Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 106

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 
TỈNH QUẢNG TRỊ  Môn: TOÁN ­  Khối: A 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 
PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I. (2điểm) Cho hàm số 
m x 
mx 
y 
+ 
- 
= 
1  , (Cm) 
1. Khảo sát sựii biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi  1 = m 
2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (Cm). Tiếp tuyến tại điểm bất kỳ của (Cm) 
cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B. 
Tìm m  để tam giác IAB có diện tích bằng 12. 
Câu II. (2 điểm) Giải các phương trình 
1.  12 
1 
3 
) 1 ( 2 ) 1 (  2 = 
+ 
- 
+ + - 
x 
x 
x x 
2.  0 1 
3 cos 
2 sin cos 
= + 
+ 
x 
x x 
Câu III. (1 điểm) Tính tích phân:  dx 
x 
x x 
I ò + 
+ 
= 
2 
0 
2 
2 sin 1 
) sin ( 
p 
Câu IV. (1 điểm) Tính thể tích hình cầu ngoại  tiếp tứ diện ABCD, có cạnh 
AB = 
2 
3 a  và các cạnh còn lại đều bằng a. 
Câu  V.  (1  điểm)  Xét  các  số  thực  dương  c b a  , ,  .  Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức: 
c a 
c b 
b 
c a 
a 
c b 
P 
3 2 
) ( 12 
3 
3 4 
2 
) ( 3 
+ 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
= 
PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
(Thí sinh chỉ làm một  trong hai phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình chuẩn: 
Câu VIa. (2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A (3 ; 0) và elip (E) có phương trình:  1 
9 
2 
2 
= + y 
x  . 
Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc (E) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
2. Trong không gian (Oxyz) cho mặt phẳng (a ) có phương trình:  0 1 2 = - + +  z y x  và hai 
điểm A (1 ; 2 ; 3) , B (­2 ; 2 ; 0). Tìm điểm M trên  mặt phẳng (a ) sao cho  MB MA-  đạt giá trị 
lớn nhất. 
Câu VIIa. (1 điểm) Giải hệ phương trình trong tập hợp số phức 
ï î 
ï 
í 
ì 
- = - 
- = - 
i 
z z 
i z z 
5 
3 
5 
1 1 1 
2 2 
1 2 
2 1 
B. Theo chương  trình nâng cao: 
Câu VIb. (2 điểm) 
1. Trong mặt  phẳng (Oxy) cho tam giác ABC, có đỉnh A( 1 ; 2); đường phân giác trong 
và trung tuyến vẽ từ đỉnh B có phương trình lần lượt là: (BE):  0 5 2 = + - y x  và (BM): 
0 15 7 = + - y x  . Tính diện tích tam giác ABC 
2. Trong không gian (Oxyz) cho mặt phẳng (a ) có phương trình  0 1 2 = - + +  z y x  và hai điểm 
A(1 ; 2 ; 3) , B(0 ; 3 ; 1). 
Tìm điểm M trên mp (a ) sao cho DMAB có chu vi nhỏ nhất. www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN  ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 
TỈNH QUẢNG TRỊ  Môn: TOÁN; Khối: AB 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
THI THỬ LẦN 2 
PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Điểm 
Câu I. (2 điểm) 
m x 
m 
m 
m x 
mx 
y 
+ 
+ 
- = 
+ 
- 
= 
1 1  2  (Cm) 
1.  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
1 
2 
1 
+ 
- = 
x 
y ( ) 1 = m 
* TXĐ:  R D =  \{ } 1 - 
* Sự biến thiên: 
­ Giới hạn: +¥ = 
- - ®  1 
lim 
x 
y  ; -¥ = 
+ - ®  1 
lim 
x 
y 
1 lim lim = = 
+¥ ® -¥ ®  x x 
y y 
Tiệm cận đứng:  1 - = x  , tiệm cận ngang:  1 = y 
­ Bảng biến thiên: 
( ) 
0 
1 
2 
' 
2 > + 
= 
x 
y  ,  1 - ¹ "x 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ( ) +¥ - - ¥ -  ; 1 ; 1 ; 
* Đồ thị: Vẽ rõ  ràng, chính xác 
2.  ? = m  để ( ) IAB S  = 12 
0 
1 2 
¹ 
+ 
+ 
m x 
m 
î 
í 
ì 
Þ 
G/s ( ) Cm 
m x 
m 
m x M Î ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
+ 
+ 
- 
0 
2 
0 
1 
;  . Tiếp tuyến tại M có phương trình: 
( ) 
( ) 
m x 
m 
m x x 
m x 
m 
y 
+ 
+ 
- + - 
+ 
+ 
= 
0 
2 
0 2 
0 
2  1 1  ; ( ) m x - ¹ 0 
( ) ï î 
ï 
í 
ì 
+ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
+ 
+ 
- - 
Þ 
m m x B 
m x 
m 
m m A 
; 2 
2 2 
; 
0 
0 
2 
m x 
m 
IA 
+ 
+ 
= Þ 
0 
2  1 
2  ;  m x IB + =  0 2 
( )  12 2 2 1 2 . 
