Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 104

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC  KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN 1 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN  MÔN:TOÁN ­ KHỐI B 
(Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đề) 
Đề thi gồm: 01 trang 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (7 điểm) 
Câu I .(2điểm) cho hàm số  y = 
2 
3 2 
- 
+ 
x 
x 
(C). 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 
2. Tìm  tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng  y = x +m cắt (C) tại hai điểm phân biệt 
mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau. 
Câu II. (2điểm) 
1.  Giải phương trình :  sin 3 x + cos 3 x + sin 3 x cot x +cos 3 x  tan x =  x 2 sin 2 
2.  Giải phương trình :( x 2 – 6x +11)  1 2 + - x x  = 2(x 2 – 4x + 7)  2 - x 
Câu III. (1điểm) Tính giới hạn : 
0 
lim 
® x  x 
x x x 
2 sin 
2 cos sin 2 1 - + 
Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB= AC=a, 
góc BAC = 60 0 ;SA vuông góc với đáy và SA= a  2 . Xác định  tâm và bán kính mặt  cầu 
ngoại tiếp hình chóp SABC 
Câu V. (1điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2 ­a +2 ­b +2 ­c  = 1.Chứng minh rằng 
+ 
+ + c b a 
a 
2 2 
4 
+ 
+ + a c b 
b 
2 2 
4 
b a c 
c 
+ +  2 2 
4 
³  4 
2 2 2  c b a + + 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B) 
A. Theo chương trình chuẩn: 
Câu VIa .(2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy 
1. Cho đường  tròn (C) x 2 + y 2  ­ 2x  ­ 6y +6 = 0 và điểm M(­3;1).Gọi T 1  và T 2  là các  tiếp 
điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).Viết phương trình đương thẳng T 1 T 2 
2. Cho A(1;2);B(0;0);C(­3;1).Xác định tâm phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
Câu VIIa. (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 
14 
4 
3 
2 
1 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
+ 
x 
x  với x > 0; 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VIb: (2điểm) 
1. Cho đường tròn x 2  + y 
2 – 2x – 6y + 6 = 0 (C)và điểm M(2;4). Viết Phương trình đường 
thẳng đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. 
2.Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1): 2x – y – 2 = 0, (d2): x + y + 3 = 0. Gọi (d) là đường 
thẳng qua P và cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng (d) biết PA 
= PB. 
Câu VIIb: (1điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 
2 2 
3 5 
x y 3 
log x y log x y 1 
ì - = ï 
í 
+ - - = ï î 
www.laisac.page.tl
SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC      HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1 
MÔN TOÁN – KHỐI B 
(Hướng dẫn chấm có 08 trang) 
Câu  ĐÁP ÁN VẮN TẮT  Điểm 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  ( C ) của hàm số  y = 
2 
3 2 
- 
+ 
x 
x 
(1 điểm) 
a.  T  đk  D=R | { 2}; 
b. Sự biến thiên ; 
* Chiều biến thiên :y’ = 
2 ) 2 ( 
7 
- 
- 
x 
<0 mọi  x  2 ¹ 
Hàm số là nghịch biến trong khoảng xΠ (­  2 ; ¥  ) và (2;¥ ); 
* Cực trị : Hàm số không có cực trị. 
