Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 120

Sở GD&đt HƯNG YÊN  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC  LẦN 2 NĂM HỌC 2010 – 2011 
TRƯờng thpt minh châu  MễN TOÁN ưKHỐI A+B 
Thời gian làm bài : 180 phỳt(khụng kể thời gian giao đề) 
I/PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) 
Cõu I(2,0 điểm): Cho hàm số: 
1 
2( 1) 
x 
y 
x 
- 
= 
+ 
1.  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2.  Tỡm những điểm M trờn (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giỏc cú 
trọng tõm nằm trờn đường thẳng  4x + y = 0. 
Cõu II(2,0 điểm)  1. Giải phương trỡnh :  2 cos 4 2cos sin(3 ) sin( ) 1 
3 3 
x x x x p p + + - + - = 
2.Giải hệ phương trỡnh : 
6 2 3 3 
2 3 3 6 3 4 
x 
x y y 
y 
x x y x y 
ỡ - = - + ù 
ớ 
ù + - = + - ợ 
.     (với  x R ẻ  ) 
Cõu III(1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 
2 5 
2 2 
2  ( 1) 5 
xdx 
I 
x x 
= 
+ + 
ũ  . 
Cõu  IV(1,0  điểm):  Cho  hỡnh  chúp  S.ABCD  cú  đỏy  là  hỡnh  thang  vuụng  tại  A,  B.  Hai mặt  phẳng 
(SAB), (SAD) cùng vuụng gúc với đỏy. Biết AB = 2a, SA = BC = a,  5 2a CD =  . Tớnh thể tích khối 
chóp S.ABCD. Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD. 
Cõu V(1,0 điểm). Cho 2 số thực x, y  thỏa món :  2 2 1 1 x y x y + = - + + +  . 
Tỡm GTLN, GTNN của  F = 
2(1 ) 
( ) ( ) 
2 2 
xy x y x y 
x y y x 
x y 
+ + 
- + - + 
+ 
. 
II/PHẦN RIấNG (3,0 điểm)Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A/Theo chương trỡnh Chuẩn: 
Cõu VIa (2,0điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , cạnh BC nằm 
trên đường thẳng có phương trình x+2y-2= 0. Đường cao kẻ từ B có phương trình: x-y+4=0, điểm 
M(-1;0) thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác 
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và H là hình chiếu 
của O lên mp(ABC) .Gọi D là điểm đối xứng với H qua O .Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình 
chóp ABCD . 
Câu VIIa: (1điểm) Gọi  1 2 ; z z  là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh: 
2  4 5 0 z z - + =  . 
Tớnh:  2011 2011 1 2 ( 1) ( 1) z z - + - 
B/Theo chương trỡnh Nõng cao: 
Cõu VI b(2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1) và AC = 2BD. 
Điểm M 
1 
(0; ) 
3 
thuộc đường  thẳng AB,  điểm N(0;7)  thuộc đường  thẳng CD. Tỡm  tọa độ đỉnh B  biết B  cú 
hoành độ dương. 
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng :  1 
1 
: 2 
1 
x t 
d y t 
z 
= + ỡ 
ù = - ớ 
ù = ợ 
;  2 
2 1 1 
: 
1 2 2 
x y z 
d 
- - + 
= = 
- 
. 
Viết phương trỡnh mp(P) song song với  1 d  và  2 d  , sao cho khoảng cỏch từ  1 d  đến (P) gấp hai lần khoảng cỏch 
từ  2 d  đến (P). 
Cõu VII.b( 1,0điểm). Giải hệ phương trỡnh:  2 
log ( 2 8) 6 
8 2 .3 2.3 x x y x y 
y x 
+ 
- + = ỡ ù 
ớ 
+ = ù ợ 
HẾT ! 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu.Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh:.Số bỏo danh: 
www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 2 
MễN TOÁN ư KHỐI A 
Cõu  Nội Dung  Điểm 
I 
(2,0đ) 
1. (1,0đ) 
TXĐ: D = R\{ } 1 - 
Chiều biến thiờn:  , 
2 
1 
0 
( 1) 
y 
x 
= > 
+ 
, với  x D " ẻ 
ịhàm số đồng biến trờn mỗi khoảng : ( ) ; 1 -Ơ -  và ( ) 1; - +Ơ 
Cực trị: hàm số khụng cú cực trị 
Giới hạn, tiệm cận : 
1 
2 x 
limy 
đ+Ơ 
=  ,  1 
2 x 
lim y 
đ-Ơ 
=  ; 
( 1) x 
lim y 
+ đ - 
= -Ơ  , 
( 1) x 
lim y 
- đ - 
= +Ơ 
ị 
1 
2 
y =  là tiệm cận ngang;  1 x = -  là tiệm cận đứng. 
