Tuyển tập đề thi đại học từ 2002 đến 2010 (kèm theo đáp án chính thức của Bộ GD)

áp án - thang điểm có 4 trang) 
Câu ý Nội dung Điểm
I 2,0 
 I.1 (1,0 điểm) 
 ( )12
332
−
−+−
=
x
xxy = ( )
1 1x 1
2 2 x 1
− + −
−
. 
 a) Tập xác định: { }R \ 1 . 
b) Sự biến thiên: 
 2
x(2 x)y '
2(x 1)
−
=
−
; y ' 0 x 0, x 2= ⇔ = = . 
0,25 
 yCĐ = y(2) = 
1
2
− , yCT = y(0) = 
3
2
. 
Đ−ờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. 
 Đ−ờng thẳng 1y x 1
2
= − + là tiệm cận xiên. 
0,25 
 Bảng biến thiên: 
 x −∞ 0 1 2 +∞ 
 y' − 0 + + 0 − 
 y +∞ +∞ 1
2
− 
 3
2
 −∞ −∞ 
0,25 
 c) Đồ thị: 
0,25 
VNMATH.COM
 2
 I.2 (1,0 điểm) 
 Ph−ơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đ−ờng thẳng y = m là : 
( ) mx
xx
=
−
−+−
12
332
 ⇔ ( ) 023322 =−+−+ mxmx (*). 
0,25
 Ph−ơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 
 0>∆ ⇔ 24m 4m 3 0− − > ⇔ 3m
2
> hoặc 
1m
2
< − (**) . 
0,25
 Với điều kiện (**), đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B có hoành 
độ x1 , x2 là nghiệm của ph−ơng trình (*). 
 AB = 1 ⇔ 121 =− xx ⇔ 
2
1 2x x 1− = ⇔ ( )1 2 2 1 2x x 4x x 1+ − = 
0,25
 ⇔ ( ) ( ) 123432 2 =−−− mm ⇔ 1 5m
2
±
= (thoả mãn (**)) 
0,25
II 2,0
 II.1 (1,0 điểm) 
 Điều kiện : x 4≥ . 0,25
 Bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với bất ph−ơng trình: 
2 22(x 16) x 3 7 x 2(x 16) 10 2x− + − > − ⇔ − > − 
0,25
 + Nếu x > 5 thì bất ph−ơng trình đ−ợc thoả mãn, vì vế trái d−ơng, vế phải âm. 0,25
 + Nếu 4 x 5≤ ≤ thì hai vế của bất ph−ơng trình không âm. Bình ph−ơng hai vế ta 
đ−ợc: ( ) ( )22 22 x 16 10 2x x 20x 66 0− > − ⇔ − + < 10 34 x 10 34⇔ − < < + . 
Kết hợp với điều kiện 4 x 5≤ ≤ ta có: 10 34 x 5− − 
0,25
 II.2 (1,0 điểm) 
 Điều kiện: y > x và y > 0. 
 ( ) 11loglog 4
4
1 =−− y
xy ⇔ ( ) 11loglog 44 =−−− yxy 
0,25
⇔ 4
y xlog 1
y
−
− = ⇔ 
4
3yx = . 
0,25
Thế vào ph−ơng trình x2 + y2 = 25 ta có: 
2
23y y 25 y 4.
4
⎛ ⎞
+ = ⇔ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,25
 So sánh với điều kiện , ta đ−ợc y = 4, suy ra x= 3 (thỏa mãn y > x). 
Vậy nghiệm của hệ ph−ơng trình là (3; 4). 
0,25
III 3,0
 III.1 (1,0 điểm) 
 + Đ−ờng thẳng qua O, vuông góc với BA( 3 ; 3)
JJJG
 có ph−ơng trình 3x 3y 0+ = . 
 Đ−ờng thẳng qua B, vuông góc với OA(0; 2)
JJJG
 có ph−ơng trình y = 1− 
( Đ−ờng thẳng qua A, vuông góc với BO( 3 ; 1)
JJJG
có ph−ơng trình 3x y 2 0+ − = ) 
0,25
 Giải hệ hai (trong ba) ph−ơng trình trên ta đ−ợc trực tâm H( 3 ; 1)− 0,25
 + Đ−ờng trung trực cạnh OA có ph−ơng trình y = 1. 
