Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao môn Toán

 đó P là chu vi ∆A /B /C / . 
c) Chứng minh hệ thức : 
S
SCBA
/
222 1coscoscos −=++ 
Bài 4 : (2 điểm) 
Xét những số đ−ợc tạo bởi bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với (2n + 1) chữ số 1 
có dạng nh− sau : 
10101 ; 1010101 ; . . . . . . . ; 1010...101 ; . . . . (n là số nguyên d−ơng) 
Chứng minh rằng các số trên đều là hợp số. 
Bài 5 : (2 điểm) 
Cho hình vuông cạnh n (n là số nguyên lớn hơn 1) đ−ợc chia thành nìn ô vuông 
nhỏ. Trong mỗi ô nhỏ này chỉ ghi một trong ba số : 1 ; 0 ; -1 . Hình vuông nh− thế 
đ−ợc gọi là “ bảng số vuông cạnh n” 
a) Hty lập một bảng số vuông cạnh 6 sao cho tổng các số ghi trong bảng theo 
mọi hàng , cột đều khác nhau. 
b) Có hay không bảng số vuông cạnh n nào đó mà tổng các số ghi trong bảng 
theo mọi hàng, cột và theo 2 đ−ờng chéo đều khác nhau ? 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 22
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1998 -1999 
* Môn Toán * Ngày thi 8/6/1998 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2 điểm) 
Cho biểu thức : 








+
+
−
−
+
−








+
−
+
+
+
+
=
1
1
1
1:1
11
1
xy
x
xy
xxy
xy
xxy
xy
xP 
a) Rút gọn P. 
b) Cho 611 =+
yx
, t ìm giá trị lớn nhất của P. 
Bài 2 : ( 3 điểm) 
Cho ph−ơng trình : (x + 1)4 – (m - 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0 (*) 
a) Giải ph−ơng trình (*) với m = - 1. 
b) Chứng tỏ rằng ph−ơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi 
giá trị của tham số m. 
c) Tìm các giá trị của m để x 1 + x2 = 2 
Bài 3 : ( 4 điểm ) 
Cho đ−ờng tròn (O; R) , đ−ờng kính AB; kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy 
một điểm P ( AP > R) . Từ P kẻ tia PM tiếp súc với đ−ờng tròn (O ) tại 
M. 
a) Tứ giác OBPM là hình gì ? tại sao ? 
b) Cho 3RAP = , chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên 
(O;R). 
c) Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H 
của tam giác PAM chạy trên một cung tròn cố định. 
d) Dựng hình chữ nhật PAON, chứng minh B, M, N thẳng hàng. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 23
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1998 -1999 
* Môn Toán - tin * Ngày thi 9 /6/1998 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2 điểm) 
Cho ph−ơng trình x 3 – 2mx 2 + (m2 + 1)x –m = 0 (*) với m là tham số 
Tìm các giá trị của m để mọi nghiệm của (*) đều thuộc khoảng (-1; 1) 
Bài 2 : (2 điểm) 
Chứng minh bất đẳng thức : 
2>
++
+
++
+
++ dab
c
dca
b
dcb
a
Bài 3 : (3 điểm) 
Xét hình thang ABCD vuông góc tại A và D(AB < DC) có M là trung điểm của AD. 
Các đỉnh A, D, C cố định; độ dài đáy nhỏ AB thay đổi. 
1. Cho DC = 2.AD, chứng minh chu vi ∆MBC nhỏ nhất khi hình thang ABCD 
ngoại tiếp một đ−ờng tròn. 
2. Kẻ tia AA / vuông góc với MB tại A / và tia DD / vuông góc với MC tại D / , hai 
tia này cắt nhau ở K. Tia MK cắt đ−ờng thẳng BC tại I, tìm quĩ tích của 
điểm I. 
Bài 4 : (1,5 điểm). 
Từ dty số 1, 2, 3, 4, ......., 1998 chọn ra 1000 số tuỳ ý. Chứng minh rằng 
trong 1000 số đ−ợc chọn có ít nhất hai số sao cho số này là bội của số 
kia. 
Bài 5 ; (1,5 điểm) 
Xét một l−ới nìk ô vuông với các nút đ−ợc kí hiệu theo chỉ số cột và theo chỉ số 
hàng (xem hình vẽ). Một dty các cạnh ô vuông liên 
tiếp (theo chiều sang phải hoặc lên trên) nối liến nút 
(0;0) với nút (n;k)đ−ợng gọi là một đ−ờng đi của l−ới. 
1. Tìm tất cả các đ−ờng đi của l−ới 2ì2. 
2. Hỏi có bao nhiêu đ−ờng đi của l−ới nìk với n > k 
(n;0)
(n;k)(0;k)
(0;0)
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 24
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1999 -2000 
* Môn Toán * Ngày thi 17/6/1999 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(3 điểm) 
Cho biểu thức : 






