Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 107

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ  ĐỀ THI THỬ ĐH & CĐ (LẦN II) NĂM HỌC 2010 ­ 2011 
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ  Môn thi: Toán  Khối thi: A  (Ngày thi 09 tháng 04 năm 2011) 
Đề chính thức  Thời gian làm bài: 180 phút ( Không kể thời gian giao đề ). 
Đề thi bao gồm 01 trang, có 09 câu của hai phần. 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH  ( 07 điểm ) 
Câu I:  Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 m y x 3x m 1 x m 1 C = - + + + + + 
1.  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = ­ 1. 
2.  Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua các điểm cực trị, tiếp tuyến tại điểm cố định 
của đồ thị ( ) m C  với trục tung Oy. Tìm các giá trị thực của m để AB 2 =  . 
Câu II:  1. Giải phương trình lượng giác: 
7 
2 cos os 
2 1 
tan cot 2 cot 1 
p æ ö æ ö - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø = 
+ + 
x c x 
x x x 
2. Giải hệ phương trình sau: 
x 1 
2 x 2 x 1 
e y y 1 1 
y 1 e e 
+ 
+ + 
ì = - + + ï 
í 
+ = - ï î 
Câu III: Tính tích phân sau: 
3
2 x x 
ln dx 
2 2 1 1 x 1 x 
2 
ò 
- - 
Câu IV: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A = 60 o ; D’O 
vuông góc với (ABCD) ; cạnh bên tạo với đáy một góc j = 60 o . Hãy tính diện tích xung quanh và 
thể tích hình chóp C.ADC’. 
Câu V: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn  0 x y z ³ ³ >  . Chứng minh rằng: + + ³ + + 
2 2 2 
2 2 2 x y y z z x x y z 
z x y 
PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH  ( 03 điểm ) 
(Thí sinh chọn chỉ chọn một trong hai chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao để làm bài.) 
A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1. Cho đường tròn (C): 2 2 x y 5 + =  và điểm ( ) P 3;4 =  . Gọi A, B là các tiếp điểm của hai tiếp 
tuyến kẻ từ P. Đường thẳng đi qua giao điểm của AB với trục Ox và vuông góc với Ox, cắt PA, PB 
lần lượt tại C, D. Tìm tọa độ điểm E sao cho tam giác ECD là tam giác đều. 
2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  1 1 ( ) : 
2 2 1 
y x z d - + = = 
- 
mặt phẳng (P): x +2y - z =0, 
đường thẳng (d’) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( )  0 : = + +  z y x a  , ( )  0 2 2 2 : = + - +  z y x b  .Viết phương 
trình đường thẳng (D), biết rằng (D) vuông góc với (P) và (D) cắt cả hai đường thẳng (d) với (d’). 
Câu VII.a: XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc 
4 2 6 ;   (1 )(1 2 ); 
1 3 
i i i i 
i i 
+ - + 
- - 
. T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng. 
B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b:  1. Cho đường tròn ( ) 2 2 C : x y 10x 16 0 + + + =  và điểm ( ) T 1; 0  . Viết phương trình chính tắc 
của Hypebol (H). Biết (H) nhận tâm của đường tròn (C) làm một tiêu điểm và có hai tiệm cận lần 
lượt song song với hai tiếp tuyến kẻ từ điểm T đến dường tròn (C). 
2. Cho mặt phẳng (P):  2 2 1 0 x y z - + - =  và các đường thẳng  1 2 
1 3 5 5 
: ; : 
2 3 2 6 4 5 
x y z x y z 
d d 
- - - + 
= = = = 
- - 
. 
Tìm các điểm 
1 2 
d , d M N ΠΠ sao cho MN song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. 
Câu VII.b: Giải bất phương trình trên tập số thực: ( ) ( ) 2 2 0,5 2 1 log 2x 3x 1 log x 4x 3 x 1 0 2 - + + - + - + ³  . 
. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu 
www.laisac.page.tl
x 
y 
O 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THANH HÓA  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
TRƯỜNG THPT DAOD DUY TỪ  ĐỀ THI THỬ ĐH & CĐ (LẦN II) NĂM HỌC 2010 – 2011 
Môn thi: TOÁN ( Khối A) 
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) 
Ngày thi 09 tháng 04 năm 2011 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
Câu  Đáp án  Điểm 
1. (1,0 điểm). Khảo sát 
·  Với m = ­1, hàm số là y = ­ x 3 + 3x 2  (C­1) 
·  Tập xác định:  D R = 
­  Sự biến thiên:  Giới hạn:  lim , lim 
x x 
y y 
®+¥ ®-¥ 
= -¥ = +¥ 
0,25 
­  Chiều biến thiên:  2 ' 3 6 ; ' 0 0; 2 = - + = Û = = y x x y x x 
Bảng biến thiên: 
0,25 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ( ;0) -¥  và  (2; ) +¥  ; đồng biến trên khoảng  (0; 2) 
Hàm số đạt cực tiểu tại  0, 0 = = CT x y  ; đạt cực đại tại  2, 2 = = CD x y  0,25 
·  Đồ thị: 
4 
2 
­2 
­4 
­10  ­5  5  10 
f x ( ) = ­x 3 +3×x 2 
0,25 
2.(1,0 điểm) . Tìm m để AB = .. 
+/Ta có y’ = ­3x 2 + 6x + m + 1 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu ó m > ­4  0,25 
+/Đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình:(2m+8)x – 3y + 4(m+1) = 0. 
Giao điểm với trục tung Oy là 4m 4 A 0; 
3 
+ æ ö 
ç ÷ 
è ø 
0,25 
+/Đồ thị (Cm) có điểm cố định là I= (­1; 4) 
+/Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại I là: (m – 8)x – y + m – 4 = 0 
+/Giao điểm của tiếp tuyến với trục tung Oy là: B(0; m – 4) 
0,25 
Câu I 
(2,0 
điểm) 
* Ta có m 16 AB 2 2 m 16 3 2;m 16 3 2 
3 
+ 
= Û = Û = - + = - -  (loại)  0,25 
1. (1,0 điểm). Giải phương trình lượng giác. Câu II 
(2,0 
điểm)  Điều kiện: 
sin 2x 0 
cot x 1 
¹ ì 
í ¹ - î 
0,25 
­ 
-¥ 
+¥  4 
0 
_­ +  0 0 
y 
y’ 
+¥ 2 0 -¥ x 
Ta có: y” = ­6x + 6, nên đồ thị có 1 điểm uốn là U(1; 2) 
Đồ thị đi qua 2 điểm O(0; 0) và M(3; 0)
Ta có: 
1 7 
tan x cot x v cosx cos x cosx s inx 
sin 2x 2 
p æ ö + = - - = + ç ÷ 
è ø 
Phương trình trở thành: sin 2x 2 s inx = 
0,25 
( ) 2sin x cos x 2 s inx s inx 2 cosx 2 0 
s inx 0 
2 
cosx 
2 
Û = Û - = 
= é 
ê Û ê = ê ë 
0,25 
+/ s inx 0 =  (loại) 
+/ ( ) p p = Û = + ΢ 2 cos x x k2 k 
2 4 
,  Do ( ) p p = - + ΢ x k2 k 
4 
bị loại 
0,25 
2. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình. 
Điều kiện: 
0 
1 
³ ì 
í ³ - î 
x 
y 
.  Đặt 
+ ì = ³ ï 
í 
+ = ³ ï î 
x 1 e u;u e 
y 1 v;v 0 
0,25 
2 2 
2 2 2 2 
có: 
2 0 
= ì ì = - = - ì 
Û Û í í í - = = - = î î î 
u v u v v u v v 
Ta 
v v v u u u v 
2 Û = = u v  0,5 
Với  2 = = u v  : 
+ ì ì = + = ï ï Û í í 
+ = ï + = î ï î 
x 1 e 2 x 1 ln 2 
y 1 4 y 1 2 
. Hệ phương trình vô nghiệm. 