 Đ−ờng trung trực cạnh OB có ph−ơng trình 3x y 2 0+ + = . 
( Đ−ờng trung trực cạnh AB có ph−ơng trình 3x 3y 0+ = ). 
0,25
VNMATH.COM
 3
 Giải hệ hai (trong ba) ph−ơng trình trên ta đ−ợc tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác 
OAB là ( )I 3 ; 1− . 
0,25 
 III.2.a (1,0 điểm) 
 + Ta có: ( )C 2; 0; 0− , ( )D 0; 1; 0− , ( )2;0;1−M , 
 ( )22;0;2 −=SA , ( )BM 1; 1; 2= − −JJJJG . 
0,25
 Gọi α là góc giữa SA và BM. 
 Ta đ−ợc: ( ) SA.BM 3cos cos SA, BM 2SA . BMα = = =
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG ⇒ 30α = ° . 
0,25
 + Ta có: ( )SA, BM 2 2; 0; 2⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦JJJG JJJJG , ( )AB 2; 1; 0= −JJJG . 0,25
 Vậy: 
( ) SA, BM AB 2 6d SA, BM
3SA, BM
⎡ ⎤
⋅⎣ ⎦
= =⎡ ⎤⎣ ⎦
JJJG JJJJG JJJG
JJJG JJJJG
0,25
 III.2.b (1,0 điểm) 
Ta có MN // AB // CD ⇒ N là trung điểm SD ⇒ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
− 2;
2
1
;0N . 
0,25
 ( )SA 2; 0; 2 2= −JJJG , ( )2;0;1 −−=SM , ( )22;1;0 −=SB , 1SN 0; ; 22⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG
 ( )SA, SM 0; 4 2; 0⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦JJJG JJJG . 
0,25
S.ABM
1 2 2V SA,SM SB
6 3
⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦
JJJG JJJG JJG
0,25
S.AMN
1 2V SA,SM SN
6 3
⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦
JJJG JJJG JJJG
 ⇒ S.ABMN S.ABM S.AMNV V V 2= + = 
0,25
IV 2,0
 IV.1 (1,0 điểm) 
 2
1
xI dx
1 x 1
=
+ −∫ . Đặt: 1−= xt ⇒ 12 += tx ⇒ tdtdx 2= . 
 01 =⇒= tx , 12 =⇒= tx . 
0,25
VNMATH.COM
 4
Ta có: 
1 1 12 3
2
0 0 0
t 1 t t 2I 2t dt 2 dt 2 t t 2 dt
1 t 1 t t 1
+ + ⎛ ⎞
= = = − + −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 
0,25
I 
1
3 2
0
1 12 t t 2t 2 ln t 1
3 2
⎡ ⎤
= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
0,25
 1 1 11I 2 2 2ln 2 4ln 2
3 2 3
⎡ ⎤
= − + − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
0,25
 IV.2 (1, 0 điểm) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
8 2 3 42 0 1 2 2 4 3 6 4 8
8 8 8 8 8
5 6 7 85 10 6 12 7 14 8 16
8 8 8 8
 1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x
C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x
⎡ ⎤+ − = + − + − + − + −⎣ ⎦
+ − + − + − + −
0,25
Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. 0,25
 Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thứ t−, thứ năm, với hệ số t−ơng ứng là: 
 3 2 4 08 3 8 4C .C , C .C 
0,25
 Suy ra a8 168 70 238= + = . 0,25
V 1,0 
 Gọi 3cos22cos222cos −++= CBAM 
 3
2
cos
2
cos2221cos2 2 −
−
⋅
+
⋅+−=
CBCBA . 
0,25
Do 0
2
sin >
A
, 1
2
cos ≤− CB nên 2 AM 2cos A 4 2 sin 4
2
≤ + − . 
0,25
 Mặt khác tam giác ABC không tù nên 0cos ≥A , AA coscos2 ≤ . Suy ra: 
 4
2
sin24cos2 −+≤ AAM 4
2
sin24
2
sin212 2 −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
AA
 2
2
sin24
2
sin4 2 −+−=
AA
01
2
sin22
2
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−=
A
. Vậy 0≤M . 