0.25 
*Các giới hạn: 
±¥ ® x 
lim  y =  2 
3 2 
lim 
- 
+ 
±¥ ®  x 
x 
x 
= 2, suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị 
± ®  2 
lim 
x 
y  =  2 
3 2 
lim 
2 - 
+ 
± ®  x 
x 
x 
= ¥ ±  ,suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ 
thị 
0.25 
* Bảng biến thiên:           x  ­∞                  2                     +∞ 
y’  ­  ­ 
y      2                        +∞ 
­∞                             2 
0.25 
Câu I 
C. Đồ thị :  Giao của đồ thị với trục tung tại điểm  ( 0; 
2 
3 -  ); 
Giao của đồ thị với trục hoành tại điểm ( 
2 
3 -  ; 0); 
Tâm đối xứng I (2;2);  y 
0  x 
0.25 
2 
2
2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + m cắt 
( C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó 
song song với nhau.(1 điểm) 
Đường thẳng y = x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến 
của (C) tại  hai điểm đó song song  với nhau 
Û pt = - 
+ 
2 
3 2 
x 
x 
x +m  (1)có hai nghiệm phân biệt x 1  ,x 2  thỏa mãn 
điều kiện  y’(  1 x  )= y’(  2 x  ) với y là hàm số đã cho 
0.25 
(1)Û  x 2 + (m ­ 4 ) x ­ 2m ­3 = 0 có hai nghiệm  phân biệt x 1  ,x 2 
(  2 ¹  ) và thỏa mãn  x 1  +x 2  = 4; 
0.25 
D  > 0  x " 
Û  2.2 2 + ( m­6) 2 – 2m­3  0 ¹ Û m = ­4 
4 
4 
2 
m - 
= 
Kết luận: m = ­4 thỏa mãn điều kiện đầu bài 
0.5 
Câu 
II 
1. 
Giải pt 
sin 3 x + cos 3 x + sin 3 x cot x +cos 3 x  tan x =  x 2 sin 2  (1) 
cos x  0 ¹ 
Đk           sin x  0 ¹ Û  sin 2x  > 0 
Sin 2x ³  0 
0.25 
(1)Û (sin x +cos x)(sin 2 x –sin xcos x +cos 2 x )+ sinx 
cosx(sinx+cosx)=  x 2 sin 2 
Û sin x +cos x =  x 2 sin 2 
0.25 
sin x +cos x ³ 0  sin (x+ 
4 
p  ) ³  0 
Û Û 
1 + sin 2x = 2sin 2x  x = p 
p 
2 
4 
k +  or  x= p 
p 
2 
4 
5 
k + 
Û  x = p 
p 
2 
4 
k +  là nghiệm 
0.25
Phương trình đã cho có nghiệm x = p 
p 
2 
4 
k + 
0.25 
2. Giải phương trình : 
( x 2 – 6x +11)  1 2 + - x x  = 2(x 2 – 4x + 7)  2 - x 
Đk   x  2 ³ 
Đặt  2 - x  =a  0 ³  và  1 2 + - x x  = b >0 ; 
Ta có x 2 – 6x +11 = x 2 –x +1 ­ 5 ( x­2 ) = b 2 ­5a 2 ; 
x 2 ­4 x +7 = x 2 ­ x + 1­ 3(x­2)  =b 2 – 3a 2 ; 
0.25 
phương trình đã cho tương đương với 
(b 2 ­5a 2 ) b = 2  (b 2 – 3a 2 ) a 
Û 6 a 3 ­ 5a 2 b ­2ab 2 + b 3 = 0 
Û 6 ( 
b 
a ) 3 – 5( 
b 
a ) 2 ­ 2 ( 
b 
a ) 2 +1 =0 (2) 
0.25 
Đặt 
b 
a  =  t (t  0 ³  ); 
Û 6 t 3 ­ 5t 2 ­ 2t 2 + 1 = 0 
Û  t = 1 
t =  ­ 
2 
1 (loại) 
t = 
3 
1 
0.25 
Với  t = 1 pt vô nghiệm 
Với  t = 
3 
1  ta có b=3a Û x 2 – 10x  + 19 = 0 Û  x = 5 ±  6 
Kết luận: x = 5 ±  6  là nghiệm. 