0,25 
Tính tích phân 
Đặt ( ) 2 2 
2 
2 
x 1 u ln du dx 
1 x x 1 x 
xdx 
dv v 1 x 1 x 
ì ì = = ï ï - ï ï - Þ í í 
ï ï = = - - ï ï î - î 
0,25 
( ) 
3 3 
2 2 2 
2 
2 2  1  1 
2  2 
1 1 3 1 1 3 
ó: I= 1 ln ln 3 ln ln3 
2 2 4 1  3 1 
x x 
Ta c x dx J J 
x x x 
æ ö - + 
- - + = - - + = - + ç ÷ ç ÷ - - è ø 
ò  0,25 
Tính 
( ) 
3 3 2 
2 4 2 2 
2  2 2 2 
1 1 1 
2 2 2 
1 1 
1  1 1 
- 
= = = 
- - - 
ò ò ò 
x x 
J dx dx dx 
x x  x x x x 
Đặt 2 u 1 x ;u 0 = - >  . Đổi cận: Khi = Þ = Þ = 
1 3 3 1 
x u ; khi x= u 
2 2 2 2 
Ta có: 2 2 2 2 u 1 x x 1 u xdx udu = - Û = - Þ = - 
Nên 
( ) ( ) ( ) 
1 1 1 
2 2 2 2 
2 2 3 
3 3 
2 
2 2 
udu du 1 u 1 1 1 
J ln ln ln 2 3 
2 u 1 2 3 1 u u u 1 
- æ ö = - = = = - - ç ÷ + è ø - - 
ò ò 
0,25 
Câu III 
(1,0 
điểm) 
Vậy ( ) 3 3 I ln3 ln 2 3 
4 
+ 
= - - -  0,25 
Câu IV  Tính thể tích khối chóp
O 
C  D 
A 
B 
D' 
A' 
C' 
B' 
H 
0,25 
Từ giả thiết: · = 0 D'DO 60 
Tam giác ABD đều, 
a 3 1 a 
AC 2AO 2. a 3 v OD BD ; DD'=a 
2 2 2 
= = = = = 
Gọi O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’. Ta có: OO' DD ' a = =  và OO'  AC ^ 
(do ( ) ' ' AC BDD B ^  ), nên diện tích tam giác ACC’ là: 
D = = = = 
2 
ACC ' ACC 'A ' 
1 1 1 a 3 
S S OO'.AC a.a 3 
2 2 2 2 
, trong đó  3 AC a = 
0,25 
Diện tích tam giác ACD là 
2 
ACD 
a 3 
S 
4 D 
= 
Kẻ OH vuông góc với CD thì D 'H CD v OD'H ^ D  vuông tại O. Do đó 
a 
DH 
4 
= 
Suy ra 2 2 
a 15 
D 'H D' D DH 
4 
= - =  . 
Diện tích tam giác C’CD là 
2 
C 'CD CDD'C ' 
1 1 1 a 15 a 15 
S S CD.D'H a. 
2 2 2 4 8 D 
= = = = Y 
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp C.ADC’ là: 
( ) D D D = + + = + + = + 
2 2 2 2 
xq ACC ' ACD CDC' 
a 3 a 3 a 15 a 3 
S S S S 6 5 
2 4 8 8 
0.50 
(1,0 
điểm) 
Thể tích 
2 3 
. ' '. 
1 
3 
1 3 3 
' . 
3 2 4 8 D 
= = = × × = C AC D C ACD ACD 
a a a 
V V D O S  (đvtt)  0,25 
Chứng minh bất đẳng thức 
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số  ; ;  và  ; ; 
y z x z x y 
x y z x y z 
z x y y z x 
Ta có: ( ) ( ) 
2 2 2 2 2 2  2 2 2 2  1 
x y y z z x x z y x z y 
x y z 
z x y y z x 
æ ö æ ö 
+ + + + ³ + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
0,25 
Câu V 
(1,0 
điểm) 
Xét hiệu: 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
( )( )( )( ) 
2 2 2 2 2 2 
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 
1 
= 
1 
= 
1 
= 0 
x y y z z x x z y x z y 
F 
z x y y z x 
x y y z z x x z y x z y 
xyz 
x y y x y z z y z x x z 
xyz 
x y y z x z xy yz zx 
xyz 
= + + - - - 
+ + - - - 
é ù - + - + - ë û 
- - - + + ³ 
0,25
Suy ra ( ) 
2 2 2 2 2 2 
2 
x y y z z x x z y x z y 
z x y y z x 
+ + ³ + + 
Từ (1) và (2). Ta được: 
( ) 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 x y y z z x x y y z z x x z y x z y  x y z 
z x y z x y y z x 
æ ö æ öæ ö 
+ + ³ + + + + ³ + + ç ÷ ç ÷ç ÷ 
è ø è øè ø 
0,25 
Vậy ( ) 
2 2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z z x x y z x y z 
z x y z x y 
æ ö 
+ + ³ + + Û + + ³ + + ç ÷ 
è ø 
Đẳng thức xảy ra  0 x y z Û = = >  . (ĐPCM) 
0,25 
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ các điểm A và B 
I 
O 
B 
E 
P 
D 
A 
C 
Kí hiệu ( ) ( ) A A B B A x ;y v B= x ;y = 
Đường thẳng đi qua các tiếp điểm A, B của đường tròn là: 3x 4y 5 + = 
Suy ra giao điểm của AB với trục Ox là 
5 
I ;0 
3 
æ ö = ç ÷ 
è ø 
0,25 
Do các tứ giác QICA và QIBD nội tiếp, nên tam giác OCD cân tại O, suy ra Ox là 
trục đối xứng của CD. Vậy E thuộc Ox. 