0,25
Theo giả thiết: M = 0 ⇔ 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
=
2
1
2
sin
1
2
cos
coscos2
A
CB
AA
 ⇔
A 90
B C 45
= °⎧⎨
= = °⋅⎩ 
0,25 
VNMATH.COM
 1
Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm 
 ..................... đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 
 ........................................... 
 Đề chính thức Môn: Toán, Khối B 
 (Đáp án - thang điểm có 4 trang) 
Câu ý Nội dung Điểm
I 2,0 
 1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 
 3 2
1y x 2x 3x
3
= − + (1). 
 a) Tập xác định: R . 
b) Sự biến thiên: 
 y' = x2 − 4x + 3; 3,10' ==⇔= xxy . 
0,25 
 yCĐ = y(1) = 
4
3
, yCT = y(3) = 0; y" = 2x − 4, y'' = 0 ( ) 2x 2, y 2 3⇔ = = . Đồ thị 
hàm số lồi trên khoảng ( ; 2),−∞ lõm trên khoảng ( 2; + ∞ ) và có điểm uốn là 
2U 2;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
0,25 
 Bảng biến thiên: 
 x −∞ 1 3 +∞ 
 y' + 0 − 0 + 
 y 
4
3
 +∞ 
 −∞ 0 
0,25 
 c) Đồ thị: 
 Giao điểm của đồ thị với các trục 
 Ox, Oy là các điểm ( ) ( )0;0 , 3;0 . 
0,25 
VNMATH.COM
 2
 2 Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn, ...(1,0 điểm) 
Tại điểm uốn U
22;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 1)2(' −=y . 0,25
 Tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn của đồ thị (C) có ph−ơng trình: 
2 8y 1.(x 2) y x
3 3
= − − + ⇔ = − + . 
0,25
 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x bằng: 
 y'(x) = x2 34 +− x = 1)2( 2 −−x ≥ 1− ⇒ y' (x) ≥ y' (2), ∀ x. 0,25
 Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi x = 2 ( là hoành độ điểm uốn). 
Do đó tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 0,25
II 2,0 
 1 Giải ph−ơng trình (1,0 điểm) 
 5sinx 2− = 3 tg2x ( 1 sinx− ) (1) . 
 Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k ,k Z
2
π
+ π ∈ (*). 0,25
Khi đó (1) ⇔ 
2
2
3sin x5sin x 2 (1 sin x)
1 sin x
− = −
−
 02sin3sin2 2 =−+⇔ xx . 0,25
2
1
sin =⇔ x hoặc 2sin −=x (vô nghiệm). 
0,25
π+
π
=⇔= 2
62
1
sin kxx hoặc π+π= 2
6
5 kx , Zk∈ ( thoả mãn (*)). 
0,25
 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1,0 điểm) 
 y = 
2ln x
x
 ⇒ 2ln x(2 ln x)y ' x
−
= ⋅ 0,25
y'= 0 
3
2 3
ln x 0 x 1 [1; e ]
ln x 2 x e [1; e ].
⎡= = ∈⎡
⇔ ⇔ ⎢⎢
= = ∈⎢⎣ ⎣
 0.25
 Khi đó: y(1) = 0, 2 32 3
4 9y(e ) , y(e )
e e
= = ⋅ 
0,25
 So sánh 3 giá trị trên, ta có: 
33
2
2 [1; e ][1; e ]
4max y khi x e , min y 0 khi x 1
e
= = = = . 
 0,25
III 3,0 
 1 Tìm điểm C (1,0 điểm) 
 Ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB: 
4
1
3
1
−
−
=
− yx
 ⇔ 4x + 3y – 7 = 0. 0,25
 Giả sử );( yxC . Theo giả thiết ta có: 012 =−− yx (1). 
d(C, (AB)) = 6 
2 2
4x 3y 37 0 (2a)4x 3y 7
6
4x 3y 23 0 (2b).4 3
+ − =+ − ⎡
⇔ = ⇔ ⎢ + + =+ ⎣ 0,25
 Giải hệ (1), (2a) ta đ−ợc: C1( 7 ; 3). 0,25
 Giải hệ (1), (2b) ta đ−ợc: 2
43 27C ;
11 11
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25
 2 Tính góc và thể tích (1,0 điểm) 
VNMATH.COM
 3
 Gọi giao điểm của AC và BD là 
O thì SO (ABCD)⊥ , suy ra 
nSAO = ϕ . 
