Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 100

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
Trường THPT Phan Châu Trinh
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011-LẦN 2
Môn thi: TOÁN – Khối A&B
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
1
xy
x
  .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến   của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C)
đến   đạt giá trị lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình  2 2cos 24sin sin 2 1 sin
2 1 cot
x x
x x
x
   .
2. Giải hệ phương trình
 
3 2
2 1 1
7
x y x y
x y
      
.
Câu III (2,0 điểm)
1. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
1
, 0
sin cos
y y
x x
  và hai đường thẳng
4
x
 ,
3
x
 .
Tính diện tích của hình phẳng đó.
 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x        , với mọi số thực
x, y, z thỏa mãn điều kiện 1x y z   .
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, có 4AB AC a  ,  0120BAC  và hình chiếu vuông góc
của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Góc giữa cạnh bên
với đáy là 030 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’và khoảng cách giữa AA’ với BC.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z i , biết     2z i z i iz   ( i là đơn vị ảo ).
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M ở trên elip   2 2: 5 9 45 0E x y   và tích các khoảng cách từ M
 đến hai tiêu điểm của (E) bằng 65
9
. Hãy tìm tọa độ điểm M, biết điểm M ở góc phần tư thứ hai.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm  5;3; 1A  . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox sao
 cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết  22 31 2i zi iz z
    ( i là đơn vị ảo ).
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip   2 2: 4 1E x y  . Tính tâm sai của (E) và viết phương trình chính
tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E).
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm  5;3; 1A  . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và song
 song với trục Ox, biết khoảng cách giữa Ox và (P) bằng 1.
-----Hết-----
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ............................................................. Số báo danh:.....................................................
Chữ ký của giám thị 1: .............................................................. Chữ ký của giám thị 2: ..........................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011-LẦN 2
Môn thi: TOÁN – Khối A&B
ĐÁP ÁN
Câu-Ý Nội dung Điểm
Câu I
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 3
1
xy
x
  .
2. Viết phương trình tiếp tuyến   của đồ thị (C) để khoảng cách từ tâm đối xứng
của (C) đến d đạt giá trị lớn nhất.
2,0 đ
Tập xác định:  \ 1D R .
Sự biến thiên: Giới hạn và tiệm cận: lim 2; lim 2 2
x x
y y y     là tiệm cận ngang;
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x       là tiệm cận đứng.
0,25
 BBT:  2
1
' 0,
1
y x D
x
    . Lập BBT
KL: Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 và  1; .
0,25
Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại 3 ;0
2
    và Oy tại  0;3 . 0,25
Ý.1
(1,0 đ)
Vẽ đồ thị đối xứng qua  1;2I . 0,25
Ta có:  1;2I là tâm đối xứng của (C). Phương trình tiếp tuyến   của (C) tại
   0 0;M x y C là      02 00
1 1
: 2
11
y x x
xx
      .
0,25
Hay    2 20 0 0: 1 2 6 3 0x x y x x       . 0,25
Khoảng cách tứ I đến   là    
0 0
4 2
0 0
2 1 2 1
2
1 1 2 1
x x
d
x x
   
  
. 0,25
Ý.2
(1,0 đ)
Dấu bằng xãy ra khi 0 0 01 1 0; 2x x x     .
Kết luận:   : 3y x   hoặc   : 1y x   . 0,25
Câu II
1. Giải phương trình  2 2cos 24sin sin 2 1 sin
2 1 cot
x x
x x
x
   .
2. Giải hệ phương trình  
3 2
2 1 1
7
x y x y
x y
      
.
2,0 đ
Điều kiện: sin 0;cot 1x x  . Ta có: 22cos 2 sin 2 2sin
1 cot
x
x x
x
   . 0,25
Và  24sin sin 2 1 cos sin 2sin sin 2
2
x
x x x x x   
Do đó: PT  22sin 2 2 sin 2 0x x      sin 1x   hoặc 2sin 2x  .
0,25Ý.1
(1,0 đ)
sin 1 2
2
x x k       , 2sin 2
2 4
x x k     hoặc 3 2
4
x k   . 0,25
Kết hợp nghiệm, vậy nghiệm PT là 2
2
x k    hoặc  3 2
4
x k k Z    . 0,25
Điều kiện:  1 0x y   . Mà 3 27 0 0x y x     . 0,25
Do đó: PT đầu  2 1 1 0x y x y      . 0,25
Chia hai vế cho x, ta được:
1 1 2 0y y
x x
    1 1y
x
  (th) hoặc 1 2y
x
   (loại) 0,25
Ý.2
(1,0 đ)
Suy ra: 1y x  thế vào PT sau, ta có: 3 2 2 8 0 2x x x x      .
Kết luận: nghiệm hệ PT là: 2; 1x y  . 0,25
Câu III
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3
1
, ,
sin cos 4
y Ox x
x x
  và
3
x
 .
2. Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x        .
2,0 đ
Ta có:
3 3
3 3
4 4
1 1
sin cos sin cos
S dx dx
x x x x
 