2 
1  2 2 = + = + = =  m m IB IA IAB S 
Û { } 5 ; 5 - Πm 
Câu II (2 điểm) Giải phương trình 
1. ( ) ( )  12 
1 
3 
1 2 1 2 = 
+ 
- 
+ + - 
x 
x 
x x  , ĐK: ê 
ë 
é 
³ 
- < 
3 
1 
x 
x 
( )( ) ( )  0 8 
1 
3 
1 2 3 1 = - 
+ 
- 
+ + - + Û 
x 
x 
x x x 
( ) 
( ) ê 
ê 
ê 
ê 
ë 
é 
- = 
+ 
- 
+ 
= 
+ 
- 
+ 
Û 
4 
1 
3 
1 
2 
1 
3 
1 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
ê 
ê 
ë 
é 
= - - 
= - - 
Û 
16 3 2 
4 3 2 
2 
2 
x x 
x x 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Tiệm cận đứng:  m x - = 
Tiệm cận  ngang:  ) ; (  m m I m y - Þ = 
; (Chọn  ) 3 ³ x 
; (Chọn  ) 1 - < x
ê 
ê 
ë 
é 
= - - 
= - - 
Û 
0 19 2 
0 7 2 
2 
2 
x x 
x x 
ê 
ê 
ë 
é 
- = 
+ = 
Û 
5 2 1 
2 2 1 
x 
x 
{ } 2 2 1 , 5 2 1 , + - = S 
2.  0 1 
3 cos 
2 sin cos 
= + 
+ 
x 
x x  (1) 
ĐK:  0 ) 3 cos 4 ( cos 3 cos  2 ¹ - =  x x x 
(1) 
( )  0 1 3 cos 4 cos 
cos sin 2 cos 
2 = + - 
+ 
Û 
x x 
x x x 
0 1 sin sin 2  2 = - - Û  x x 
ê 
ê 
ë 
é 
= - Þ - = 
= Þ = 
Û 
0 3 cos 4 
2 
1 
sin 
0 cos 1 sin 
2  x x 
x x 
Vậy, phương trình  (1) vô nghiệm 
Câu III (1 điểm) ò ò + = + + + = 
2 
0 
2 1 
2 2 
0  2 sin 1 
sin 
2 sin 1 
p p 
I I dx 
x 
x 
dx 
x 
x 
I 
* ò ò 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - 
= 
+ 
= 
2 
0 
2 
0  2 
1 
4 
cos 2 
2 sin 1 
p p 
p 
dx 
x 
x 
dx 
x 
x 
I 
Đặt: 
ï î 
ï 
í 
ì 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - = 
= 
Þ 
ï 
ï 
î 
ï ï 
í 
ì 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - 
= 
= 
4 
tan 
2 
1 
4 
cos 2  2 
p p  x v 
dx du 
x 
dx 
dv 
x u 
4 4 
cos ln 
2 
1 
4 
tan 
2 
| |  2 
0 
2 
0 1 
p p p p p 
= ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - = Þ  x x 
x 
I 
* ò + = 
2 
0 
2 
2  2 sin 1 
sin 
p 
dx 
x 
x 
I  ,  đổi biến:  x t - = 
2 
p  đưa đến 
ò + = 
2 
0 
2 
2  2 sin 1 
cos 
p 
dx 
x 
x 
I 
1 
4 
tan 
2 
1 
4 
cos 2 
2  | 2 
0 
0  2 
2 = ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - = 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - 
= Þ ò 
p p 
p 
x 
x 
dx 
I 
2 
1 
2 = Þ I 
Vậy, 
2 
1 
4 2 1 
+ = + = p I I I 
Câu IV (1 điểm) 
Gọi  I  là trung đểm cạnh CD 
( ) 
î 
í 
ì 
^ 
^ 
Þ 
CD BI 
CD AI 
Gt 
AB 
a 
BI AI = = = 
2 
3 
, 
(1) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
; (Chọn  ) 3 ³ x 
; (Chọn  x < ­1) 
(loại) 
(loại)
M 
C 
A 
D 
I 
( ) ABI Þ  là mp trung trực cạnh CD . Gọi 
M  là giao điểm của  BI  với mặt cầu ( ) S 
ngoại tiếp tứ diện  ABCD . 
Þ Đường tròn lớn của ( ) S  là đường tròn 
( ) ABM  . Mặt phẳng ( ) BCD  cắt ( ) S  theo 
đường tròn ( ) BCD  qua M, hơn nữa BM là 
đường kính. 