Bảng biến thiờn: 
Đồ thị: đi qua cỏc điểm (0;  1 
2 
-  )  ; (ư2;  3 
2 
) 
Nhận giao điểm của hai tiệm cận I(ư1;  1 
2 
) làm tõm đối xứng 
2. (1,0đ) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
-Ơ +Ơ 
1 
2 
+Ơ  1 
2 
-Ơ 
1 - x 
, y 
y 
1 
2 
-1 
I 
O 
y 
x
. II 
(2,0đ) 
í 1 
2.Gọi M(  0 0 
0 
1 
; 
2( 1) 
x 
x 
x 
- 
+ 
)  ( ) C ẻ  là điểm cần tỡm 
Gọi D  tiếp tuyến với (C) tại M ta cú phương trỡnh 
D :  '  0 0 0 
0 
1 
( )( ) 
2( 1) 
x 
y f x x x 
x 
- 
= - + 
+ ( ) 
0 
0 2 
0 0 
1 1 
( ) 
2( 1) 1 
x 
y x x 
x x 
- 
ị = - + 
+ + 
Gọi A = D ầox ịA( 
2 
0 0 2 1 
2 
x x - - 
-  ;0) 
B = D ầoyị B(0; 
2 
0 0 
2 
0 
2 1 
2( 1) 
x x 
x 
- - 
+ 
). Khi đú D tạo với hai trục tọa độ DOAB 
cú trọng tõm là: G( 
2 2 
0 0 0 0 
2 
0 
2 1 2 1 
; 
6 6( 1) 
x x x x 
x 
ổ ử - - - - 
- ỗ ữ + ố ứ 
. 
Do Gẻ đường thẳng:4x + y = 0ị 
2 2 
0 0 0 0 
2 
0 
2 1 2 1 
4. 0 
6 6( 1) 
x x x x 
x 
- - - - 
- + = 
+ 
Û 
( ) 2 0 
1 
4 
1 x 
= 
+ 
(vỡ A, B ạ O nờn  2 0 0 2 1 0 x x - - ạ  ) 
0 0 
0 0 
1 1 
1 
2 2 
1 3 
1 
2 2 
x x 
x x 
ộ ộ + = = - ờ ờ 
Û Û ờ ờ 
ờ ờ + = - = - ờ ờ ở ở 
Với  0 
1 1 3 
( ; ) 
2 2 2 
x M = - ị - -  ; với  0 
3 3 5 
( ; ) 
2 2 2 
x M = - ị -  . 
1. (1,0đ) 
PtÛ  cos4x + cos2x + sin(3x ư 
3 
p  ) + sin(xư 
3 
p  ) = 0 
Û 2cos3x. cosx + 2sin(2xư 
3 
p  ). cosx = 0 
2cos os3 sin(2 ) 0 
3 
x c x x 
p ộ ự Û + - = ờ ỳ ở ỷ 
cos 0 
os3 sin(2 ) 0 
3 
x 
c x x p 
= ộ 
ờ Û 
ờ + - = 
ở 
Với cosx = 0 Û x = 
2 
k p p + 
Với cos3x + sin(2xư 
3 
p ) = 0  os3 os( 2 ) 
6 
c x c x p Û = + 
3 2 2 
6 
3 2 2 
6 
x x k 
x x k 
p 
p 
p p 
ộ = + + ờ 
Û ờ 
ờ = - - + ờ ở 
2 
6 
2 
30 5 
x k 
x k 
p 
p 
p p 
ộ = + ờ 
Û ờ 
ờ = - + ờ ở 
. kẻZ 
2. (1,0đ) 
(1,0đ) Từ gt  2; 1 x y ị ³ ³ -  . 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
V 
(1,0đ) 
VIa .2 
(1,0đ) 
VIIa 
Vỡ ( ) ( ) ( ) 2  2 2 2. 2 1. 1 2 1 2 1 x y x y - + + Ê + - + +  2 2 1 5( 1) x y x y Û - + + Ê + -  . 