0,25 
Mặt khác,  · · · OPB OAB OCD v OP=5 a = = =  , nên 5 sin 
5 
a = 
Lại có 
2 
2 2 2 
2 2 
CI 1 CI 
cot cot 1 1 CI 4OI 
OI sin OI 
a a 
a 
= Û = + = + Û =  , nên 
20 
CD 2CI 
3 
= = 
0,25 
Gọi ( ) CD 3 10 3 5 10 3 E a;0 : EI a 
2 3 3 3 
= = Û - = 
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: 
5 10 3 5 10 3 
E ;0 v E'= ;0 
3 3 
æ ö æ ö + - 
= ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng  
Chọn ( ) ( ) M 2;2;0 ,N 1; 2;1 d ' = - = - Π , thì phương trình 
x 1 3t ' 
d ' : y 2 4t ' 
z 1 t ' 
= + ì 
ï = - - í 
ï = + î 
Gọi A, B là các giao điểm của D với d và d’. Khi đó tọa độ của A, B có dạng: 
( ) ( ) A 1 2t;1 2t; t v B = 1 3t '; 2 4t ';1 t ' = - + + - + - - + 
0,25 
Câu 
VI.a 
(2,0 
điểm) 
Mặt phảng (P) có 1 VTPT là ( ) n 1;2; 1 = - 
r 
và 
0,25
( ) AB 2 3t ' 2t; 3 4t ' 2t;1 t ' t = + - - - - + + 
uuur 
Lại do ( ) P D ^  , nên ( ) n 1;2; 1 = - 
r 
và ( ) AB 2 3t ' 2t; 3 4t ' 2t;1 t ' t = + - - - - + + 
uuur 
cùng 
phương, hay 
2 3t ' 2t 3 4t ' 2t 1 t ' t 
1 2 1 
+ - - - - + + 
= = 
- 
. Giải hpt ta được 
1 
t ' , t 1 
2 
= - = 
0,25 
Vậy đường thẳng D xác định bởi ( ) A 1;3; 1 = -  và có 1 VTCP là ( ) n 1;2; 1 = - 
r 
nên có 
phương trình là: 
x 1 y 3 z 1 
1 2 1 
- - + 
= = 
- 
0,25 
Số phức.. 
Ta có: 
( ) 
( )( ) 
4i i 1 4i 
2 2i 
i 1 i 1 i 1 
+ 
= = - 
- - + 
. Có điểm biểu diễn A= (2; ­2) 
( )( ) 1 i 1 2i 3 i - + = +  . Có điểm biểu diễn B= (3; 1) 
( )( ) 
( )( ) 
2 6i 3 i 2 6i 
2i 
3 i 3 i 3 i 
+ + + 
= = 
- - + 
. Có điểm biểu diễn C= (0; 2) 
0,5 
Xét 
( ) 
( ) 
BA 1; 3 BA 10 
BC 3;1 BC = 10 
= - - Þ = 
= - Þ 
uuur 
uuur  ; lại có BA.BC 0 BA BC = Û ^ 
uuur uuur 
Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B. 