3 
2 
60 sin  0 
a a 
BM = = Þ 
(1)  ABI D Þ  đều Þ  ABM = 60 0 
12 
13 
60 cos . 2  0 2 2  a BM AB BM AB AM = - + = 
6 
13 
60 sin 2  0 
a AM 
R = = Þ 
3 3 
162 
13 13 
3 
4 
a R V p p = = Þ 
Câu V (1 điểm) 
(*) 
4 1 1 
0 , 
y x y x 
y x 
+ 
³ + Þ > 
Dấu “=” xảy ra  y x = Û  (CM được) 
( ) 
= + 
+ 
- 
+ ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ + + + 
+ 
+ = +  8 
3 2 
12 
3 
3 4 
1 
2 
) ( 3 
2 11 
c a 
c b 
b 
c a 
a 
c b 
P 
( ) ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
+ 
+ + + + = 
c a b a 
c b a 
3 2 
4 
3 
1 
2 
1 
3 3 4 
Áp dụng (*): 
b a b a  3 2 
4 
3 
1 
2 
1 
+ 
³ + 
c b a c a b a  3 3 4 
16 
3 2 
4 
3 2 
4 
+ + 
³ 
+ 
+ 
+ 
Þ 
c b a c a b a  3 3 4 
16 
3 2 
4 
3 
1 
2 
1 
+ + 
³ 
+ 
+ + 
5 16 11 ³ Þ ³ + Þ  P P 
Dấu “=” xảy ra  a c b 
3 
2 
= = Û 
Þ Min  khi P  , 5 =  a c b 
3 
2 
= = 
PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VIa (2 điểm) 
1. ( )  1 
9 
:  2 
2 
= + y 
x 
E 
( )  ) ( 0 ; 3  E A Π ;  ) ( ,  E C B Π :  AC AB = 
Chứng minh được: ( ) ( ) 0 0 0 0  ; ;  y x C y x B - Þ  ; ( ) 3 0 < x 
H là trung điểm của ( ) 0 ; 0 x H BC Þ 
2 
0 0  9 3 
2 
2  x y BC - = = Þ  ;  0 0  3 3  x x AH - = - = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
B
ABC D  vuông cân tại A  BC 
2 
1 
AH = Û 
( ) ( )( ) 0 0 2 0 
2 
0 0 
3 3 3 9 
9 
3 
1 
3 
x x x 
x x 
+ - = - Û 
- = - Û 
ê 
ê 
ê 
ë 
é 
= Þ = 
= 
Û 
5 
3 
5 
12 
3 
0 0 
0 
y x 
x 
Vậy, 
ê 
ê 
ê 
ê 
ë 
é 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
5 
3
; 
5 
12 
, 
5 
3 
; 
5 
12 
5 
3 
; 
5 
12 
, 
5 
3
; 
5 
12 
C B 
C B 
2.  Đặt  1 2 ) , , ( - + + =  z y x z y x F 
F(1 ; 2 ; 3) F (­2 ; 2 ; 0) < 0 
Þ  A và B nằm về hai phía của mp ( ) a 
B1 (x1, y1, z1);  I là trung điểm của BB1 
( ) 1 1 1 1  ; 2 ; 2  z y x BB - + =  , ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ + - 
2 
; 
2 
2 
; 
2 
2  1 1 1  z y x I 
B1 = Đa (B) ( ) ï î 
ï 
í 
ì 
= - + + Î 
= 
Û 
0 1 2 : 
) 1 ; 1 ; 2 ( // 1 
z y x I 
n BB 
a 
a 
ï î 
ï 
í 
ì 
= - + + 
= 
+ 
= 
+ 
Û 
0 4 2 
2 2 
2 
2 
2 
1 1 1 
1 1 1 
z y x 
z y x 
( ) 1 ; 3 ; 0 1 B Þ 
6 1 1 = £ - = -  AB MB AM MB MA 
Dấu “=” xảy ra  1 , ,  B M A Û  thẳng hàng. ( ) ( ) a ΠM 
( ) a Ç = Û  1 AB M 
( ) 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
+ = 
- = 
+ = 
t z 
t y 
t x 
AB 
2 3 
2 
1 
: 1  , ( ) ( ) 1 ; 4 ; 1 0 1 2 : - - Þ = - + +  M z y x a 
khi AB MB MA Max  , 6 1 = = - ( ) 1 ; 4 ; 1 - - M 
Câu VIIa. (1 điểm) 
Hệ đã cho được viết 
ï î 
ï 
í 
ì 
- 
= 
- 
- = - 
5 
3 1 
2 2 
2 1 
2 1 
2 1 
i 
z z 
z z 
i z z 
Û 
( ) ( ) 
( ) ( ) î 
í 
ì 
+ - = - 
- = - + 
i z z 
i z z 
2 4 
1 2 
2 1 
2 1 
1 z Þ  và ­  2 z  là các nghiệm của phương trình. 