Nờn từ  2 2 1 1 x y x y + = - + + + 
5( 1) 1 x y x y ị + Ê + - +  . Đặt t = x + y , ta cú:  1 5( 1) 1 6 t t t - Ê - Û Ê Ê 
Khi đú: F =  2 2 1 2 1 2 ( ) 
2 2 
x y t 
x y t 
+ + = + 
+ 
. 
Xột  2 1 2 ( ) 
2 
f t t 
t 
= +  , với [ ] 1;6 t ẻ  , cú [ ] '  1 ( ) 0; 1;6 f t t t 
t t 
= - ³ " ẻ 
[ ] 1;6 
5 
( ) (1) 
2 t 
Min f t f 
ẻ 
ị = =  ; 
[ ] 1;6 
2 
ax ( ) (6) 18 
6 t 
M f t f 
ẻ 
= = + 
ị GTNN của F là:  5 
2 
đạt được tại: 
2 
1 
1 
x 
t 
y 
= ỡ 
= Û ớ = - ợ 
GTLN của F là:  2 18 
6 
+  đạt được tại :t= 6 
6 
0 
x 
y 
= ỡ 
Û ớ = ợ 
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn 
:  1 3 0 
3 3 3 
x y z 
x y z + + = Û + + - = 
Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mp(ABC).Phương trình d là: 
x t 
y t 
z t 
= ỡ 
ù = ớ 
ù = ợ 
. H là hình chiếu của O lên mp(ABC),suy ra toạ độ H là nghiệm của 
hệ:  (1;1;1) 
3 0 
x t 
y t 
H 
z t 
x y z 
= ỡ 
ù = ù ị ớ = ù 
ù + + - = ợ 
D là điểm đối xứng với H qua O suy ra D(-1;-1;-1) 
Gọi (S) : x 2 +y 2 +z 2 +2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình mặt cầu (a 2 +b 2 +c 2 - d> 
0). Vì A  ( ) S ẻ ta có 9+6a+d=0 
Vì B  ( ) S ẻ ta có 9+6b+d=0 
Vì C  ( ) S ẻ ta có 9+6c+d=0 
Vì D  ( ) S ẻ ta có 3-2a-2b-2c+d=0 
Từ đó a=b=c=  1 
2 
- ;d=-6 
Vậy (S):x 2 +y 2 +z 2 -x-y-z-6= 0 là PT mặt cầu cần tìm 
1,0đ   Ta cú:  ' 2 4 5 1  i D = - = - =  1 
2 
2 
2 
z i 
z i 
= - ộ 
ị ờ = + ở 
Khi đú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2011 2011 2011 2011 1 2 1 1 1 1 z z i i - + - = - + + 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0.25 
0.25
VIb2 
(1,0đ) 
VIIb 
(1,0đ) 
( ) 
1005 1005 2 2 (1 ) (1 ) 1 (1 ) i i i i ộ ự ộ ự = - - + + + ở ỷ ở ỷ  = ( ) ( ) ( ) ( ) 
1005 1005 
1 2 1 2 i i i i - - + + 
1005 1005 1005 1006 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 1 ) 2 i i i i i i i = - - + + = + - + = - 
2.(1,0đ) 
Ta cú :  1 d  đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : ( ) 1  1; 1;0 u 
đ 
= - 
2 d  đi qua điểm B (2; 1; ư1) và vtcp là: ( ) 2  1; 2;2 u 
đ 
= - 
Gọi  n 
đ 
là vtpt của mp(P), vỡ (P) song song với  1 d  và  2 d  nờn 
n 
đ 
= [  1 2 ; u u 
đ đ 
] = (ư2 ; ư2 ; ư1) ị  pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0 
d(  1 d  ;(P)) = d(A ; (P)) = 
7 
3 
m + 
; d(  2 ; ( )) d P  = d( B;(P)) = 
5 
3 
m + 
vỡ d(  1 d  ;(P)) = 2. d(  2 ; ( )) d P  7 2. 5 m m Û + = + 
7 2(5 ) 
7 2(5 ) 
m m 
m m 
+ = + ộ 
Û ờ + = - + ở 
3 
17 
3 
m 
m 
= - ộ 
ờ Û 
ờ = - 
ở 
Với m = ư3 ịmp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0 
Với m = ư 17 
3 
ịmp(P) : 2x + 2y + z ư 17 
3 
= 0 
Pt đầu Û y – 2x + 8 = ( ) 6 2  2 y x Û = 
thế vào pt thứ hai ta được: 
2 3 8 2 .3 2.3 x x x x + =  8 18 2.27 x x x Û + = 