+
−







+−
+
+
−
+
+
−
+
=
1
11:
65
2
3
2
2
3
xxx
x
x
x
x
xP 
1. Rút gọn P. 
2. Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0. 
3. Với giá trị nào của x thì biểu thức 
P
1
 đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 2 :(3 điểm) 
Cho ph−ơng trình : x2 – mx + m2 – 5 = 0 (m là tham số) 
1. Giải ph−ơng trình với 21+=m 
2. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu. 
3. Với những giá trị của m mà ph−ơng trình có nghiệm, hty t ính tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó. 
Bài 3:(4 điểm) 
Cho ∆ABC có góc A tù, đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB cắt đ−ờng tròn 
(O /) đ−ờng kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đ−ờng thẳng (d) quay 
quanh A cắt đ−ờng tròn (O) và đ−ờng tròn (O /) lần l−ợt tại M và N sao 
cho A nằm giữa M và N. 
1. Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang 
vuông. 
2. Chứng minh tỷ số 
HN
HM không đổi. 
3. Gọi I là trung điểm của MN , K là trung điểm của BC. Chứng minh 
4 điểm A, H, K, I thuộc một đ−ờng tròn và I di chuyển trên một 
cung tròn cố định. 
4. Xác định vị trí trí của đ−ờng thẳng (d) để diện tích ∆HMN lớn nhất. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 25
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1999 -2000 
Môn Toán Ngày thi 18/6/1999 Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 1999199924 =++ xx 
Bài 2 :( 2 điểm) 
Tìm tham số m để hai bất ph−ơng trình sau không có nghiệm chung : 
 mx + 1 > 4m (1) ; x2 – 9 < 0 (2) 
Bài 3 : ( 3 điểm) 
∆ABC có trực tâm H, tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp là O, bán kính đ−ờng tròn nội tiếp 
là r. Gọi d a , d b , d c lần l−ợt là khoảng cách từ O tới 3 cạnh BC, CA, AB. 
a) Chứng minh HA + HB + HC = 2(d a + d b + d c ). 
b) Giả sử ABC nhọn, Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*) 
c) Bất đẳng thức ( * ) còn đúng không khi ∆ABC có góc A tù không , vì sao ? 
Bài 4 : ( 1,5 điểm) 
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau : 
Biết rằng T = 2E và chữ cái khác nhau ứng với chữ số khác nhau. 
Bài 5 : (1,5 điểm) 
Ng−ời ta kẻ n đ−ờng thẳng sao cho không có 2 đ−ờng nào song song và 3 
đ−ờng nào đồng quy để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi Sn là số 
miền con có đ−ợc từ n đ−ờng thẳng đó. 
a) Tìm S3 ; S4 . 
b) Chứng minh Sn = Sn-1 + n 
c) Chứng minh Sn =
2
22 ++nn 
BIT 
8 
BYTE 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 26
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học 2000 -2001 
Môn Toán Ngày thi 15/6/2000 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (3 điểm) 
Cho biểu thức : 
xx
xx
xx
xx
x
xP
+
+
−
−
−
+
+
=
1122 
1. Rút gọn P. 
2. So sánh P với 5. 
3. Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức 
P
8 chỉ nhận 
đúng một giá trị nguyên 
Bài 2 : (3 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho : 
 Đ−ờng thẳng (d) : y = mx +1 và Parabol (P): y =x2 
1. Vẽ Parabol (P) và đ−ờng thẳng (d) khi m = 1. 
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đ−ờng thẳng (d) luôn đi qua 
một điểm cố định và luông cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 
3. Tìm giá trị của tham số m để diện tích ∆OAB bằng 2 (đơn vị diện tích). 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ 
các tia Ax, By vuông góc với AB. Một đ−ờng thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M , 
cắt By ở N sao cho luôn có : AM.BN = a2 . 
1. Chứng minh ∆AOM ∼ ∆BNO và góc MON vuông. 
2. Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đ−ờng thẳng (d) 
luôn tiếp xúc với một nửa đ−ờng tròn cố định tại H. 
3. Chứng minh rằng tâm tâm I của đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆MON chạy trên 
một tia cố định. 
4. Tìm vị trí của đ−ờng thẳng (d) sao cho chu vi ∆AHB đạt giá trị lớn nhất, 
tính giá trị lớn nhất đó theo a. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 27
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học 2000 -2001 
Môn Toán Ngày thi 16/6/2000 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : ( 2 điểm) 
Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số y = x2 + x + 16 + x 2 + x - 6 đạt giá 
trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. 
Bài 2 : (2 điểm) 
Tìm k để ph−ơng trình: (x 2 + 2)[x2 – 2x(2k - 1)+ 5k 2 – 6k + 3] = 2x + 1 
Bài 3 : (3 điểm) 
Cho góc nhọn xOy và điểm C cố định thuộc tia Ox. Điểm A di chuyển 
trên tia Ox phía ngoài đoạn OC; điểm B di chuyển trên tia Oy sao cho 
luôn có CA = OB. 
Tìm quỹ tích tâm I của đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆OAB 
Bài 4 : (2 điểm) 
Tìm các chữ số a, b, c biết rằng cbaabc )( += 
Bài 5 : (1 điểm) 
Một lớp học có số học sinh đạt loại Giỏi ở mỗi môn học (trong 11 môn) 
đều v−ợt quá 50%. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh đ−ợc xếp loại 
Giỏi từ 2 môn trở lên. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 28
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2001 -2002 
Môn Toán Ngày thi 21/6/2001 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 








