - 1 t  1) 
 acos2u + bcosu + c = 0 . Đặt t = cosu ( - 1 t  1) 
 atan2u + btanu + c = 0 . Đặt t = tanu 
 acot2u + bcotu + c = 0 . Đặt t = cotu 
+ Đưa về phương trình bậc hai : at2 + bt + c = 0 
+ giải PT tìm t  x 
 4.Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu : 
+ Dạng : asinu + bcosu = c ( a, b, c  0 ) 
+ Điều kiện để PTcó nghiệm là : a2 + b2  c2 
 Cách 1 : 
+ Chia 2 vế của PT cho 2 2a b 
+ PT
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
u u
a b a b a b
  
  
+ Chọn góc  sao cho : 
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b


 


 
 
+ PT  sin(u + ) = 
2 2
c
a b
  Cách 2 : ( Dùng cho các PT chứa tham số ) 
+ Xét trường hợp u =  + k2 , xem nó có là họ 
nghiệm của PT không ? 
+Xét trường hợp u   + k2 
 Đặt t = tan
2
u
. Khi đó 
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
t
u
t
t
u
t
  

 
 
+ PT trở thành : ( c + b)t2 – 2at + ( c – b ) = 0 
 5. Phương trình đẳng cấp theo sinu và cosu : 
+ Dạng 
2 2
3 2 2 3
sin cos 0 ( 1)
sin sin cos cos 0 ( 2)
sin sin cos sin cos cos 0( 3)
a u b u b
a u b u u c u b
a u b u u c u u d u b
 
  
   
+ Nếu a = 0 (PT mất sinu bậc cao nhất ) thì ta đặt cosu 
làm thừa số chung 
+ Nếu a  0 thì chia 2 vế của PT cho cosku ( k là bậc 
của PT) ta được PT bậc k theo tanu 
+ Nếu trong PT có chứa một nhóm bậc thấp hơn các 
nhóm khác 2 hay 4 đơn vị thì ta nhân them cho nhóm 
này đại lượng sin2x + cos2x hay (sin2x + cos2x)2 để 
bậc của mỗi nhóm trong PT bằng nhau 
 6. PT đối xứng theo sinu và cosu : 
+ Dạng a( sinu + cosu) + bsinucosu + c =0 
 Đặt t = sinu + cosu = 2 sin
4
u
  
 
 Điều kiện : 
2 1
2 sin cos
2
t
t u u

   
 PT bậc 2 theo t 
+ Dạng a( sinu - cosu) + bsinucosu + c =0 
 Đặt t = sinu - cosu = 2 sin
4
u
  
 
 Điều kiện : 
21
2 sin cos
2
t
t u u

   
 PT bậc 2 theo t 
+ Dạng a sin cosu u + bsinucosu + c =0 
Đặt t = sin cos 2 sin
4
u u u
    
 
 Điều kiện : 
2 1
0 2 sin cos
2
t
t u u

     
 PT bậc 2 theo t 
XI. Một số phương pháp khác giải PTLG : 
 1. Phương pháp tích số : 
 2. Phương pháp đặt ẩn phụ : 
Đặt f(x) = t , đưa PT về dạng đại số theo t , giải tìm t 
rồi sau đó tìm x 
Chú ý : Nếu được , ta nên tìm điều kiện cho t để giới 
hạn bớt các nghiệm t 
 3. Phương pháp phản chứng : 
Đặc biệt : 
 4. Phương pháp tổng bình phương : 
 5. Phương pháp đối lập : 
XII. Các công thức trong tam giác : 
 Định lý cosin : a2 = b2 + c2 – 2bc cosA 
 Định lý sin : 
 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   
 Công thức tính cos : 
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
 
 
 Công thức tính độ dài trung tuyến : 
 2 2 2
1
2 2
2a
m b c a   
 Công thức tính độ dài đường phân giác trong : 
2
cos
2a
bc A
l
b c


 Công thức tính diện tích : 
1
.
2
1
sin
2
4
( )( )( )
aS a h
bc A
abc
R
pr
p p a p b p c




   
( R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 r : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 p : phân nửa chu vi ) 
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
f x
f x g x
g x

   
2 2
sin , cos 1 1
sin ,cos 0 1
sin cos 2 2
1 1 1
sin cos sin 2
2 2 2
1
( ) 2
( )
t u u t
t u u t
t u u t
t u u u t
t f x t
f x
     
    
      
      
    
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
f x a
g x b
f x a
f x g x a b
g x b



    

( ) 0
( ) 0
sin 1 sin 1
sin .cos 1
cos 1 cos 1
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
f x
g x
u u
u v
v v
f x
f x g x
g x


   
    
   

    

   2 2
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
f x
f x g x
g x

   

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
f x a
g x a
f x a
f x g x
g x a



  

Chúc các em 
 thành công