8 18 
2 
27 27 
x x 
ổ ử ổ ử Û + = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
3 
2 2 
2 
3 3 
x x 
ổ ử ổ ử Û + = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Đặt: t =  2 
3 
x 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
, (đk t > 0 ) , ta cú pt: ( )( ) 3 2 2 0 1 2 0 t t t t t + - = Û - + + = 
0 
1 
0 
x 
t 
y 
= ỡ 
Û = ị ớ = ợ 
0.25 
0.25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
Cõu II .2 (1 điểm) Giải hệ phương trỡnh : 
6 2 3 3              (1) 
2 3 3 6 3 4  (2) 
x 
x y y
y 
x x y x y 
ỡ - = - + ù 
ớ 
ù + - = + - ợ 
.     (với  x R ẻ  ) 
B là giao điểm của đường cao qua B 
và đt BC nờn toạ độ điểm B là nghiệm  0.25 
của hệ 
4 0 
( 2;2) 
2 2 0 
x y 
B 
x y 
- + = ỡ 
ị - ớ + - = ợ 
0.25 
ĐK: 
3 0, 
3x+ 3 0  (*) 
0 
x y 
x y 
y 
- ³ ỡ 
ù 
- ³ ớ 
ù ạ ợ 
(1) 
2 
3 (3 ) (3 ) 
2 3 3 2 3  (3) 
x y x y x y 
y x y 
y y y 
- - - 
Û - = - Û - = 
0.25 
Đặt t= 
3x y 
y 
- 
Phương trỡnh (3) cú dạng 2t 2 ưtư3=0 
1
3 
2 
t 
t 
= - ộ 
ờ Û 
ờ = 
ở 
0.25 
Với t=ư1 ta cú: 
3x y 
y 
- 
=-1 
2 
0 
3 
3   (3) 
y 
x y y 
x y y 
< ỡ 
Û - = - Û ớ 
= + ợ 
Thế (3) v o (2) ta được 
2  2 2 2 
4 4 
2 5 4 2 7 4 0  1 
(L) 
2 
y x 
y y y y y 
y 
= - ị = ộ 
ờ = + - Û + - = Û 
ờ = 
ở 
0.25 
Với t= 
2 
0 
3 3 3 3 
3  9 
2 2 2  3  (4) 
4 
y 
x y 
x y y 
y  x y y 
> ỡ - ù ị = Û - = Û ớ 
= + ù ợ 
Thế (4) vào (2) ta được  2 2 9 5 9 2 5 4 (5) 
4 2 2 
y y y y + = + - 
Đặt u=  2 9 5  , u 0 
4 2 
y y + ³ 
Ta cú PT :2u 2 ư2uư4=0 
1 (L) 
2   (t/m) 
u 
u 
= - ộ 
Û ờ = ở 
Với u=2 ta cú 
2 2 2 
8 8 
(t/m) 9 5 9 5 
2 4 9 10 16 0  9 9 
4 2 4 2  2  (L) 
y x 
y y y y y y 
y 
ộ = ị = ờ + = Û + = Û + - = Û 
ờ 
= - ở 
KL HPT đó cho cú 2 cặp nghiệm (4;ư4) ,  8 8 ( ; ) 
9 9 
C2 PT  2 
3 
2(3 ) 3 3 0,     t= 3 0 ...... 2 
y 
t 
x y y x y y x y 
t y 
ộ = ờ Û - - - - = - ³ ị 
ờ 
= - ở 
0.25 
B C 
A 
M(-1;0) 
x+2y-2=0 
N I 
H 
E
Qua M kẻ đt song song với BC cắt đường cao kẻ từ B tại N.Gọi I là giao điểm 
của MN với đường cao kẻ từ A thỡ I là TĐ của MN.Đường thẳng  MN //BC nờn 
PT đt MN:x+2y+m=0.ĐiểmM(ư1;0)  ( 1) 2.0 0 1 MN m m ẻ Û - + + = Û = 
( ) : 2 1 0 MN x y ị + + = 
N là giao điểm của đường cao qua B và đt MN nờn toạ độ điểm N là nghiệm 
của hệ 
2 1 0  1 
( 3;1) ( 2; ) 
4 0  2 
x y 
N I 
x y 
+ + = ỡ 
ị - ị - ớ - + = ợ 
.  0.25 
Gọi E là TĐ của BC .Do tam giỏc ABC cõn tại A nờn IE là trung trực của BC 
mà BC : x+2yư2=0  : 2 0. IE x y m ị - + = 
Điểm I  1 9 2.2 0 
2 2 
BC m m ẻ Û - - + = Û =  ( ) :4xư2y+9=0 IE ị  0.25 
E là giao điểm của đường cao IE và đt BC nờn toạ độ điểm E là nghiệm của 
hệ 
2 2 0  7 17 4 7 
( ; ) ( ; ) 
4 2 9 0  5 10 5 5 
x y 
E C 
x y 
+ - = ỡ 
ị - ị - ớ - + = ợ 
. 