Gọi trung điểm của AB là M thì 
OM AB⊥ và ⇒⊥ ABSM Góc 
giữa hai mặt phẳng (SAB) và 
(ABCD) là nSMO . 
0,25
Tam giác OAB vuông cân tại O, nên ϕ=⇒== tgaSOaOAaOM
2
2
2
2
,
2
. 
Do đó: n SOtgSMO 2 tg
OM
= = ϕ . 
0,25
 2 3
S.ABCD ABCD
1 1 a 2 2V S .SO a tg a tg .
3 3 2 6
= = ϕ = ϕ 0,50
 3 Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ∆ (1,0 điểm) 
 Đ−ờng thẳng d có vectơ chỉ ph−ơng )4;1;2( −=v . 0,25
 B ∈ d ⇔ )41;1;23( tttB +−−+− (với một số thực t nào đó ). 
( )AB 1 2t;3 t; 5 4t⇒ = + − − +JJJG . 0,25
 AB ⊥ d ⇔ 0. =vAB 2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0⇔ + − − + − + = ⇔ t = 1. 0,25
AB (3; 2; 1)⇒ = −JJJG ⇒ Ph−ơng trình của 
1
4
2
2
3
4
:
−
−
=
+
=
+∆ zyx . 0,25
IV 2,0 
 1 Tính tích phân (1,0 điểm) 
dx
x
xxI
e
∫ +=
1
lnln31
. 
 Đặt: 2 dxt 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3
x
= + ⇒ = + ⇒ = . 
 x 1 t 1= ⇒ = , x e t 2= ⇒ = . 0,25
Ta có: ( )2 22 2 4 2
1 1
2 t 1 2I t dt t t dt
3 3 9
−
= = −∫ ∫ . 
0,25
2
5 3
1
2 1 1I t t
9 5 3
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25
 I = 
135
116
. 
0,25
VNMATH.COM
 4
 2 Xác định số đề kiểm tra lập đ−ợc ... (1,0 điểm) 
 Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các tr−ờng hợp sau: 
• Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 
 23625.. 15
2
10
2
15 =CCC . 0,25
 • Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là: 
 10500.. 25
1
10
2
15 =CCC . 0,25
 • Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 
 22750.. 15
1
10
3
15 =CCC . 0,25
 Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập đ−ợc là: 
 56875227501050023625 =++ . 0,25
V Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm 1,0
 Điều kiện: − 1 ≤ x ≤ 1. Đặt t 2 21 x 1 x= + − − . 
Ta có: 2 21 x 1 x t 0+ ≥ − ⇒ ≥ , t = 0 khi x = 0. 
 2 4t 2 2 1 x 2 t 2= − − ≤ ⇒ ≤ , t = 2 khi x = ± 1. 
 ⇒ Tập giá trị của t là [0; 2 ] ( t liên tục trên đoạn [ − 1; 1]). 0,25
Ph−ơng trình đã cho trở thành: m ( ) 2t 2 t t 2+ = − + + 
2t t 2 m
t 2
− + +
⇔ =
+
 (*) 
Xét f(t) =
2t t 2
t 2
− + +
+
 với 0 ≤ t ≤ 2 . Ta có f(t) liên tục trên đoạn [0; 2 ]. 
Ph−ơng trình đã cho có nghiệm x ⇔ Ph−ơng trình (*) có nghiệm t ∈ [0; 2 ] 
 ⇔ 
]2;0[]2;0[
)(max)(min tfmtf ≤≤ . 
0,25
Ta có: f '(t) = ( )
2
2
t 4t 0, t 0; 2
t 2
− − ⎡ ⎤≤ ∀ ∈ ⎣ ⎦+ ⇒ f(t) nghịch biến trên [0; 2 ]. 0,25
 Suy ra: 
[0; 2 ] [0; 2 ]
min f (t) f ( 2) 2 1 ; max f (t) f (0) 1= = − = = . 
