Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 110

 Gv : Nguyễn Thúy Hà 
 Së GD & §T Phó Thä §Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011 
Tr−êng THPT YÓn Khª M«n: TOÁN; Khối : A, B 
 Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát ñề 
Câu I (2.0 ñiểm) 
Cho hàm số 4 2
1 1
y x x 1
4 2
= − + . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số. 
2. Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ ñiểm M ñến hai trục tọa ñộ là nhỏ nhất. 
Câu II ( 2.0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: cos8x + 3cos4x + 3cos2x = 8cosx.cos33x –
2
1
 2. Giải hệ phương trình : 




=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
 Câu III (1.0 ñiểm) 
Tính tích phân 
( )( )
1
x 2
1
dx
1 e 1 x− + +
∫ 
Câu IV (1.0 ñiểm) 
Cho hình chóp tứ giác ñều có ñộ dài cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng 
2
5a
. Tính góc tạo bởi 
mặt bên với mặt ñáy và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp ñó. 
Câu V ( 1.0 ñiểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
xx
xx
y
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
= 
Câu VI (2.0 ñiểm) 
 1. Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) cho hình bình hành ABCD với A(1, 1); B(4, 5). Tâm I của 
hình bình hành thuộc ñường thẳng d: x + y + 3 = 0. Tìm tọa ñộ ñỉnh C, D biết rằng diện tích hình 
bình hành ABCD bằng 9. 
 2. Trong hệ trục tọa ñộ (Oxyz) cho A(1, 1, 1), B(2, 0, 6), C (3, 2, 0) và D(7, 4, 2). Lập 
phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và cách ñều C, D. 
Câu VII (1.0 ñiểm) 
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 1333 =++ −−− zyx . Chứng minh rằng: 
4
333
33
9
33
9
33
9 zyx
xyz
z
zxy
y
zyx
x ++
≥
+
+
+
+
+ +++
-----------------Hết----------------- 
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh.................................................... ; Số báo danh ........................ 
§Ò chÝnh thøc 
CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN 
nguoilaid02011@gmail.com.vn sent to www.laisac.page.tl
 Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê 
 SỞ GD & ðT PHÚ THỌ ðÁP ÁN-THANG ðIỂM 
TRƯỜNG THPT YỂN KHÊ §Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011 
ðỀ CHÍNH THỨC 
CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN 
Môn : TOÁN; Khối : A, B 
CÂU ðÁP ÁN ðIỂM 
1.(1 ñiểm) Khảo sát 
+) Tập xác ñịnh: D= R 
+) Sự biến thiên: 
 - Chiều biến thiên: xxy −=′ 3 ; 10 ±=⇔=′ xy hoặc .0=x 
0,25 
 Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ∞+ ); nghịch biến trên 
khoảng ( 1;−∞− ) và (0;1). 
 - Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại 
4
3
,1 =±= CTyx ; ñạt cực ñại tại 
1,0 == Cðyx 
 - Giới hạn: +∞==
+∞→−∞→ xx
limlim 
0,25 
 - Bảng biến thiên: 
 x ∞− -1 0 1 ∞+ 
 y′ - 0 + 0 - 0 + 
 y ∞+ 0 ∞+ 
4
3
4
3
0,25 
+) ðồ thị: 
f(x)=(1/4)x^4-(1/2)x^2+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0,25 
2. (1,0 ñiểm): Tìm ñiểm M 
ðồ thị ( C) cắt Oy tại A(0;1), nên tổng các khoảng cách từ A ñến hai trục tọa ñộ 
bằng 1. ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực tiểu (
4
3
;1− ), (
4
3
;1 ) và nhận trục Oy làm 
trục ñối xứng, nên ta chỉ cần xét M ( ) ( )Cyx ∈00 ; và 10 0 ≤≤ x 
0,5 
Tổng các khoảng cách từ M ñến hai trục tọa ñộ là: 
( ) 112
2
1
4
1
1
2
1
4
1
00
4
0
2
0
4
000000 ≥+−+=+−+=+=+ xxxxxxyxyx 
0,5 
I(2ñiểm) 
Với mọi x0: 10 0 ≤≤ x , ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0 = 0 ⇒ y0 = 1. 
Vậy ñiểm M (0;1) 
II(2ñiểm) 1. (1 ñiểm): Giải phương trình 
 Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê 
Phương trình ñã cho tương ñương với phương trình: 
 ( )
2
1
3cos39coscos22cos34cos38cos −+=++ xxxxxx 
2
1
3cos.cos69cos.cos22cos34cos38cos −+=++⇔ xxxxxxx 
0,5 
Zk
k
xkxx
xxxxxxx
∈+±=⇔+±=⇔=⇔
−++=+⇔
,
530
2
3
10
2
1
10cos
2
1
cos.3cos68cos10coscos.3cos68cos
ππ
π
π
 0,5 
2.( 1 ñiểm): Giải hệ pt 




=+−+
=+
⇔




=−−−
=+−+
⇔




=−−−
=+−+
143
0205
38923
312933
38923
143
22
2
22
22
22
22
yxyx
yy
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
 0,5 














−=
±
=





=
±
=
⇔





=+−+



−=
=
⇔
4
2
133
0
2
133
143
4
0
22
y
x
y
x
yxyx
y
y
Vậy nghiệm của hệ là: 