( ) ( )  0 2 4 1 2 2 = + - - -  i z i z 
( ) ( ) { ( ) } i i i i z z + - - - + - Π 3 ; 1 , 1 ; 3 ;  2 1 
b. Theo chương trình nâng cao 
Câu  VI b: (2,0đ) 
1. ( ) ( ) ( ) 1 ; 2 
15 7 
5 2 
: - Þ 
î 
í 
ì 
- = - 
- = - 
Ç =  B 
y x 
y x 
BM BE B 
( ) ( ) ( ) 2 ; 1 A 2 ; 1 ; ;  1 1 1 1 1 1 - - = Þ  y x A A y x A 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
(loại)
I là trung điểm ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ + + Þ 
2 
2 
; 
2 
1 
A  1 1 1 
y x 
I A 
= 1 A  Đ BE ( ) A 
( ) 
( ) 
BC A 
y x BE I 
u AA  BC Î 
ï î 
ï 
í 
ì 
= + - Î 
= ^ Û  1 
1  , 
0 5 2 : 
2 ; 1 
( ) 
î 
í 
ì 
= 
- = 
Û 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
= + 
+ 
- ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ + 
= - + - 
Û 
4 
3 
0 5 
2 
2 
2 
1 
2 
0 2 2 1 
1 
1 
1 1 
1 1 
y 
x 
y x 
y x 
( ) ( ) 1 ; 3 3 ; 1 1 = Þ - = Þ  BC n BA 
( )  0 5 3 : = + + y x BC 
= 2 A  Đ ( ) ( )  C A A A B  2 2  , 0 ; 5 - Þ  //  BM 
( ) 1 ; 7 2 - = Þ  C A n 
( )  0 35 7 : 2 = + - y x C A 
( ) ( ) ( ) 7 ; 4 2 - Þ Ç =  C C A BC C 
10 2 = Þ BC 
( )  10 
1 9 
5 2 3 
, = 
+ 
+ + 
= =  BC A d AH 
( )  10 . 2 
1 
= = Þ  AH BC S ABC  (đvdt) 
2.  Đặt: ( )  1 2 ; ; - + + =  z y x z y x F 
( ) ( ) Þ > 0 1 ; 3 ; 0 3 ; 2 ; 1  F F  A và B nằm về cùng phía của mp ( ) a 
( ) 1 1 1 1  ; ;  z y x B  I là trung điểm của BB1 
( ) ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ + + - - = Þ 
2 
1 
; 
2 
3 
; 
2 
, 1 ; 3 ;  1 1 1 1 1 1 1 
z y x 
I z y x BB 
B1 = Đa (B) ( ) ï î 
ï 
í 
ì 
= - + + Î 
= 
Û 
0 1 2 : 
) 1 ; 1 ; 2 ( // 1 
z y x I 
n BB 
a 
a 
ï î 
ï 
í 
ì 
= + + + 
- 
= 
- 
= 
Û 
0 2 2 
1 
1 
1 
3 
2 
1 1 1 
1 1 1 
z y x 
z y x 
( ) 0 ; 2 ; 2 1 - Þ B 
Chu vi  MAB D  , ký hiệu:  P 
2 3 6 6 6  1 1 + = + ³ + + = + + =  AB MB AM MB MA AB P 
Dấu “=” xảy ra  1 , ,  B M A Û  thẳng hàng 
( ) a Ç = Û  1 AB M 
( ) 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
+ = 
= 
+ = 
t z 
y 
t x 
AB 
3 
2 
1 
: 1 
( ) Þ = - + +  0 1 2 :  z y x a  M (­1 ; 2 ; 1) 
Min ( ) 3 3 2 + = P  , khi M (­1 ; 2 ; 1) 
Câu VIIb. (1 điểm) 
Giải phương trình: ( )  x x  x  3 log 2  log 6 log  3 = + 
Đặt:  t x t x  3 log 3 = Û = 
(1) 
Phương trình trở thành: 
( )  t t t = + 6 3 log 2 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
t t t  2 6 3 = + Û 
1 3 
2 
3 
= + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ Û  t 
t 
(2) 
t 
t 
t f  3 
2 
3 
) ( + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ =  là hàm số đồng biến trên  R 
÷ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
ç 
è 
æ 
" > + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ =  t t f  t 
t 
, 0 3 ln 3 
2 
3 
ln 
2 
3 
) ( ' 
) 1 ( ) ( ) 2 ( - = Û  f t f 
1 - = Û t  . Từ (1) ta được 
3 
1 
= x 
þ 
ý 
ü 
î 
í 
ì = 
3 
1 
S 
0,25 
0,25 
0,25