Vậy giá trị của m cần tìm là 2 1 m 1− ≤ ≤ . 0,25
VNMATH.COM
 1
Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm 
 ..................... đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 
 ........................................... 
 Đề chính thức Môn: Toán, Khối D 
 (Đáp án - thang điểm có 4 trang) 
Câu ý Nội dung Điểm
I 2,0 
 1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 
 1962 23 ++−=⇒= xxxym . 
 a) Tập xác định: R . 
 b) Sự biến thiên: 
 2 2y ' 3x 12x 9 3(x 4x 3)= − + = − + ; y ' 0 x 1, x 3= ⇔ = = . 0,25 
 yCĐ = y(1) = 5 , yCT = y(3) =1. y'' = 6x 12− = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3. Đồ thị hàm 
số lồi trên khoảng ( ; 2),−∞ lõm trên khoảng );2( ∞+ và có điểm uốn là 
)3;2(U . 0,25 
 Bảng biến thiên: 
 x −∞ 1 3 + ∞ 
 y' + 0 − 0 + 
 y 5 + ∞ 
 −∞ 1 
 0,25 
 c) Đồ thị: 
 Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1). 
0,25 
 2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số ...(1,0 điểm) 
 y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1); y' = 3x2 − 6mx + 9; y'' = 6x − 6m . 
y"= 0 ⇔ x = m ⇒ y = − 2m3 + 9m + 1. 0,25 
 y" đổi dấu từ âm sang d−ơng khi đi qua x = m, nên điểm uốn của đồ thị hàm số 
(1) là I( m; − 2m3 + 9m +1). 0,25 
 I thuộc đ−ờng thẳng y = x + 1 ⇔ − 2m3 + 9m + 1 = m + 1 0,25 
 ⇔ 2m(4 − m2 ) = 0 ⇔ m = 0 hoặc 2±=m . 0,25 
VNMATH.COM
 2
II 2,0 
 1 Giải ph−ơng trình (1,0 điểm) 
 ( 2cosx −1) (2sinx + cosx) = sin2x − sinx 
⇔ ( 2cosx −1) (sinx + cosx) = 0. 0,25 
• 2cosx − 1= 0 ⇔ cosx =
1 x k2 , k
2 3
π
⇔ = ± + π ∈Z . 
0,25 
• sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x k , k
4
π
= − + π ∈Z . 
0,25 
 Vậy ph−ơng trình có nghiệm là: x k2
3
π
= ± + π và x k , k
4
π
= − + π ∈Z . 
0,25 
 2 Tìm m để hệ ph−ơng trình có nghiệm (1,0 điểm) 
Đặt: u = x , v y,u 0, v 0.= ≥ ≥ Hệ đã cho trở thành: 3 3
u v 1
u v 1 3m
+ =⎧⎨
+ = −⎩
 (*) 
0,25 
 u v 1
uv m
+ =⎧
⇔ ⎨
=⎩ ⇔ u, v là hai nghiệm của ph−ơng trình: t
2 
− t + m = 0 (**). 
0,25 
 Hệ đã cho có nghiệm (x; y) ⇔ Hệ (*) có nghiệm u ≥ 0, v ≥ 0 ⇔ Ph−ơng trình 
(**) có hai nghiệm t không âm. 0,25 
 ⇔ 
1 4m 0
1S 1 0 0 m .
4
P m 0
∆ = − ≥⎧⎪
= ≥ ⇔ ≤ ≤⎨⎪
= ≥⎩
0,25 
III 3,0 
 1 Tính toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC và tìm m... (1,0 điểm) 
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: 
 A B C A B CG G
x x x y y y mx 1; y
3 3 3
+ + + +
= = = = . Vậy G(1; 
m
3
). 
0,25 
 Tam giác ABC vuông góc tại G ⇔ GA.GB 0=
JJJG JJJG
. 0,25 
 m mGA( 2; ), GB(3; )
3 3
− − −
JJJG JJJG
. 
0,25 
GA.GB 0=
JJJG JJJG 2m6 0
9
⇔ − + = m 3 6⇔ = ± . 