0.25 
Tính giới hạn : 
0 
lim 
® x  x 
x x x 
2 sin 
2 cos sin 2 1 - + 
0 
lim 
® x  x 
x x x 
2 sin 
2 cos sin 2 1 - + 
= 
0 
lim 
® x  x 
x x 
2 sin 
sin 2 
+ 
0 
lim 
® x  x 
x 
2 
2 
sin 
sin 2 
0.5 
Câu 
III 
= 
0 
lim 
® x  x 
x 
sin 
2 
+ 2 
= 2 + 2 
= 4 
0.5
S 
J 
I 
a 
A                                                          C 
O 
a  E 
B 
Gọi E là trung điểm của BC 
Ta có AE ^ BC và РBAE  = 30 0 Þ BC = 2BE = 2a sin30 0 =a 
0.25 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC 
Þ OΠAE Þ OA = 
3 
3 a 
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 
Khi đó IA = IB = IC Þ I Î đường thẳng ^ với mặt phẳng ABC tại 
O 
0.5 
Câu 
IV 
Mặt ¹  IA  = IS Þ I Î mặt phẳng trung trực của cạnh SC 
Khi đó gọi J là trung điểm của SA Þ IJ ^ SA Þ tứ giác AOIJ là 
hình chữ nhật Þ IA =  2 2  JA OA +  = a 
6 
5 
0.25 
Ch     Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2 ­a +2 ­b +2 ­c  = 1. Chứng minh rằng 
+ 
+ + c b a 
a 
2 2 
4 
+ 
+ + a c b 
b 
2 2 
4 
b a c 
c 
+ +  2 2 
4 
³  4 
2 2 2  c b a + + 
Câu 
V 
Đặt 2 a =  x > 0 
2 b = y > 0 
2 c = z > 0 
Khi đó 
z y x 
1 1 1 
+ +  = 1 
Ta CM  4 
2 2 2  z y x 
xy z 
z 
zx y 
y 
yz x 
x + + 
³ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
Thật vậy 
3 3 3 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 
x y z x y z 
x y x z y z y x z x z y 
+ + 
+ + ³ 
+ + + + + + 
0.25
Ta có  theo bất đẳng thức cô si 
3 3 
3 
( ) ( ) 3 
3 
( )( ) 8 8 ( )( ) 8 8 4 
x x y x z x x y x z x 
x y x z x y x z 
+ + + + 
+ + ³ = 
+ + + + 
(1) 
Tương tự 
4 
3 
8 8 ) )( ( 
3  y y x z y 
x y z y 
y 
³ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ +  (2) 
3  3 
( )( ) 8 8 4 
z z x z y z 
z x z y 
+ + 
+ + ³ 
+ +  (3) 
0.5 
Từ (1);(2)và(3) suy ra 
4 
) ( 
3 
2 ) )( ( ) )( ( ) )( ( 
3 3 3  z y x z y x 
y z x z 
z 
x y z y 
y 
z y y x 
x + + 
³ 
+ + 
+ 
+ + 
+ 
+ + 
+ 
+ + 
Þ 
3 3 3 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 
x y z x y z 
x y x z y z y x z x z y 
+ + 
+ + ³ 
+ + + + + +  (đcm) 
Dấu bằng xảy ra Û  x = y = z = 3 hay a = b = c = 
3 
1 
0.25 
1. 
Đường  tròn (C) có tâm I (1;3) và bán kính R=2 
MI  =2  5  >R khi đó M nằm ngoài (C) 
0.25 
Nếu T(x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) 
T Π (C) 
Û 
MT ^  IT 
T Π (C) 
Û 
® ® 
IT MT .  = 0 
0.25 
Câu 
VI.a 
Mà 
® 
MT  = (x0+3; y0­1)     , 
® 
IT  = (x0­1; y0­3) 
Do đó:        x0 
2 + y0 
2 – 2x0 – 6y0 + 6 = 0 
(x0  + 3)(x0 ­1) + ( y0 ­1)(y0 ­3) = 0 
0.25 
Û  2x0 + y0 – 3 = 0 (1)
Vậy tọa độ các tiếp điểm T1, T2 của các tiếp điểm kẻ từ M đến ( C ) 
đều thỏa mãn đẳng thức (1). 
