Tuyển tập Bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

 4x 4 4 4x 4 2 x. 4 8
x x x
 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = 4x
x
 Û x = 2 (x > 0). 
 ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 
31. Tìm GTNN của = +2 3
2f(x) x
x
 , x > 0. 
 ° 
æ ö æ ö+ = + + + + ³ =ç ÷ ç ÷è ø è ø
3 22 2 2 2
2 5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5x 5
3 3 3 3 27x x x x
 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = Û =
2
5
3
x 1 x 3
3 x
 Û x = 2 (x > 0). 
 ° Vậy: GTNN của y là 5
5
27
 khi = 5x 3 . 
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 
 ° f(x) = –10x2 + 11x – 3 = æ ö æ ö- - - = - - + £ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2
2 11x 11 1 110 x 3 10 x
10 20 40 40
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = 11x
20
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 14 
 ° Vậy: Khi = 11x
20
 thì y đạt GTLN bằng 1
40
. 
33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 
 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): 
 ° ( ) ( )= + - ³ -6 x 6 x 2 x 6 x Þ x(6 – x) £ 9 
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 
 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5
2
 . Định x để y đạt GTLN. 
 ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = 1
2
(2x + 6)(5 – 2x) 
 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , æ ö- £ £ç ÷
è ø
53 x
2
: 
 ° ( ) ( ) ( )( )= + + - ³ + -11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x Þ 1
2
(2x + 6)(5 – 2x) £ 121
8
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û = - 1x
4
 ° Vậy: Khi = - 1x
4
 thì y đạt GTLN bằng 121
8
. 
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ £5 x 5
2
 . Định x để y đạt GTLN. 
 ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = 1
2
(2x + 5)(10 – 2x) 
 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , æ ö- £ £ç ÷
è ø
5 x 5
2
: 
 ° ( ) ( ) ( )( )+ + - ³ + -2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x Þ 1
2
(2x + 5)(10 – 2x) £ 625
8
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û = 5x
4
 ° Vậy: Khi = 5x
4
 thì y đạt GTLN bằng 625
8
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1
2
 £ x £ 5
2
 . Định x để y đạt GTLN 
 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 
 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , æ ö- £ £ç ÷
è ø
1 5x
2 2
: 
 ° ( ) ( ) ( )( )+ + - ³ + -2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 15 
 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 
37. Cho =
+2
xy
x 2
 . Định x để y đạt GTLN 
 ° + ³ =2 22 x 2 2x 2x 2 Û ³
+ 2
1 x
2 2 2 x
 Þ £ 1y
2 2
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = Þ2x 2 và x > 0 x= 2 
 ° Vậy: Khi =x 2 thì y đạt GTLN bằng 1
2 2
. 
38. Cho 
( )
=
+
2
32
xy
x 2
 . Định x để y đạt GTLN 
 ° + = + + ³ 32 2 2x 2 x 1 1 3 x .1.1 Û ( )
( )
+ ³ Þ £
+
232 2
32
x 1x 2 27x
27x 2
 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = Û = ±2x 1 x 1 
 ° Vậy: Khi = ±x 1 thì y đạt GTLN bằng 1
27
. 
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 
1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki 
 («) Û + + £ + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2abcd c d a b a d c b c d 
 Û + - ³2 2 2 2a d c b 2abcd 0 Û ( )- ³2ad cb 0 . 
2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 
 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : 
 ° + =sinx cosx ( )( )+ £ + + =2 2 2 21. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2 
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. 
 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : 
 ° ( )( )+ = + £ + +2 23a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b Û 3a2 + 4b2 ³ 7. 
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ 725
47
. 
 ÷ - = -2 32a 3b 3 a 5 b
3 5
 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -2 3, 3 a , , 5 b
3 5
: 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 20 
 + ++ + £
2 2 2a b cx y z
2R
 (a, b, c là các cạnh của DABC, R là 
bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 
36. (Đại học 2002 dự bị 3) 
 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5
4
. Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +4 1
x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5) 
 Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. 
 Chứng minh bất đẳng thức: + ++ ³
2a c b b 50
b d 50b
 và tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: S = +a c
b d
. 
 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 
 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2
. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các 
cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ 
các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: 
æ öæ ö+ + + + ³ç ÷ç ÷
è øè øa b c
1 1 1 1 1 1 3
a b c h h h
39. (Đại học khối A 2003) 
 Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: 
 + + + + + ³2 2 22 2 2
1 1 1x y z 82
x y z
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx 
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) 
 Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 
- £ì
ï
í -
=ïî
4p(p a) bc (1)
A B C 2 3 3sin sin sin (2)
2 2 2 8
 trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = + +a b c
2
. 
42. (Đại học khối A 2005) 
 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + =1 1 1 4
x y z
. 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 17 
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
1. (CĐGT II 2003 dự bị) 
 Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: + + + + ³ +2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 
 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z. 
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) 
 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: A = x + y + z + + +1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 
 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: A = +4 1
x 4y
. 
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 
 Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: 
 + + +
+ + + + + + + +
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2 
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 
 Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2
æ ö
+ +ç ÷
è ø2
1 2 1
xx ³ 16. 
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 
 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + + + + ++ + ³a b c a b c a b c 9
a b c
8. (CĐKTYTế1 2006) 
 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x2 + x = y + 12. 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 
10. (Học viện BCVT 2001) 
 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 
thì: æ ö+ + ³ + +ç ÷
è øa b c a b c
1 1 1 a b c3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 
 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: 
 + + ³
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2b c c a a b
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 18 
 Cho các số a, b, c thoả: 
ì + + =ï
í
+ + =ïî
2 2 2a b c 2
ab bc ca 1
 Chứng minh: - £ £ - £ £ - £ £4 4 4 4 4 4a ; b ; c
3 3 3 3 3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 
 Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 
 æ ö+ + ³ + +ç ÷- - - è ø
1 1 1 1 1 12
p a p b p c a b c
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 
 Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 
 + + £ + +
+ + +3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
15. (ĐH PCCC khối A 2001) 
 Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: + + ++ + >b c c a a blog a log b log c 1 
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 
 Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. 
 Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 
 + + ³ + +
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c ab c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 
 Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: - + - £a b 1 b a 1 ab (*) 
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) 
 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 
bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 
 Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: + >
2 2 2
3 3 3a b c 
20. (ĐHQG HN khối A 2000) 
 Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh 
rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 
21. (ĐHQG HN khối D 2000) 
 Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng 
minh rằng: + + ++ + ³
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c 3
ab bc ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 
 Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: + +æ ö³ ç ÷
è ø
33 3a b a b
2 2
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 
 Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 19 
 a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 
 Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: P = + +
+ + +2 2 2 2 2 2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) 
 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: 
 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ ( )+ 331 abc 
26. (ĐH Y HN 2000) 
 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện + =2 3 6
x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của tổng x + y. 
27. (ĐH An Giang khối D 2000) 
 Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 
 CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 
+
18xyz
2 xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000) 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n 
30. (CĐSP Nha Trang 2000) 
 Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức: A = + + +a 1 b 1 
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 
 Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì 
khác không: + + ³
+ +2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z
 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. 
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 
 Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: + + ³ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c ab c a
33. (ĐH Hàng hải 1999) 
 Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: 
 + + £ £ + +
+ + ++ + +2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) 
 Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 
 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 
35. (Đại học 2002 dự bị 1) 
 Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc 
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 24 
 + < + =
+ + + + + +
b d b d 1
b c d d a b b d b d
 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 
 Ta có: (x + 1)2
æ ö
+ +ç ÷
è ø2
1 2 1
xx ³ 16 (1) Û (x + 1)
2
æ ö+ç ÷
è ø
21 1
x ³ 16 
 Û (x + 1) æ ö+ç ÷
è ø
1 1
x
³ 4 (do x > 0) Û (x + 1)2 ³ 4x Û (x – 1)2 ³ 0 (2) 
 (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. 
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 
 Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = + + + + + + + +b c a c a b1 1 1
a a b b c c
 = 3 + æ ö æ ö æ ö+ + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
b a c a c b
a b a c b c
 Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: 
 + ³ =b a b a2 . 2
a b a b
; + ³ =b c b c2 . 2
c b c b
; + ³ =c a c a2 . 2
a c a c
 Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 
8. (CĐKTYTế1 2006) 
 y £ 0, x2 + x = y + 12 Þ x2 + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 
 y = x2 + x – 12 Þ A = x3 + 3x2 – 9x – 7 
 Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 
 f¢(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 
 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 
 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz)2 ³ 27 Û xyz ³ 3 3 
 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3 . 
 Vậy minA = 3 3 . 
10. (Học viện BCVT 2001) 
 Ta có hàm số f(x) = x
1
3
 là hàm nghịch biến nên: 
 (a – b) æ ö-ç ÷
è øa b
1 1
3 3
 ≤ 0, "a, b. 
 Þ + £ +a b a b
a b b a
3 3 3 3
, "a, b. (1) 
 Tương tự: + £ +b c c b
b c b c
3 3 3 3
 (2) 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 21 
 Chứng minh rằng: + + £
+ + + +
1 1 1 1
2x+y+z x 2y z x y 2z
43. (Đại học khối B 2005) 
 Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: 
 æ ö æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
x x x
x x x12 15 20 3 4 5
5 4 3
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
44. (Đại học khối D 2005) 
 Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 
+ + + + + +
+ + ³
3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x 3 3
xy yz zx
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) 
 Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: + + + + +x y z3 4 3 4 3 4 ³ 6 
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 
 Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( )
æ öæ ö+ + +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
2
y 91 x 1 1
x y
 ³ 256 
 Đẳng thức xảy ra khi nào? 