0,25 
 2 Tính khoảng cách giữa B1C và AC1,... (1,0 điểm) 
 a) Từ giả thiết suy ra: 
1 1C (0; 1; b), B C (a; 1; b)= −
JJJJG
1 1AC ( a; 1; b), AB ( 2a;0; b)= − = −
JJJJG JJJJG
0,25 
VNMATH.COM
 3
( ) 1 1 11 1 2 2
1 1
B C, AC AB abd B C, AC
a bB C, AC
⎡ ⎤⎣ ⎦
= =⎡ ⎤ +⎣ ⎦
JJJJG JJJJG JJJJG
JJJJG JJJJG . 
0,25
 b) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 
1 1 2 2
ab ab 1 1 a bd(B C;AC ) ab 2
22ab 2 2a b
+
= ≤ = ≤ =
+
. 
0,25
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2. 
Vậy khoảng cách giữa B1C và AC1 lớn nhất bằng 2 khi a = b = 2. 0,25
 3 Viết ph−ơng trình mặt cầu (1,0 điểm) 
 I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm ⇔ I ∈ (P) và IA = IB = IC . 
Ta có: IA2 = (x − 2)2 + y2 + ( z − 1)2 
 ; IB2 = (x − 1)2 + y2 + z2 ; 
 IC2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + ( z − 1)2 . 0,25
 Suy ra hệ ph−ơng trình: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=−++
22
22
02
ICIB
IBIA
zyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=++
⇔
1
2
2
zy
zx
zyx
0,25
 .0;1 ===⇔ yzx 0,25
 ⇒== 1IAR Ph−ơng trình mặt cầu là ( x − 1)2 + y2 + ( z − 1)2 =1. 0,25
IV 2,0
 1 Tính tích phân (1,0 điểm) 
I = 
3
2
2
ln(x x)dx−∫ . Đặt 2 2
2x 1du dxu ln(x x)
x x
dv dx v x
−⎧⎧ == − ⎪⇒
−⎨ ⎨
=⎩ ⎪ =⎩
. 
0,25
 3 332
2
2 2
2x 1 1I x ln(x x) dx 3ln 6 2ln 2 2 dx
x 1 x 1
− ⎛ ⎞
= − − = − − +⎜ ⎟
− −⎝ ⎠∫ ∫ 0,25
 ( ) 3
2
3ln 6 2ln 2 2x ln x 1= − − + − . 0,25
 I = 3ln6 − 2ln2 − 2 − ln2 = 3ln3 − 2. 0,25
 2 Tìm số hạng không chứa x... (1, 0 điểm) 
Ta có: ( )7 k7 7 kk3 374 4
k 0
1 1x C x
x x
−
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 0,25
7 k k 28 7k7 7
k k3 4 12
7 7
k 0 k 0
C x x C x
− − −
= =
= =∑ ∑ . 
0,25
 Số hạng không chứa x là số hạng t−ơng ứng với k (k Z, 0 k 7)∈ ≤ ≤ thoả mãn: 
 40
12
728
=⇔=
− kk . 
0,25
 Số hạng không chứa x cần tìm là 47C 35= . 0,25
VNMATH.COM
 4
V Chứng minh ph−ơng trình có nghiệm duy nhất 1,0 
 x5 − x2 − 2x − 1 = 0 (1) . 
(1) ⇔ x5 = ( x + 1)2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ (x + 1) 2 ≥ 1 ⇒ x5 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1. 0,25 
 Với x ≥ 1: Xét hàm số 5 2f (x) x x 2x 1= − − − . Khi đó f(x) là hàm số liên tục 
với mọi x ≥ 1. 
Ta có: 
 f(1) = − 3 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( 1; 2). (2) 0,25 
 f '( x) = 4 4 4 45x 2x 2 (2x 2x) (2x 2) x− − = − + − + . 
 3 4 42x(x 1) 2(x 1) x 0, x 1= − + − + > ∀ ≥ . 0,25 
 Suy ra f(x) đồng biến trên [ 1; +∞) (3). 