+
−







−
+
−
−
+
−
+−
+
=
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
xP 
1. Rút gọn P. 
2. Tìm x để 
2
51
−≤
P
Bài 2 : (3 điểm) 
Cho ph−ơng trình : 2232 mxmx −−=− (1) 
1. Tìm tham số m để ph−ơng trình có nghiệm duy nhất , tính nghiệm đó với 
12 +=m 
2. Tìm các giá trị của m để ph−ơng trình (1) nhận 625 −=x là nghiệm. 
3. Gọi m1 , m2 là hai nghiệm của ph−ơng trình (1) (ẩn m). Tìm x để m1 , m2 là 
số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 
224 − 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho hai đ−ờng tròn (O), bán kính R và đ−ờng tròn (O /) bán kính 
2
R
 t iếp xúc ngoài 
tại A. Trên đ−ờng tròn (O) lấy B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. tia 
AM cắt đ−ờng tròn (O /) tại điểm thứ hai là N. Qua N kẻ đ−ờng thẳng song song với 
AB cắt đ−ờng thẳng MB tại Q và cắt đ−ờng tròn (O /) tại P. 
1. Chứng minh ∆OAM ∼∆O /AN. 
2. Chứng minh độ dài NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
3. Tứ giác ABQP là hình gì ? tại sao ? 
4. Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, t ính 
giá trị lớn nhất đó theo R. 
Bài 4 : (1 điểm) Cho biểu thức : A = - x2 – y 2 + xy + 2x + 2y 
Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 29
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng THPT Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2001 -2002 
Môn Toán Ngày thi 21/6/2001 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (2 điểm) 
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng : 
dcbadcba +++
≥+++ 6416411 
Khi nào xảy ra dấu đẳng thức ? 
Tổng quát hoá và chứng minh bài toán với n số d−ơng x i ( i = 1,n ; n ∈ N ; n≥1) 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho ph−ơng trình : ( )231 46 +=+ xxm 
1. giải ph−ơng trình với m = 10. 
2. Tìm m để ph−ơng trình có đúng hai nghiệm. 
Bài 3 : (3 điểm) 
Cho đ−ờng tròn (O;R) , một dây cố định AB < 2R, điểm C di động trên 
cung lớn AB sao cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Các đ−ờng cao AA / ; BB / ; 
CC / của ∆ABC đồng quy tại H. Gọi I và M lần l−ợt là trung điểm của CH 
và AB. 
1. Chứng minh điểm I chạy trên một cung tròn cố định và đ−ờng thẳng 
MI là trung trực của A /B /. 
2. Hai phân giác đ−ờng phân giác trong góc CAH và góc CBH cắt 
nhau tại K. Tính độ dài IK theo R và a. 
Bài 4 : (2 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi k ∈ N ta luôn tìm đ−ợc n∈ N sao cho : 
k
k nn 



