Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 113

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT MỸ ĐỨC  A 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011  LẦN 3 
Môn thi : TOÁN – KHỐI A 
( Đề thi gồm có 01 trang) 
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) 
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số  4 2 4 2 2 y x mx m m = + - + 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi  1 m = - 
2.Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị A, B, C tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 o 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải bất  phương trình 
2 2 5 3 2 3 6 .5 
2 
3 .5 1 
x 
x 
x x x x 
x 
- 
- 
- + + - + + 
< 
- 
2. Giải phương trình ( )( ) 2  cos 1 2 1 sinx tan 1 
sin cos 
x 
x 
x x 
- 
+ + = 
+ 
. 
Câu III (1,0 điểm)  Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hoành hình 
phẳng  giới hạn  bởi đồ thị hàm số  2 ln(1 ) y x x = +  , trục Ox và đường thẳng x =1 
Câu IV(1,0 điểm) Cho lăng trụ  . ABC A B C ¢ ¢ ¢  có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của 
C¢  lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, ( ) ( ) ACC A BCC B ¢ ¢ ¢ ¢ ^  , 
khoảng cách từ O đến CC¢  bằng  a . Hãy tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a. 
Câu V (1,0 điểm)  Cho  x,y  là các số thực thỏa mãn:  4 4 log (x 2y) log (x 2y) 1 + + - =  . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x y = - 
Câu VI( 2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật ABCD biết 
phương trình các  đường thẳng  : 2 0 AD x y + + =  ;  : 3 6 0 AC x y - + =  và đường thẳng 
BD  đi qua điểm ( ) 6; 12 E - - 
2.Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 
1 2 
: ; 
2 1 1 
x y z 
d 
+ - 
= = 
- 
4 1 
: 
3 1 
x y 
d z 
- - ¢ = = 
- 
và mặt phẳng ( ) : 2 1 0 x y z a + + - =  . Hãy viết phương trình đường thẳng D  nằm trên ( ) a  , 
Dvuông góc với  d  và D  cắt d¢ 
Câu VII(1,0 điểm))  Tìm số phức z thỏa mãn : 
2 2 
. 6 z z z z + + =  và  1 z z + = 
­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­ 
Họ và tên :..                                  SBD 
www.laisac.page.tl
1 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 
(Gồm có 5 trang) 
ĐÁP ÁN  ĐIỂM 
Câu I.1.(1 điểm) 
* TXĐ: R (Hàm số chẵn) 
* Sự biến thiên: + ( ) ' 3 2 4 4 4 1 0; 0 0; 1 y x x x x y x x ¢ = - = - = = Û = = ± 
... 
Xét dấu  y¢  suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) 1;0 , 1; - +¥ 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ) ; 1 , 0;1 -¥ - 
... 
+ Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại  0 3 x y = Þ = 
Hàm số đạt cực tiểu tại  1 2 x y = ± Þ = 
+ Giới hạn :  4  2 4 
2 3 
lim lim 1 
x x 
y x 
x x ®±¥ ®±¥ 
é ù = - + = +¥ ê ú ë û 
... 
. 
* Vẽ đồ thị : 
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( ) 2;11 ,... ± 
f (x )=x^4­2*x^2+3 
­25  ­20  ­15  ­10  ­5  5  10  15 
­30 
­25 
­20 
­15 
­10 
­5 
5 
10 
x 
y 
0,25 
0,25 
0,25 
. 
0,25 
.. 
0,25 
Câu I.2.(1 điểm) 
x "  , ta có  3 2 2 4 4 4 0 0 y x mx x x m x x m ¢ é ù = + = + = Û = Ú = - ë û 
Hàm số có ba cực trị khi  0. m <  Khi đó ba điểm cực trị của hàm số là  0, x x m = = ± - 
... 
Các giá trị tương ứng là ( ) ( ) 4 4 2 0 2 , 2 y m m y m m m m = - ± - = - - 
Đặt ( ) ( ) ( ) 4 4 2 4 2 0; 2 , ; 2 , ; 2 A m m B m m m m C m m m m - - - - - - - - 
0,25 
x 
'y 
y 
­  0      +   0  ­  0      + 
-¥  ­1           0           1  +¥ 
+¥ 
2 
3 
2 
+¥
2 
( ) 2 4 ; AB m m AB m m = - - Þ = - + uuur  ; ( ) 2 4 ; AC m m AC m m = - - - Þ = - + uuur 
ABC Þ D  cân tại A. Theo đề ( ) ( )  . 1 , 120 os , os120 
. 2 
o o  AB AC AB AC c AB AC c 
AB AC 
Þ = Þ = Û = - 
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 
. 
4 
4  3 
1 1 
2  3 
m m 
m 
m m 
+ - 
Û = - Û = 
- 
(thỏa mãn đk).                Vậy giá trị phải tìm là 
3 
1 
3 
m 
- 
= 
0,25 
. 