0,25 
Câu 
VII.a 
(1,0 
điểm) 
Gọi số phức cần tìm là z a bi; a,b = + Ρ . Điểm D biểu diễn số phức z là: D=(a; b) 
ABCD là hình vuông Û 
a 0 1 a 1 
BA CD 
b 2 3 b 1 
- = - = - ì ì 
= Û Û í í - = - = - î î 
uuur uuur 
Vậy số phức z cần tìm là: z 1 i = - - 
0,25 
1. (1,0 điểm) . Viết phương trình Hypebol. 
Đường tròn ( ) ( ) 2 2 C : x 5 y 9 + + =  có tâm ( ) F 5;0 = -  và bán kính R = 3 
Đường thẳng có phương trình x = 1 đi qua T (1;0) không là tiếp tuyến của (C) 
Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) kx y k 0 - - = D 
0,25 
Đường thẳng ( ) D  là tiếp tuyến của (C) ( ) F; 2 
5k k 3 
d R 3 k 
3 k 1 
D 
- - 
Û = Û = Û = ± 
+ 
Theo bài ra: Phương trình các đường tiệm cận của Hypebol (H) là: 
3 
y x 
3 
= ± 
0,25 
Phương trình chính tắc của (H) là: 
2 2 
2 2 
x y 
1 
a b 
- =  với a, b, c >0 và 2 2 2 c a b = + 
Theo gỉa thiết: c = 5 nên 
2 
2 2 
2 2 
2 2 2 
75 
b 3 a 
a 3b 4 
a 3 
25 a b 25 b a b 25 
4 
ì ì = ï ì = = ï ï ï Û Û í í í 
+ = ï ï ï î = + = î ï î 
0,25 
Vậy phương trình (H) cần tìm là: 
2 2 x y 
1 
75 25 
4 4 
- =  0,25 
2. (1,0 điểm) . Tìm điểm thuộc đường thẳng ... 
Câu 
VI.b 
(2,0 
điểm) 
Phương trình tham số của d1  là: 
1 2 
3 3 
2 
x t 
y t 
z t 
= + ì 
ï = - í 
ï = î 
. M thuộc d1 nên tọa độ  M ( ) 1 2 ;3 3 ;2 t t t + -  .
Theo đề bài: 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
1 2 2 2 2 
|1 2 2 3 3 4 1|  |12 6 | 
, 2 2 12 6 6 1, 0. 
3 1 2 2 
t t t  t 
d M P t t t 
+ - - + - - 
= = Û = Û - = ± Û = = 
+ - + 
0,25 
+ Với t1 = 1 ta được ( ) 1  3;0;2 M  ; 
+ Với t2 = 0 ta được ( ) 2  1;3;0 M  0,25 
+ Ứng với M1, điểm N1  2 d Π cần tìm là giao của d2 với mp qua M1 và song song với 
mp (P), gọi mp này là (Q1). PT (Q1) là: ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2 2 7 0(1) x y z x y z - - + - = Û - + - =  . 
Phương trình tham số của d2  là: 
5 6 
4 
5 5 
x t 
y t 
z t 
= + ì 
ï = í 
ï = - - î 
(2) 
Thay (2) vào (1), ta được: ­12t – 12 = 0 Û  t = ­1. Điểm N1 cần tìm là N1(­1;­4;0). 
0,25 
+ Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;­5).  0,25 
Giải bất phương trình logarit 
Điều kiện xác định: 
( ) 
2
2 
2 
2x 3x 1 0 
1 
x 4x 3 0 x 1 
2 
x 4x 3 x 1 0 
ì - + > 
ï ï - + ³ Û < í 
ï 
- + - + > ï î 
0,25 
BPT 
( ) 
( )( ) ( )( ) ( ) 
2 2 
0,5 0,5 
2 2 
log 2x 3x 1 log x 4x 3 x 1 
2x 3x 1 x 4x 3 x 1 
1 x 1 2x 1 x 3 x 1 x 
Û - + ³ - + - + 
Û - + £ - + - + 
Û - - £ - - + - 
0,25 
( )( ) 1 2x 3 x 1 x 3 2 3 x 1 x Û - £ - + - Û - £ - -  (luôn đúng với mọi 1 x 
2 
<  )  0,25 
Câu 
VII.b 
(1,0 
điểm) 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 
1 
S ; 
2 
æ ö = -¥ ç ÷ 
è ø  0,25 
Ghi chú:  Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa