Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 103

Câu I: (2,0  điểm)  Cho hàm số  1 ) 3 4 ( ) 1 ( 
3 
1  2 3 + - + - + =  x m x m mx y  có đồ thị là (C m ) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số khi m = 1 
2. Tìm  tất  cả  các giá  trị m sao  cho  trên đồ  thị  (C m )  tồn  tại  duy  nhất một điểm A có 
hoành độ âm mà tiếp tuyến với (C m ) tại A vuông góc với đường thẳng :  x 2y 3 0. + - = 
Câu II: (2,0 điểm) 
1.  Giải phương trình:  2 2 2sin 2sin t anx 
4 
x x p æ ö - = - ç ÷ 
è ø 
2.  Giải hệ phương trình: 
2 2 
2 
2 
1 
xy 
x y 
x y 
x y x y 
ì + + = ï + í 
ï + = - î 
(x, yΠR) 
Câu III: (1,0 điểm)  Tính tích phân: 
4 
0 
tan .ln(cos ) 
cos 
x x dx 
x 
p 
ò 
Câu IV: (1,0 điểm)  Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a; 
góc  ·  0 60 DAB =  ; cạnh bên BB’=  a 2 . Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K 
nằm trên cạnh BB’ và 
1 
BK= BB' 
4 
;  hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABCD) 
là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng 
cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’. 
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực  a, b, c, d thỏa mãn điều kiện  2 2 a b 1;  c d 3. + = - = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của M ac bd cd = + -  . 
Câu VI (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn :(C):  2 2 x  y  16 + =  . Viết phương trình 
chính tắc của elip có tâm sai 
1 
2 
e =  biết elip cắt đường tròn (C) tại bốn điểm A, B, C, D sao cho 
AB song song với trục hoành và AB = 2.CD. 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng: 
1 
1 1 
: 
2 1 1 
x y z 
d 
- + 
= =  ;  2 
1 2 
: 
1 2 1 
x y z 
d 
- - 
= =  và mặt phẳng (P) :  2 3 0 x y z + - + =  . 
Viết  phương  trình  đường  thẳng D song  song  với  (P)  và  cắt  1 2 , d d  lần  lượt  tại A,  B  sao  cho 
29 AB = 
Câu VII (1,0 điểm)  Cho hai số phức z, z’ thỏa mãn  ' 1 z z = =  và  ' 3 z z + =  . 
Tính  ' z z - 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì them 
Họ và tên:..SBD: 
www.laisac.page.tl 
TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 
KỲ THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2010 – 2011 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
KHỐI A,B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ BA 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B 
CÂU  NỘI DUNG  ĐIỂM 
Víi  1 = m ta cã  3 
1 
1 
3 
y x x = + + . 
* TËp x¸c ®Þnh: D = R 
* Sù biÕn thiªn 
· Chiều biến thiên: 
2 y ' x 1 = +  >0  x " Ρ 
0,25 
+ Hàm số luôn đồng biến trên ¡ 
+ Hàm số có không cực đại và cực tiểu . 
· Giíi h¹n: +¥ = -¥ = 
+¥ ® -¥ ® 
y y 
x x 
lim ; lim . 
0,25 
Bảng biến thiên: 
0,25 I­1 
(1điểm) 
Đồ thị: 
Đồ thị giao với Oy tại (0;1) 
0,25 
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2y­3=0 có hệ số góc  k=2. Gọi x là hoành độ tiếp 
điểm thì:  2 2 f '(x) 2 mx 2(m 1)x (4 3m) 2 mx 2(m 1)x 2 3m 0 (1) = Û + - + - = Û + - + - =  0,25 
Bài toán trở thành tìm tất cả các m sao cho phương trình (1) có đúng một nghiệm âm 
Nếu m=0 thì (1)  2 2 1 x x Û - = - Û =  loại  0,25 
Nếu  0 m ¹  thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là 
2 3 
1 hay x= 
m 
x 
m 
- 
=  0,25 
I­2 
(1điểm) 
do đó để có một nghiệm âm thì 
0 
2 3 
0  2 
3 
m 
m 
m  m 
< é 
- ê < Û 
ê > 
ë 
Vậy 
2 
0 hay 
3 
m m   thì trên (C) có đúng một  tiếp điểm có hoành độ âm thỏa yêu cầu đề 
bài 
0,25 
x 
y’
y 
­¥ 
+ 
­¥ 
+¥
+¥ 
1 
O  x 
y
Điều kiện:  cosx ¹ 0  0,25 
2 2 2  sinx 2sin 2sin t anx 1 cos 2 2sin 
4 2 cos 
x x x x 
x 
p p æ ö æ ö - = - Û - - = - ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
( ) 
2 cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx 
cos sinx sin 2 cos sinx 0 
(sinx cos )(1 sin 2 ) 0 
x x x x x 
x x x 
x x 
Û - - + 
Û + - + = 
Û + - = 
0,25 
sinx cos 
4 
sin 2 1 2 2 
2 4 
x x k 
x x l x l 
p 
p 
p p p p 
é = - Û = - + ê 
Û ê 
ê = Û = + Û = + ê ë 
0,25 
II­1 
(1điểm) 
4 2 
x k p p Û = +  (thỏa mãn điều kiện)  0,25 
( ) 
( ) 
2 2 
2 
2 
1 1 
2 
xy 
x y 
x y 
x y x y 
ì + + = ï + í 
ï + = - î 
Điều kiện: x + y > 0 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0 2 2 0 xy x y xy x y xy x y xy x y 
x y 
Û + - + - = Û + - + + - + = 
+ 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )( ) 
2 
1 2 1 0 
1 1 2 0 (3) 
x y x y xy x y 
x y x y x y xy 
Û + + - - + - = 
Û + - + + + - = é ù ë û 
0,25 
Với x + y > 0 thì  2 2  0 x y x y + + + > 
Nên  (3) Û  1 x y + =  thay vào (2) được  2  2 0 y y - + =  0,25 
II­2 
(1điểm) 
Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0);  (x;y) = (­1; 2) 
0,25 
*Đặt t=cosx 
dt=­sinxdx  , đổi cận x=0 thì  t=1  , 
4 
x p =  thì  1 
2 
t =  0,25 
Từ đó 
1 
1 2 
2 2 
1 1 
2 
ln ln t t I dt dt 
t t 
= - = ò ò  0,25 
III 
(1điểm) 
*Đặt 
2 
1 
ln ; u t dv dt 
t 
= = 
1 1 
; du dt v 
t t 
Þ = = - 
Suy ra 
1 
2 
1 
2 
1 1 
1 1 2 1 
ln ln 2 1 1 
2 
2 2 
I t dt 
t t t 
= - + = - - ò 
0,25
*Kết quả 
2 
2 1 ln 2 
2 
I = - -  0,25 
C' 
D' A' 
H 
B 
A 
D 
B' 
C 
K 
Ta có 
2
4 
a 
BK =  ; trong tam giác vuông 
BKD :  2 2 
14 
4 
a 
DK BD BK = - = 
0,25 
Ta có 
3 2 
' 
4 
a 
B K =  ; trong tam giác vuông B’KD :  2 2 
14 
' ' 2 
4 
a 
B D B K KD a = + = = 
Suy ra DB’BD cân tại B’ do đó  H chính là  g iao điểm của AC và BD 
0,25 
2 3 
. ' ' ' ' 
3 3 3 
' . 
2 2 4 ABCD A B C D ABCD 
a a a 
V B H S = = =  0,25 
IV 
(1điểm) 
DC’//AB’ suy ra  ( '; ' ) ( ';( ' )) ( ;( ' ) ( ;( ' )) 
2
2 DC B C DC AB C D B AC B A AC 
a 
d d d d BH = = = = =  0,25 
Nêu và chứng minh:  2 2 2 2 ( )( ) a b c d ac bd + + ³ +  Dấu bằng xảy ra khi ad = bc  0,25 
2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2 6 9 3 ( ) M a b c d cd d d d d f d £ + + - = + + - - =  0,25 
Ta có 
2 
2 
3 9 
1 2( )
2 2 '( ) (2 3) 
2 6 9 
d 
f d d 
d d 
- + + 
= + 
+ + 
Để ý rằng 
2 
2 
3 9 
1 2( )
2 2  0 
2 6 9 
d 
d d 
- + + 
< 
+ + 
với mọi d nên dấu của f’(d) chính là dấu của : 2d+3 
0,25 V 
(1 điểm) 
Bảng biến thiên của f(d) suy ra 
3 9 6 2 
( ) ( )
2 4 
f d f 
+ 
£ - = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 
9 6 2 
4 
+ 
đạt khi 
3 
2 
d = -  ; c = 
3 
2 
; a = ­ b = 
1 
2 
± 
0,25 
Giả sử elip có phương trình chính tắc 
2 2 
2 2 
1 
x y 
a b 
+ =  , theo đề bài 
1 
2 
c 
e 
a 
= =  0,25 
VI­ 1 
(1 điểm) 
2 2 2 
2 2 
2 2 
1 1 3 
4 4 4 
c a b 
b a 
a a 
- 
Û = Û = Û =  0,25
Suy ra elip có phương trình 
2 2 
2 2 2 
2 2 
4 
1 3 4 3 
3 
x y 
x y a 
a a 
+ = Û + =  . Tọa độ các giao điểm A, B, 
C, D của elip và đường tròn là nghiệm của hệ : 
2 2 
2 2 2 
x  y  16 (1) 
3 4 3 (2) x y a 
ì + = ï 
í 
+ = ï î 
Do elip và đường tròn (C) cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và 
AB // Ox nên A, B đối xứng với nhau qua Oy ; C, D đối xứng nhau qua Ox. 
AB = 2CD  2 2 2 2.2 4 x y x y Û = Û =  (3) 
0,25 
Từ (1) và (2) tìm được 
3 2 
2 2 4 4 ; 
5 5 
x y = = 
Thay vào (3) ta được  2 
256 
15 
a = 
Suy ra elip có phương trình 
2 2 
1 
256 64 
15 5 
x y 
+ =  . 
0,25 
A  1 d Π suy ra A(1+2t ; ­1+t ; t) ; B  2 d Π suy ra B(1+t’ ; 2+2t’ ; t’)  0,25 
( ' 2 ;3 2 ' ; ' ) AB t t t t t t - + - - 
uuur 
. 
(P) có VTPT  (1;1 2) n - 
r 
AB // (P) suy ra  . 0 ' 3 AB n t t = Û = - 
uuur r 
. Khi đó  ( 3; 3; 3) AB t t = - - - - 
uuur 
0,25 
Theo đề bài ( ) ( ) 2 2 2  29 3 3 9 29 1 AB t t t = Û + + - + = Û = ±  0,25 
VI­2 
(1 điểm) 
Với t = 1 suy ra A(3 ;0 ;1) ; ( ) 4; 2; 3 AB - - - 
uuur 
Suy ra 
3 4 
: 2 
1 3 
x t 
y t 
z t 
= + ì 
ï D = í 
ï = + î 
Với t = ­1 suy ra A(­1 ;­2 ;­1) ; ( ) 2; 4; 3 AB - - - 
uuur 
Suy ra 
1 2 
: 2 4 
1 3 
x t 
y t 
z t 
= - + ì 
ï D = - + í 
ï = - + î 
0,25 
Đặt ( ) ; ' ' '; , ', , ' z x iy z x iy x x y y R = + = + Π 0,25 
2 2 
2 2 
1 
' 1 
' ' 1 
x y 
z z 
x y 
ì + = ï = = Û í 
+ = ï î 
0,25 
( ) ( ) 2 2 ' 3 ' ' 3 z z x x y y + = Û + + + =  0,25 
VII. 
(1 điểm) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 ' ' ' ' 
2.1 2.1 3 1 
z z x x y y x y x y x x y y - = - + - = + + + - + + + 
= + - = 
0,25