0,25 
0,25 
Câu II.1.(1 điểm) 
Đk 
cos 0 
t anx 1 
x ¹ ì 
í ¹ - î 
Pt Û ( ) 
( )( ) 
2 1 s inx  cos 1 
1 s inx 1 s inx sin cos 
x 
x 
+ - 
= 
+ - + 
......................................................................................................................................................... 
Û sinx+cosx+sinxcosx+1=0 Û ( ) 1 s inx + ( ) 1 osx c +  = 0 
......................................................................................................................................................... 
Û  cosx =­1 ( Loại sinx = ­1) Û x=(2k+1)p 
0,25 
0,25 
0,25 
.0,25 
Câu II.2.(1 điểm) 
ĐK : 
2  1 ;3 3 5 2 0 
2 
3 .5 1 0 
3 .5 1 0 
x 
x 
x x x 
x 
x 
- 
- 
ì é ù Î - ì + - ³ ï ê ú Û ë û í í 
- ¹ î ï - ¹ î 
.. 
Xét hàm số ( )  1 3 .5  x f x x - = - +  với  1 ;3 
2 
x é ù Î -ê ú ë û 
Hàm số ( ) f x  liên tục và có ( ) ( ) [ ] 3.5 3 .5 1 ln 5 3.5 1 ln 5 x x x f x x x - - - ¢ = + - = -  ; 
( )  1 0 
ln 5 
f x x ¢ = Û =  Tính 
1 
2 1 3 1 .5 0 
2 2 
f 
- æ ö = - - < ç ÷ 
è ø 
; ( )  3  9 3 1 9.5 1 0 
125 
f - = - + = - + < 
1
ln 5 
1
ln 5 
1 3 3 1 
1 .5 1 . 0 
ln 5 ln 5 ln5 
5 
f 
- æ ö = - + = - + < ç ÷ 
è ø 
( ) ( ) 
1 
;3 
2 
1 
ax 0 0, ;3 
2 
m f x f x x 
é ù -ê ú ë û 
é ù Þ < Þ < " Î -ê ú ë û 
.. 
BPT đã cho  2 2 5 3 2 3 6 .5 6 .5 2 x x x x x x x - - Û - + + - + + > -  2 3 5 2 3 x x x Û + - > - 
2 2 2 
3 0 0 
3 0 0 
3 5 2 9 11 5 3 0 
x x 
x x 
x x x x x 
- é é 
ê ê Û Û - ³ £ ì ì ê ê í í ê ê + - > - - < î î ë ë 
0 
0 
0 
5 157 
0 5 157 5 157 
22 
22 22 
x 
x 
x 
x 
x 
> é 
> é ê £ ì ê ê Û Û ï - ê ê < £ í - + ê ê < < ë ï î ë 
................. 
5 157 
22 
x 
- 
Û >  mà 
1 5 157 
;3 3 
2 22 
x x 
- é ù - Þ < £ ê ú ë û 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
3 
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là 
5 157 
;3 
22 
æ ù - 
ç ú ç 
è û 
Câu III. (1 điểm) 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là : 
2 ln(1 ) 0 0 x x x + = Û =  .  V= 
1 
2 2 
0 
ln(1 ) . x x dx I p p + = ò 
.. 
Đặt 
2  2 
3 2 
2 
ln(1 )  1 
3 
x 
du dx 
u x  x 
x dv x dx 
v 
ì = ï ì = + ï ï + Þ í í 
= ï î ï = 
ï î 
I  = 
1 3 4 
2 1 
0  2 
0 
2 
ln(1 ) 
3 3 1 
x x 
x dx 
x 
+ - 
+ ò 
.. 
1 1 
2 
2 
0 0 
1 2 2 1 1 4 
ln 2 ( 1) ln 2 
3 3 3 1 3 9 
x dx dx J 
x 
= - - - = + - 
+ ò ò 
. 
Đặt x = tant,  0; 
2 
t p æ ö Î ç ÷ 
è ø 
/4
0 
2 
3 6 
J dt 
p p 
Þ = = ò  , ta được  V = 
1 4 
ln 2 
3 9 6 
p p æ ö + - ç ÷ 
è ø 
(đvtt) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu IV. (1 điểm) 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC  O CM BN Þ = Ç 
Hạ OH CC¢ ^  tại H  OH a Þ = 
( ) C O ABC C O AB ¢ ¢ ^ Þ ^ 
mà  AB CM AB CC¢ ^ Þ ^ 
Hạ  AI CC¢ ^  tại I  CC BI ¢ Þ ^ 
nên góc giữa ( ) ACC A ¢ ¢  và ( ) BCC B ¢ ¢ 
bằng góc  0 90 AIB = 
Ta có  // CC IM IM OH ¢ ^ Þ 
2 
3 
OH CO a 
MI CM MI 
Þ = Þ = 
3 
2 
IM a Þ = 
AIB D  vuông cân tại I Þ  2 3 AB IM a = = 
2 
0 1 9 3 .3 .3 .sin 60 
2 4 ABC 
a 
S a a = = 
3 3 3 
. 
2 2 
a 
CM AB = =  . 