CA đi qua C và vuụng gúc với BN mà BN xưy+4=0 suy ra (AC):x+y+m=0 
4 7 4 7 3 
( ; ) 0 
5 5 5 5 5 
C AC m m - ẻ Û - + + = Û = -  Suy ra (AC):x+yư 3 
5 
=0 
A là giao điểm của đường cao IE và đt AC nờn toạ độ điểm A là nghiệm của 
hệ 
4 2 9 0 
13 19 
( ; ) 3 
10 10 0 
5 
x y 
A 
x y 
- + = ỡ 
- ù ị ớ 
+ - = ù ợ 
0.25 
N 
D 
I A  C 
B 
N' M 
Gọi N’ là điểm đối xứng của N 
qua I thỡ N’ thuộc AB, ta cú : 
' 
' 
2 4 
2 5 
N I N 
N I N 
x x x 
y y y 
= - = ỡ 
ớ = - = - ợ 
0.25 
Phương trỡnh đường thẳng AB: 
4x + 3y – 1 = 0  0.25 
Khoảng cỏch từ I đến đường thẳng AB: 
2 2 
4.2 3.1 1 
2 
4 3 
d 
+ - 
= = 
+ 
VIb.ư1 
(1 điểm) 
AC = 2. BD nờn AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giỏc vuụng ABI 
cú:
2 2 2 
1 1 1
4 d x x 
= +  suy ra x =  5  suy ra BI =  5  0.25
Nếu thớ sinh làm theo cỏc cỏch khỏc đỳng, vẫn cho điểm tối đa. 
Hết 
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường trũn 
tõm I bỏn kớnh  5 
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 
2 2 
4x   3y  –  1   0 
( 2) ( 1) 5 x y 
+ = ỡ 
ớ 
- + - = ợ 
0.25 
B cú hoành độ dương nờn B( 1; ư1) 
IV 
(1 điểm) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E suy ra tứ giác ABCE là HCN 
nên AE =a và  CED D vuông tại E .Theo Pitago có 
2 2 2 2 2 2 20 4 16 4 DE CD CE a a a DE a = - = - = ị = 
AD là đỏy lớn của hỡnh thangn AE =a+4a=5a 
Diện tích hình thang ABCD là S=  2 ( ) ( 5 ).2  6 
2 2 
BC AD AB a a a 
a 
+ + 
= = (đvdt) 
Thể tích hình chóp S.ABCD là : V=  . 2 ... ) ( . 
3 
1  3 a ABCD S SA = = 
Tam giỏc ACD vuụng ở C, trong mp(SAD) gọi O là giao của đường thẳng vuụng gúc 
với SA tại trung điểm I của SA và đường thẳng vuụng gúc với AD tại trung điểm J 
của AD suy ra O là tõm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD (O là trung điểm của SD) 
Tớnh được:  . 
2 
26 2 2  a AI OI OA R = + = = 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
A 
B 
D 
C 
I 
O 
J 
a 
2a  5 
2a 
4a 
a 
R 
E 
S 
// 
// 
\\ 
\\