Do đó phương trình T1, T2  là: 2x + y – 3 = 0  0.25 
2. 
® 
AB  = (­1; ­2) , 
® 
BC  = (­3; 1) 
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC 
Þ  I( 
2 
1 ; 1) 
J(­ 
2 
1
;
2 
3  ) 
0.25 
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC là: 
­3(x + 
2 
1 
( 1 )
2 
3 
- +  y  ) = 0 
­3x ­ 
2 
1 
2 
9 
- +  y  = 0 
Þ  3x – y + 5 = 0 
0.25 
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: 
­1(  0 ) 1 ( 2 )
2 
1 
= - - -  y x 
x + 2y ­  0 
2 
5 
=  (2) 
0.25 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tọa độ O là nghiệm của 
hệ: 
3x – y +5 = 0                        x = ­ 
14 
15 
Û 
x + 2y ­ 
2 
5  = 0                       y = 
14 
25 
0.25 
14 
4 
3 
2 
1 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
+ 
x 
x  =  0 14 C  ( 3  x ) 
14 ++  k C 14 ( 3  x ) 
14­k ( 
4 2 
1 
x 
) k ++ 
14 
14 C  (  4 2 
1 
x 
) 14 
Để hệ số không phụ thuộc vào x 
Û ( 3  x ) 14­k ( 
4 
1 
x 
) k  = 1 
Û  3 
14  k 
x 
- 
.  4 
k 
x 
- 
= 1 
0.5 
Câu 
VII.a 
Û 
4 3 
14  k k 
- 
-  = 0 
Û 56 – 4k – 3k = 0 
Û k = 8 
0.25
Hệ số không phụ thuộc vào x là: 
8 
1 4  8 
1 3 0 0 3 
. 
2 2 5 6 
C = 
0.25 
1. 
Từ phương trình: 
x 2 + y 2 – 2x – 6y +6 = 0 
Û  (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 4 
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = 2 
0.25 
Do (d):    qua M 
MA = MB 
Þ AB ^  MI 
0.25 
Câu 
VI.b 
®
n d (1; 1) phương trình đường thẳng (d): x – 2 +y – 4 = 0 
(d): x + y – 6 = 0  0.5 
2. 
Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) 
A Î(d1) Û  2xA – yA – 2 = 0 (1) 
B Î(d2) Û  xB – yB + 3 = 0   (2) 
0.25 
Mà PA = PB Þ  P là trung điểm AB 
Û  xA + xB = 2xP 
yA + yB = 2yP 
0.25 
Û  xA + xB = 6 (3) 
yA + yB = 4 (4) 
0.25 
Từ (1), (2), (3) và (4) 
Þ A(  ) 
3 
16 
; 
3 
11  và B(  ) 
3 
16 
;
3 
7 
- 
Phương trình (d): 8x – y – 24 = 0 
0.25 
Điều kiện: x>y>0 
x 2 – y 2 = 3                         (1) 
log3(x+y) = log5 5(x­y)     (2) 
Từ (1) Û  x – y = 
y x + 
3 
0.25 
Câu 
VII.b 
Thay vào (2): 
log3(x+y) = log 5 
y x + 
15 
5 log 
15 
log 
) ( log 
3 
3 
3 
y x 
y x + = + 
0.25
log3 5 = 
y x 
y x 
+ 
+ 
3 
3 
log 
15 
log 
= 
y x y x + + 
15 
log  = logx+y15 ­ 1 
Û  log315 = logx+y15 
Û  y x + 
= 
15 15  log 
1 
3 log 
1 
0.25 
Û log15(x+y) = log153 
Û  x + y = 3 Û  x = 2 
x – y = 1                 y = 1 
0.25 
Lưu ý: Trên đây chỉ là một cách giải, nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng 
thì cho điểm tương ứng với điểm của đáp án.