2 
3 
3 
OC CM a = = 
Tam giác vuông COC¢  có  2 2 2 
1 1 1 3 
2 
a 
OC 
OH OC OC 
¢ = + Þ = 
¢ 
Thể tích lăng trụ là 
3 27 2 
. 
8 ABC 
a 
V S OC¢ = = 
0,5 
0,5 
C' 
A' 
B' 
I 
H 
O 
N 
M 
C  B 
A
4 
Câu V. (1 điểm)  Điều kiện : 
î 
í 
ì 
> 
- > 
y x 
y x 
2 
2 
. Suy ra  0 > Þ x 
.. 
Ta có : log 4 (x+2y)+log 4 (x­2y)=1 Û log 4 (x 
2 ­4y 2 )=1 Û x 2 ­4y 2 =4  4 4  2 + = Û  y x 
(do x > 0) suy ra :  y y y x - + = -  4 4 2 2  2 
.............................................................................................................................................. 
Đặt:  t y , t 0 = ³  Xét :  t t t f - + =  4 4 2 ) (  2  , với  0 ³ t  . 
4 4 
4 4 8 
1 
4 4 
8 
) ( 
2 
2 
2 
' 
+ 
+ - 
= - 
+ 
= 
t 
t t 
t 
t 
t f 
15 
1 
0 ) ( ' = Û =  t t f  (do  0 ³ t  ).Bảng biến thiên: 
t  0 
15 
1 
+¥ 
f’(t)  ­  0  + 
f(t) 
4                                       +¥ 
15 
....................................................................................................................................................... 
Từ bảng biến thiên suy ra  15 ) ( ³ t f Þ  P=  2 15 x y - ³  .Dấu đẳng thức xảy ra 
15 
1 
, 
15 
8 
± = = Û  y x  . Giá trị nhỏ nhất của P=  2x y -  là  15 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu VI.1. (1 điểm) 
Đặt ( ) ; n a b = 
r 
là VTPT của BD ( ) ( ) ( ) : 6 12 0 . 6 12 0 pt BD a x b y a x by a b Þ + + + = Û + + + =  , 
(  2 2  0 a b + ¹  ) BD có VTPT ( ) ; n a b = 
r 
; AD có VTPT ( ) 1  1;1 n = 
ur 
; AC có VTPT ( ) 2  1; 3 n = - 
uur 
( ) ( ) ( ) ( ) , , os , os , BD AD AD AC c BD AD c AD AC = Þ = 
1 2 
2 2 
1 2 
. .  1 2 
2 10 . .  2 
n n n n  a b 
n n n n  a b 
+ - 
Û = Û = 
+ 
r ur r uur 
r ur r uur 
.. 
( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 2 10 4 a b a b a b a b Û + = + Û + = + 
( ) 
2 
2 2 3 10 3 0 3 10 3 0, 0 
a a 
a ab b b 
b b 
æ ö æ ö Û + + = Û + + = ¹ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
1 
3 
3 
a a 
b b 
Û = - Ú = - 
Nếu 
1 
3 
a 
b 
= -  chọn ( ) 3 1 : 3 30 0 b a pt BD x y = - Þ = Þ - - =  loại vì // AC 
Nếu  3 
a 
b 
= -  chọn ( ) 1 3 : 3 6 0 b a pt BD x y = - Þ = Þ - + =  .  3 3; 
2 2 
I AC BD I 
- æ ö = Ç Þ ç ÷ 
è ø 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu VI.2. (1 điểm) 
( ) a  có VTPT ( ) 1;1;2 n = 
r 
.  d  có VTCP ( ) 2;1; 1 u = - 
r 
.......................................................................................................................................................................  0,25
5 
Theo đề Þ D  có VTCP ( ) , 3;5; 1 u n u é ù ¢ = = - - ë û 
ur r r 
........................................................................................................................................................... 
Gọi ( ) A d a ¢ = Ç Þ tọa độ A thỏa mãn 
4 1 
3 1
2 1 0 
x y 
z t 
x y z 
- - ì = = = ï 
- í 
ï + + - = î 
( ) ... 1; 2; 1 A Þ Þ - 
...................................................................................................................................................... 
D  là đường thẳng qua ( ) 1;2; 1 A -  và có VTCP ( ) 3;5; 1 u¢ = - - 
ur 
nên có pt : 
1 2 1 
3 5 1 
x y z - - + 
= = 
- - 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu VII. (1 điểm) 
Gọi z = x + iy  ta có 
2 2  2 2 ; z x iy z z z z x y = - = = = + 
.. 
2 2  2 2 2 2 . 6 3( ) 6 ( ) 2 (1) z z z z x y x y + + = Û + = Û + = 
.. 
1 
1 2 1 (2) 
2 
z z x x + = Û = Û = 
. 
Từ (1) và (2) tìm được x =  1 
2 
;  y = 
7 
2 
± 
Vậy các số phức cần tìm là 
1 7 1 7 
; 
2 2 2 2 
i i + - 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Ghi chú: Cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa như đáp án .