−
±







 ±
4;
2
133
;0;
2
133
0,5 
( 1 ñiểm): tính tích phân 
Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ +++++=++= −−
1
0 2
0
1 2
1
1 2 111111 xxx ex
dx
ex
dx
ex
dx
I 
Xét ( )( )∫− ++=
0
1 2 11 xex
dx
J , ðặt dxdtxt =⇒−= 
Khi 11,00 =⇒−==⇒= txtx . Khi ñó ( )( )∫ ++=
1
0 2 11 t
t
et
dte
J 
0,5 
III(1ñiểm) 
∫ +=⇒
1
0 21 x
dx
I , ðặt ;
cos
1
tan
2
du
u
dxux =⇒= 
Với 
4
1;00
π
=⇒==⇒= uxux . Khi ñó 
4
0
44
0
π
ππ
=== ∫ uduI 
0,5 
(1 ñiểm) IV(1ñiểm) 
Gọi H là tâm của ñáy ABCD, ta có SH⊥ (ABCD); M là trung ñiểm của BC thì 
BC⊥ (SMH), do các mặt bên tạo với ñáy cùng một góc, nên góc SMH bằng góc 
tạo bởi mặt bên với ñáy. 
Ta có: SH = 
2
322 aAHSA =− , HM = 
2
a

 
 0SHtan SMH 3 SMH 60
SM
⇒ = = ⇒ = 
0,5 
 Hình chóp S.ABCD ñều, nên tâm I của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là giao 
của ñường thẳng SH với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên nào ñó của hình 
chóp. 
0,5 
 Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê 
Gọi N là trung ñiểm của SC, thì IN là trung trực của SC. Suy ra SNI∆ ñồng 
dạng với SHC∆ 
34
5a
SIR ==⇒ 
Vậy V= 
432
3125
3
4 33 ππ
a
R = 
N
M
H
C
A B
D
S
I
 (1 ñiểm):tính GTLN 
( )
( ) 3cos4cos3
4cos4cos3
cos2cos13
cos14cos3
24
24
222
24
+−
+−
=
+−
−+
=
xx
xx
xx
xx
y 0,25 
ðặt 
3
5
3
5
3
2
cos33cos4cos3
2
224 ≥+




 −=+−= xxxt , mà 1cos0 2 ≤≤ x nên 
ñiều kiện của t là 3
3
5
≤≤ t . Khi ñó 
t
t
y
1+
= (1), với 3
3
5
≤≤ t . 
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số (1) trên ñoạn [ 3;
3
5
] 
0,25 
V(1 ñiểm) 
Trên ñoạn [ 3;
3
5
], ta có 0
1
2
<
−
=′
t
y 
Vậy =






3;
3
5
Maxy
5
8
3
5 =






y ; ( ) 3
4
3
3;
3
5
==




yMin 
0,5 
1 (1 ñiểm):  
VI(1ñiểm) 
Ta có ( )4;3=AB , ðường thẳng có dạng : 0134 =−− yx 
Vì dI ∈ , nên tọa ñộ ( )3; 00 −−xxI ⇒ tọa ñộ của C ( )72;12 00 −−− xx 
Diện tích của hình bình hành ABCD là : S=2 ( )ABCdABS ACB ,.=∆ 
AB = 5, 
( )
5
1614
, 0
+
=
x
ABCd
5
1614
.5 0
+
=⇒
x
S =9






−=
−
=
⇔=+⇔
14
25
2
1
91614
0
0
0
x
x
x 
0,5 
 Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê 
Với ( )6;2
2
1
0 −−⇒−= Cx , và ( )10;52
5
;
2
1
−−⇒




 −− DI 
Với ,
7
24
;
7
32
14
25
0 




 −−⇒−= Cx và 




 −−⇒




 −−
7
52
;
7
53
14
17
;
14
25
DI 
0,5 
2(1 ñiểm) 
Gọi mặt phẳng (P) có phương trình : 0=+++ dczbyax . Vì mặt phẳng (P) ñi 
qua A (1;1;1) và B(2;0;6) nên ta có : 



=++
=+++
062
0
dca
dcba
 (I) 
Mặt khác (P) cách ñều C và D nên ta có d(C,(P)) = d(D,(P)) 
Tức là: 


=+++
=++
⇔+++=++
035
02
24723
dcba
cba
dcbadba (II) 
0,5 
Chọn c = 1 và từ (I) và (II) ta có: 























−=
=
−=





−=
=
−=
⇔















−=++
−=+
−=++





−=+
−=+
−=++
3
8
3
10
3
5
2
3
2
135
62
1
12
62
1
d
b
a
d
b
a
dba
da
dba
ba
da
dba
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là: 0232 =−++− zyx và 083105 =−++− zyx 
0,5 
(1 ñiểm) 
VII(1ñiểm) 
ðặt zyx cba 3;3;3 === 
Theo giả thiết ta có a, b, c > 0 và abccabcab =++ (1) 
Bất ñẳng thức cần chứng minh: 
4
4
2
3
2
3
2
3
222
cba
abcc
c
abcb
b
abca
a
cba
abc
c
cab
b
bca
a
++
≥
+
+
+
+
+
⇔
++
≥
+
+
+
+
+ 
Thay abc vào bất ñăng thức ta có: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
333 cba
bcac
c
abcb
b
caba
a ++
≥
++
+
++
+
++
0,5 
 Áp dụng BðT cô si cho 3 số dương ta có: 0,5 
 Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê 
( )( )
( )( )
( )( ) 4
3
64
.3
88
4
3
64
.3
88
4
3
64
.3
88
3
33
3
33
3
33
ccbcac
bcac
c
bbabcb
abcb
b
aacaba
caba
a
=≥
+
+
+
+
++
=≥
+
+
+
+
++
=≥
+
+
+
+
++
Cộng ba bất ñẳng thức cùng chiều trên ta có ðPCM