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 
 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3
4
. Chứng minh rằng: 
 + + + + + £3 3 3a 3b b 3c c 3a 3 
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 
 Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì - £ 1x y y x
4
. 
 Đẳng thức xảy ra khi nào? 
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 
 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: + + ³
+ + +
2 2 2x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006) 
 Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: 
 (x + y)xy = x2 + y2 – xy. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = +3 3
1 1
x y
. 
51. (Đại học khối B 2006) 
 Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = ( ) ( )- + + + + + -2 22 2x 1 y x 1 y y 2 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 22 
LỜI GIẢI 
1. (CĐGT II 2003 dự bị) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: 
 A
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
y 3x ; z
2 2
, B
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
3 30; y z
2 2
, C æ ö-ç ÷
è ø
y z ;0
2 2
 Ta có: AB = 
æ öæ ö+ + = + +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
22
2 2y 3x y x xy y
2 2
 AC = 
æ öæ ö+ + = + +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
22
2 2z 3x z x xz z
2 2
 BC = 
æ öæ ö- + + = +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
22
2 2y z 3 (y z) y yz+z
2 2 2
 Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 
 Þ + + + + ³ +2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 
 x3 + y3 + z3 ³ 3 3 3 33 x y z Þ 2(x3 + y3 + z3) ³ 6 
 x3 + 1 + 1 ³ 3 3 3x Þ x3 + 2 ³ 3x (1) 
 Tương tự: y3 + 1 + 1 ³ 3 33 y Þ y3 + 2 ³ 3y (2) 
 z3 + 1 + 1 ³ 3 3 3z Þ z3 + 2 ³ 3z (3) 
 Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) 
 · Cách 1: 
 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 
 + + ³
3
1 1 1 3
x y z xyz
 Từ đó: A ³ 3 3 xyz + 
3
3
xyz
 Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 < t £ 1
3
 Xét hàm số f(t) = 3t + 3
t
 với 0 < t £ 1
3
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 23 
 f¢(t) = 3 – 2
3
t
 = -
2
2
3(t 1)
t
 < 0, "t Î æ ùç úè û
10;
3
 Bảng biến thiên: 
1
3
 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3
 Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 
1
3
. 
 · Cách 2: 
 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û 
3
1
xyz
 ³ 3 
 x + ³1 2
9x 3
, y + ³1 2
9y 3
, z + ³1 2
9z 3
 Từ đó: A= æ ö æ öæ ö æ ö+ + + + + + + +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø è ø
1 1 1 8 1 1 1x y z
9x 9y 9z 9 x y z
³ 2 + 
3
8 3
9 xyz
³ 10 
 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3
.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 
1
3
4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) 
 Ta có: x + y = 5
4
 Û 4x + 4y – 5 = 0 
 A = +4 1
x 4y
 = + + -4 14x+ 4y 5
x 4y
 Þ A ³ 2 4.4x
x
 + 2 1 .4y
4y
 – 5 
 Þ A ³ 5 
 Dấu "=" xảy ra Û 
ì =ï
ï
ï =ï
í
ï
ï + =
ï
ï >î
4 4x
x
1 4y
4y
5x y
4
x,y 0
 Û 
=ì
ï
í
=ïî
x 1
1y
4
. Vậy Amin = 5. 
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 
 Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: 
 + < + =
+ + + + + +
a c a c 1
a b c c d a a c a c
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 28 
é ù
æ ö æ ö æ öê ú+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øê úë û
3 3 3
2 2 21 a b c 3
2 b c a 2
 Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: 
é ù
æ ö æ ö æ ö é ùê ú+ + + ³ + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ê úê úè ø è ø è ø ë ûê úë û
3 3 3
2 2 23 a b c 3 3 a b c 3
2 b c a 2 2 b c a 2
 Suy ra: æ ö æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a b c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 
 BĐT (*) Û - -+ £a b 1 b a 1 1
ab ab
 Û æ ö æ ö- + - £ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1 1 1 11 1 1
b b a a
 (1) 
 Theo BĐT Côsi ta có: 
æ ö+ -ç ÷æ ö è ø- £ =ç ÷
è ø
1 11
1 1 1b b1
b b 2 2
æ ö+ -ç ÷æ ö è ø- £ =ç ÷
è ø
1 11
1 1 1a a1
a a 2 2
 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. 
 Dấu “=” xảy ra Û 
ì = - =ïï
í
ï = - =
ïî
1 1 11
b b 2
1 1 11
a a 2
 Û a = b = 2. 
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) 
 Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. 