 +=++ 200212001 
Bài 5 : (1 điểm) 
Cho 5 đ−ờng tròn trong đó mỗi bộ 4 đ−ờng tròn đều có một điểm chung. 
Chứng minh rằng 5 đ−ờng tròn cùng đi qua một điểm . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 30
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2002 -2003 
Môn Toán Ngày thi 21/6/2002 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (3 điểm) 
Cho biểu thức 
1
1
1
2
1
1
++
+
−
−
+
−
−
+
=
xx
x
xx
x
x
xP 
1. Rút gọn P. 
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x
P
Q += 2 
Bài 2 : (3 điểm) 
Cho hệ ph−ơng trình hai ẩn x ; y với m là tham số 



=+−
=−
)2()2(
)1(2
myxm
ymx 
1. Giải hệ với 3−=m 
2. Trong mặt phẳng toạ độ xOy xét hai đ−ờng thẳng có ph−ơng trình là (1) và 
(2). 
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đ−ờng thẳng (1) đi qua điểm 
cố định B và đ−ờng thẳng (2) đi qua điểm cố định C. 
b. Tìm m để giao điểm A của hai đ−ờng thẳng thoả mtn điều kiện góc 
BAC vuông. Tính diện tích tam giác ABC ứng với giá trị đó của m. 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho nửa đ−ờng tròn tâm O, đ−ờng kính BC và một điểm A trên nửa đ−ờng tròn (A 
khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC 
chứa A, dựng hai nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính HB, HC, chúng lần l−ợt cắt AB và AC 
tại E và F. 
1. Chứng minh AE.AB = AF.AC 
2. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính HB 
và HC. 
3. Gọi I và K lần l−ợt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh 
ba điểm I, A, K thẳng hàng. 
4. Đ−ờng thẳng IK cắt t iếp tuyến kẻ từ B của nửa đ−ờng tròn ( O ) tại M. Chứng 
minh MC, AH, EF đồng quy. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 31
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2002 -2003 
Môn Toán Ngày thi 22/6/2002 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (2 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
x
x
x
xA 2002
2
2001 −
+
+
−
=
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho đa thức Po(x) = x
3 + 22x 2 – 6x + 15 
 Với n ∈ Z+ ta có Pn(x) = P n -1(x-n) 
Tính hệ số của x trong P21(x) 
Bài 3 : (3 điểm) 
Cho ∆ABC , trực tâm H. Lấy K đối xứng với H qua BC. 
1. Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp đ−ờng tròn (O). 
2. Cho M là một điểm di chuyển trên cung nhỏ AC của đ−ờng tròn 
(O). Chứng minh trung điểm I của KM chạy trên cung tròn cố định. 
3. Gọi E và F lần l−ợt là hình chiếu vuông góc của M trên các đ−ờng 
thẳng AB và AC. Chứng minh đ−ờng thẳng EF đi qua trung điểm 
của đoạn HM. 
Bài 4 : (1,5 điểm) 
Trong tập N* xét các số P = 1.2.3. .. . .(n-1)n và S = 1 + 2 + 3 +... .+ (n- 1) + n 
Hty tìm các số n ( n ≥ 3) sao cho P chia hết cho S. 
Bài 5 : (1,5 điểm) 
Trên một đ−ờng tròn cho sẵn 2000 điểm phân biệt. Ng−ời ta gán số 1 vào 
một điểm, từ điểm đó theo chiều kim đồng hồ ta đếm tiếp hai điểm nữa 
và gán số 2 vào điểm thứ hai, lại đếm tiếp ba điểm và gán số 3 vào điểm 
thứ ba..... cứ nh− vậy đến điểm đ−ợc gán số 2003. Trong 2000 điểm đt 
cho , có những điểm đ−ợc gán số nhiều lần và những điểm không đ−ợc 
gán số, hty tìm số tự nhiên nhỏ nhất đ−ợc gán cùng vị trí với số 2003. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 32
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2003 -2004 
Môn Toán Ngày thi 20/6/2003 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (3 điểm) 
Cho biểu thức 
( )
1
122
1
2
−
−
+
+
−
++
−
=
x
x
x
xx
xx
xxP 
1. Rút gọn P 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 
3. Tìm x để biểu thức 
P
xQ 2= nhận giá trị là số nguyên. 
Bài 2 : (3 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol ( P) : y= -x 2 và đ−ờng thẳng (d) đi qua 
điểm I (0; -1) có hệ số góc k. 
1. Viết ph−ơng trình của đ−ờng thẳng ( d) . Chứng minh với mọi giá trị của k, 
(d ) luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. 
2. Gọi hoành độ của A và B là x1 và x 2 , chứng minh  x 1 - x 2 ≥ 2 
3. Chứng minh ∆ABO vuông. 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ 
AB dựng nửa đ−ờng tròn (O ) đ−ờng kính AB và nửa đ−ờng tròn (O /) 
đ−ờng kính AO. Trên (O /) lấy M ( Khác A và O), tia OM cắt (O) tại C, 
gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O /). 
1. Chứng minh ∆ADM cân. 
2. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OD tại E, xác định vị trí t−ơng đối của 
đ−ờng thẳng EA đối với (O) và (O /). 
3. Đ−ờng thẳng AM cắt OD tại H, đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆COH cắt 
(O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, M và N thẳng 
hàng. 
4. Tại vị trí của M sao cho ME // AB, hty tính độ dài đoạn thẳng OM 
theo a. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 33
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2003 -2004 
Môn Toán Ngày thi 21/6/2003 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Cho hai số tự nhiên a và b , chứng minh rằng nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b 
chia hết cho 3 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho ph−ơng trình : m
xx
=