Từ (1), (2), (3) suy ra ph−ơng trình đã cho có đúng một nghiệm. 0,25 
VNMATH.COM
 1
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
--------------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 
---------------------------------------- 
Mụn: TOÁN, Khối A 
(Đỏp ỏn – thang điểm gồm 4 trang) 
Cõu í Nội dung Điểm 
I 2,0 
I.1 1,0 
1 1 1m y x
4 4 x
= ⇒ = + . 
a) TXĐ: \\{0}. 
b) Sự biến thiờn: 
2
2 2
1 1 x 4y '
4 x 4x
−= − = , y ' 0 x 2, x 2.= ⇔ = − = 
0,25 
yCĐ ( ) ( )CTy 2 1, y y 2 1.= − = − = = 
Đường thẳng x 0= là tiệm cận đứng. 
Đường thẳng 
1y x
4
= là tiệm cận xiờn. 
0,25 
c) Bảng biến thiờn: 
 x − ∞ − 2 0 2 + ∞ 
 y’ + 0 − − 0 + 
 y 
 − 1 + ∞ + ∞ 
− ∞ − ∞ 1 
0,25 
d) Đồ thị 
0,25 
VNMATH.COM
 2
 I.2 1,0 
2
1y ' m , y ' 0
x
= − = cú nghiệm khi và chỉ khi m 0> . 
Nếu m 0> thỡ 1 21 1y ' 0 x , xm m= ⇔ = − = . 
0,25 
Xột dấu y ' 
x −∞ 1
m
− 0 1
m
 +∞ 
y ' + 0 − || − 0 + 
Hàm số luụn cú cực trị với mọi m 0.> 
0,25 
Điểm cực tiểu của ( )mC là 1M ;2 m .m
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Tiệm cận xiờn (d) : y mx mx y 0.= ⇔ − = 
( )
2 2
m 2 m md M,d .
m 1 m 1
−= =+ + 
0,25 
( ) 2
2
1 m 1d M;d m 2m 1 0 m 1.
2 2m 1
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =+ 
Kết luận: m 1= . 
0,25 
II. 2,0 
II.1 1,0 
Bất phương trỡnh: 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . ĐK: 
5x 1 0
x 1 0 x 2.
2x 4 0
− ≥⎧⎪ − ≥ ⇔ ≥⎨⎪ − ≥⎩
0,25 
Khi đú bất phương trỡnh đó cho tương đương với 
5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)− > − + − ⇔ − > − + − + − − 
0,25 
2 2x 2 (2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4⇔ + > − − ⇔ + + > − + 
 2x 10x 0 0 x 10.⇔ − < ⇔ < < 
0,25 
Kết hợp với điều kiện ta cú : 2 x 10≤ < là nghiệm của bất phương trỡnh đó cho. 0,25 
II.2 1,0 
Phương trỡnh đó cho tương đương với 
 ( ) ( )1 cos6x cos 2x 1 cos 2x 0+ − + = 
 cos6x cos 2x 1 0⇔ − = 
0,25 
 cos8x cos 4x 2 0⇔ + − = 
 22cos 4x cos 4x 3 0⇔ + − = 
0,25 
( )
=⎡⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
cos4x 1
3
cos4x loại .
2
 Vậy ( )π= ⇔ = ∈]cos4x 1 x k k .
2
0,5 
VNMATH.COM
 3
III. 3,0 
 III.1 1,0 
Vỡ ( )1A d A t; t .∈ ⇒ 
Vỡ A và C đối xứng nhau qua BD và B,D Ox∈ nờn ( )C t; t− . 
0,25 
Vỡ 2C d∈ nờn 2t t 1 0 t 1.− − = ⇔ = Vậy ( ) ( )A 1;1 , C 1; 1− . 
0,25 
Trung điểm của AC là ( )I 1;0 . Vỡ I là tõm của hỡnh vuụng nờn 
IB IA 1
ID IA 1
= =⎧⎨ = =⎩ 
0,25 
b 1 1B Ox B(b;0) b 0,b 2
D Ox D(d;0) d 0,d 2d 1 1
⎧ − =∈ = =⎧⎧ ⎧ ⎪⇔ ⇒ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨∈ = =− =⎩ ⎩ ⎩⎪⎩
Suy ra, ( )B 0;0 và ( )D 2;0 hoặc ( )B 2;0 và ( )D 0;0 . 