 Do đó theo BĐT Côsi ta có: 
 (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ - + - + -æ öç ÷
è ø
33 2a 3 2b 3 2c
3
 = 1 
 Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 
 Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 
 Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 
 Û 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 
 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 
 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. 
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 
 Từ giả thiết ta có: +a b
c c
 = 1 Þ 0 < a b,
c c
 +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2
3 3a b a b
c c c c
 = 1 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 25 
 + £ +c a c a
c a a c
3 3 3 3
 (3) 
 Mặt khác: + + = + +a b c a b c
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
 (4) 
 Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 
 æ ö æ ö+ + £ + + + +ç ÷ ç ÷
è ø è øa b c a b c
a b c 1 1 13 (a b c)
3 3 3 3 3 3
 Hay æ ö+ + £ + +ç ÷
è øa b c a b c
a b c 1 1 13
3 3 3 3 3 3
 (vì a + b + c = 1) 
 Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 1
3
. 
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 
 Do a2 + b2 + c2 = 1 nên = =
+ - -
2
2 2 2 2
a a a
b c 1 a a(1 a )
 (1) 
 Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤ 
æ ö+ - + - æ ö=ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
3 32 2 22a (1 a ) (1 a ) 2
3 3
 Þ a2.(1 – a2)2 ≤ 4
27
 Þ a(1 – a2) ≤ 2
3 3
 (2) 
 Từ (1), (2) suy ra: ³
+
2
2 2
a 3 3 a
2b c
 Do đó: + + ³ + + =
+ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3 3 3(a b c )
2 2b c c a a b
 Dấu “=” xảy ra Û 
ì = -
ïï = -í
ï
= -ïî
2 2
2 2
2 2
2a 1 a
2b 1 b
2c 1 c
 Û a = b = c = 1
3
. 
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 
 Ta có: 
ì + + =ï
í
+ + =ïî
2 2 2a b c 2
ab bc ca 1
 Û 
ì + - = -ï
í
+ + =ïî
2 2(a b) 2ab 2 c
c(a b) ab 1
 Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt 
+ =ì
í
=î
a b S
ab P
 (S2 – 4P ≥ 0) 
 Ta được hệ: 
ì - = -ï
í
ïî
2 2S 2P 2 c (1)
cS+P =1 (2)
 Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 26 
 S2 – 2(1 – cS) = 2 – c2 Û S2 + 2cS + c2 – 4 = 0 Û 
= - -é
ê = - +ë
S c 2
S c 2
 · Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1 
 BĐT: S2 – 4P ≥ 0 Û (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ 0 
 Û –3c2 – 4c ≥ 0 Û - £ £4 c 0
3
 (3) 
 · Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1 
 BĐT: S2 – 4P ≥ 0 Û (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0 
 Û –3c2 + 4c ≥ 0 Û £ £ 40 c
3
 (4) 
 Từ (3), (4) ta được: - £ £4 4c
3 3
 Tương tự ta chứng minh được: - £ £4 4a,b,c
3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 
 Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: 
 + ³
+
1 1 4
x y x y
 (1) 
 Dấu “=” xảy ra Û x = y. 
 Áp dụng (1) ta được: + ³ =
- - - + -
1 1 4 4
p a p b p a p b c
 + ³ =
- - - + -
1 1 4 4
p b p c p b p c a
 + ³ =
- - - + -
1 1 4 4
p c p a p c p a b
 Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: 
 æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷- - - è øè ø
1 1 1 1 1 12 4
p a p b p c a b c
 Û đpcm 
 Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. 
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có: 
 x3 + y2 ≥ 2 =3 2x y 2xy x Þ £ =
+3 2
2 x 2 x 1
xy2xy xx y
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 2 2
1 1,
x y
 ta có: 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 27 
æ ö
£ +ç ÷ç ÷
è ø
2 2
1 1 1 1
xy 2 x y
 Þ 
æ ö
£ +ç ÷ç ÷+ è ø
3 2 2 2
2 x 1 1 1
2x y x y
 Tương tự ta cũng có: 
æ ö
£ +ç ÷ç ÷+ è ø
3 2 2 2
2 y 1 1 1
2y z y z
; æ ö£ +ç ÷
+ è ø3 2 2 2
2 z 1 1 1
2z x z x
 Suy ra: + + £ + +
+ + +3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
 Dấu “=” xảy ra Û 
ì ì ì= = =ï ï ï
í í í
= = =ï ï ïî î î
3 2 3 2 3 2x y y z z xvaø vaø
x y y z z x
Û x = y = z = 1 
15. (ĐH PCCC khối A 2001) 
 Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = alog x là đồng biến 
và dương. 
 Do đó hàm số y = logxa = 
a
1
log x
 là nghịch biến. 
 Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta 
được: 
 VT= + + + + + + ++ + ³ + + =b c c a a b a b a b a b a blog a log b log c log a log b log c log abc 
 Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b 
 Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 
16. (ĐH