 
   vì sin 0,cos 04 3x x x      . 0,25
Hay
3
2
4
2
sin 2 cos
S dx
x x


  . Đặt 2tan cosdxt x dt x   và 22sin 2 1 tx t  .
Đổi cận 1; 3
4 3
x t x t
      
0,25
Do đó:
33 32 2
1 1 1
1 1 ln
2
t tS dt t dt t
t t
          . 0,25
Ý.1
(1,0 đ)
Kết luận:  1 3 1 ln 3 1 ln 3
2
S      . 0,25
Ta có:      2 2 22 24 4 4 3 3x xy y x y x y x y       
Suy ra:  2 2 3 3
2 2
x xy y x y x y      .
0,25
Tương tự:  2 2 3
2
y yz z y z    và  2 2 3
2
z zx x z x    . 0,25
Suy ra:  2 2 2 2 2 2 3 3x xy y y yz z z zx x x y z            . 0,25
Ý.2
(1,0 đ)
Dấu bằng xảy ra  1
3
x y z   . Kết luận GTNN là 3 . 0,25
Câu IV
 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, có 4AB AC a  và  0120BAC  . Hình chiếu A’
lên mp(ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Góc giữa cạnh
bên với đáy là 030 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách
giữa AA’ với BC.
1,0 đ
Dựng hình bình hành ABHC  hai tam giác ABH và BCH đều  H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC    0' ' 30A H ABC A AH    . 0,25
Tam giác ABH đều 0 4 34 ' 4 tan 30
3
aAH a A H a    
0 2 2 3
. ' ' '
1 4 34 .4 .sin120 4 3 4 3. 16
2 3ABC ABC A B C
aS a a a V a a      .
0,25
Gọi I là giao điểm AH và BC, hạ 'IJ AA .
Ta có: ,BC AI BC IJ  (ĐL3ĐVG)  ',d AA BC IJ  . 0,25
Mà  0 1sin 30 2 . ',
2
IJ AI a a d AA BC a     . 0,25
Câu Va Tính môđun của số phức z i , biết     2z i z i iz   ( i là đơn vị ảo ). 1,0 đ
Giả sử  ,z x yi x y R   . Từ giả thiết, ta có:    1 1 2 2x y i x y i y xi             . 0,25
Do đó:  2 2 1 2 2 2x y xi y xi      . 0,25
Hay.  22 2 22 1 0 1 2x y y x y        . 0,25
Kết luận:    221 1 2z i x y i x y        . 0,25
Câu
VIa
1. Trong mặt phẳng Oxy. cho M trên elip   2 2: 5 9 45 0E x y   và tích các khoảng
cách từ M đến 2 tiêu điểm (E) là 65
9
. Hãy tìm M, biết M thuộc (II).
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm  5;3; 1A  . Viết phương trình mp(P) chứa
trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1.
2,0 đ
Ta có:   2 2 2 2 2: 1 9 5 4
9 5
x yE c a b        . 0,25
Do đó: 21 2
65 65 4 65
. 9
9 9 9 9M M M
c cMF MF a x a x x
a a
              0,25
Vậy 2 4 2M Mx x    (thích hợp) hoặc 2Mx  (loại) 0,25
Ý.1.a
(1,0 đ)
Suy ra: 2 2 25 520 9 45 0
9 3
y y y        . Kết luận: 52; .
3
M     0,25
PT mặt phẳng (P) có dạng  2 20 0By Cz B C    . 0,25
  
2 2
3
, 1
B C
d A P
B C
 

2
0
8 6 . 0 3
4
B
B C B CB
     
. 0,25
Khi 0B  chọn  1 : 0C P z   . 0,25
Ý.2.a
(1,0 đ)
Khi 3
4
CB  chọn  4 3 : 3 4 0C B P y z      . 0,25
Câu Vb Tìm số phức z, biết
 
2
2 31 2
i zi i
z z
    ( i là đơn vị ảo). 1,0 đ
Điều kiện: 0z  . Ta có: 2.z z z , do đó: 0,25
PT  1 2 3 2i i i z      . 0,25
Hay   1 22 1 2
2
ii z i z
i
        . 0,25
Kết luận: nghiệm của PT là       
1 2 2 4 3 4 3
2 2 5 5 5
i i i
z i
i i
          . 0,25
CâuVIb
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip   2 2: 4 1E x y  . Tính tâm sai (E) và viết PTCT
hypebol nhận tiêu điểm (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh (E)
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm  5;3; 1A  . Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua A và song song với trục Ox, biết khoảng cách Ox và (P) bằng 1.
2,0 đ
Ta có: PT chính tắc của elip là   2 2: 111
4
x yE   . 0,25
3
2
c  . Vậy tâm sai của elip là 3
2
e  . 0,25
PT chính tắc của hypebol là   2 22 2: 1x yH a b  .
Mà tiêu điểm của elip là 3 3;0 , ;0
2 2
            
 nên 3
2
a  .
0,25
Ý.1.b
(1,0 đ)
Mặt khác 2 2 2 3 11 1
4 4
a b b      , Kết luận:   2 2: 1
0,75 0, 25
x yH   0,25
PT mặt phẳng (P) có dạng  2 20 0, 0By Cz D B C D     
Mà (P) qua A nên 3 0 3B C D C B D      .
0,25
       22, , 13
D
d Ox P d O P
B B D
  
 
2
0
10 6 . 0 3
5
B
B D B DB
      
0,25
Khi 0B  chọn  1 1 : 1 0D C P z      . 0,25
Ý.2.b
(1,0 đ)
Khi 3
5
DB   chọn  5 3, 4 : 3 4 5 0D B C P y z         . 0,25
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM:
 Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi nếu có lập luận đúng dựa vào SGK hiện hành (kể cả
phần đọc thêm) và có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó ; chỉ cho điểm đến phần
học sinh làm đúng từ trên xuống dưới và phần làm bài sau không cho điểm.
 Điểm ở mỗi ý nhỏ cần thảo luận kỹ để được chấm thống nhất . Tuy nhiên , điểm trong từng câu và
từng ý không được thay đổi.