Vậy bốn đỉnh của hỡnh vuụng là ( ) ( ) ( ) ( )A 1;1 , B 0;0 , C 1; 1 , D 2;0 ,− 
hoặc ( ) ( ) ( ) ( )A 1;1 , B 2;0 , C 1; 1 , D 0;0 .− 
0,25 
III.2a 1,0 
Phương trỡnh của tham số của 
x 1 t
d : y 3 2t
z 3 t.
= −⎧⎪ = − +⎨⎪ = +⎩
0,25 
( )I d I 1 t; 3 2t;3 t∈ ⇒ − − + + , ( )( ) 2t 2d I, P .
3
− += 0,25 
( )( ) t 4d I, P 2 1 t 3 t 2.=⎡= ⇔ − = ⇔ ⎢ = −⎣ 
0,25 
Vậy cú hai điểm ( ) ( )1 2I 3;5;7 , I 3; 7;1− − . 0,25 
III.2b 1,0 
Vỡ A d∈ nờn ( )A 1 t; 3 2t;3 t− − + + . 
Ta cú ( )A P∈ ⇔ ( ) ( ) ( )2 1 t 3 2t 2 3 t 9 0 t 1− + − + − + + = ⇔ = . 
Vậy ( )A 0; 1;4− . 
0,25 
Mặt phẳng ( )P cú vectơ phỏp tuyến ( )n 2;1; 2 .= −G 
Đường thẳng d cú vectơ chỉ phương ( )u 1;2;1= −G . 
Vỡ ( )P∆ ⊂ và d∆ ⊥ nờn ∆ cú vectơ chỉ phương ( )u n,u 5;0;5∆ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦
JJG G G
. 
0,5 
Phương trỡnh tham số của ∆ : 
x t
y 1
z 4 t.
=⎧⎪ = −⎨⎪ = +⎩
0,25 
VNMATH.COM
 4
IV 2,0 
IV.1 1,0 
2
0
(2cos x 1)sin xI dx
1 3cos x
π
+= +∫ . 
0,25 
Đặt 
2t 1cos x
3t 1 3cos x
3sin xdt dx.
2 1 3cos x
⎧ −=⎪⎪= + ⇒ ⎨⎪ = −⎪ +⎩
x 0 t 2, x t 1.
2
π= ⇒ = = ⇒ = 
0,25 
( )1 22 2
2 1
t 1 2 2I 2 1 dt 2t 1 dt.
3 3 9
⎛ ⎞− ⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ 
0,25 
23
1
2 2t 2 16 2 34t 2 1 .
9 3 9 3 3 27
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ 
0,25 
IV.2 1,0 
Ta cú ( )2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x+ + ++ + + + ++ = + + + + + x .∀ ∈\ 0,25 
Đạo hàm hai vế ta cú 
( )( ) ( )2n 1 2 3 2 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n 1 1 x C 2C x 3C x ... 2n 1 C x++ + + ++ + = + + + + + x .∀ ∈\ 
0,25 
Thay x 2= − ta cú: ( )1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 .2 C 2n 1.++ + + + +− + − + + + = + 
0,25 
Theo giả thiết ta cú 2n 1 2005 n 1002+ = ⇒ = . 0,25 
V 1,0 
Với a,b 0> ta cú : 2 1 a b 1 1 1 14ab (a b) .
a b 4ab a b 4 a b
+ ⎛ ⎞≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ 
Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b= . 
0,25 
Áp dụng kết quả trờn ta cú: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1).
2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ≤ + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Tương tự 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2).
x 2y z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2z 2x
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞≤ + ≤ + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3).
x y 2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ≤ + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
0,5 
Vậy 
1 1 1 1 1 1 1 1.
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
⎛ ⎞+ + ≤ + + =⎜ ⎟+ + + + + + ⎝ ⎠ 
Ta thấy trong cỏc bất đẳng thức (1), (2), (3) thỡ dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 
x y z.= = Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3x y z .
4
= = = 
0,25 
-------------------------------Hết------------------------------- 
VNMATH.COM
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
--------------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 
---------------