+
+





22
1
11 
1. Giải ph−ơng trình với m = 15. 
2. Tìm m để ph−ơng trình có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Cho x, y là các số nguyên d−ơng thoả mtn: x + y = 2003 
Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức : P = x(x 2 + y) + y(y 2 + x) 
Bài 4 : (3 điểm) 
Cho đ−ờng tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC ( A 
không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung).Gọi H là hình chiếu của A trên 
BC, E và F lần l−ợt là hình chiếu cuae B và C trên đ−ờng kính AA / . 
1. Chứng minh HE vuông góc với AC. 
2. Chứng minh ∆HEF đồng dạng với ∆ABC. 
3. Khi A di chuyển , chứng minh tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định. 
Bài 5 : (1,5 điểm) 
 Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta đ−ợc 8 
điểm , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 
1, chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đt cho 
có diện tích không v−ợt quá 
10
1 . 
Tổng quát hoá bài toán cho n giác lồi với n điểm nằm ở miền trong của 
đa gác đó. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 34
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `2004 -2005 
Môn Toán Ngày thi 18/6/2004 Thời gian 150 phút 
Bài 1 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
2
22
1
1
1
1
1








−⋅







−
+
−
+
−
=
x
xx
x
x
xP 
1. Rút gọn P. 
2. Tìm x để 2>
x
P 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho ph−ơng trình : x2 – (m - 2)x – m2 + 3m – 4 = 0 ( m là tham số) 
1. Chứng minh ph−ơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 
2. Tìm m để tỷ số giữa hai nghiệm của ph−ơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Trên mặt phẳng toạ độ cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình : 
2kx + (k - 1)y = 2 ( k là tham số) 
1. Với giá trị nào của k thì đ−ờng thẳng (d) song song với đ−ờng 
thẳng y =x. 3 ? Khi đó hty tính góc tạo bởi (d) với tia Ox. 
2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đ−ờng thẳng (d) là lớn 
nhất. 
Bài 4 : (4 điểm) 
Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B), điểm M 
bất kì trên cạnh Oy. Đ−ờng tròn (T) đ−ờng kính AB cắt tia MA, MB lần l−ợt tại 
điểm thứ hai là C, E. Tia OE cắt đ−ờng tròn (T) tại điểm thứ hai là F. 
1. Chứng minh 4 điểm O. A, E, M nằm trên một đ−ờng tròn, xác định tâm của 
đ−ờng tròn đó. 
2. Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ? 
3. Chứng minh hệ thức : OE.OF+ BE.BM = OB2 . 
4. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OCFM là hình bình hành, t