Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 122

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 
Môn thi: TOÁN – Khối A, B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 
2 
,
1 
x 
y 
x 
- 
= 
+ 
có đồ thị là  ( ). C 
1.  Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị  ( ). C 
2.  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  ( ), C  biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của  ( ) C  một tam 
giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. 
Câu II (2,0 điểm) 
1.  Giải phương trình  4 4 
1 
(tan .cot 2 1)sin(4 ) (sin cos ). 
2 2 
x x x x x 
p 
- + = - + 
2.  Giải hệ phương trình 
2 2 
2 2 
2 ( 1) 3 
3 2 . 
x x y y y 
x xy y x y 
ì - - + = ï 
í 
+ - = - ï î 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 
2 
2 
1 
1 
. 
1 
x 
I dx 
x x 
+ 
= 
+ - 
ò 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ  . ' ' ' ABC A B C  có  '. A ABC  là hình chóp tam giác đều,  . AB a =  Gọi j 
là góc giữa mặt phẳng  ( ' ) A BC  và mặt phẳng  ( ' ' ). C B BC  Tính theo a thể tích khối chóp  '. ' ', A BCC B 
biết 
1 
.
3 
c = osj 
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương  , , . a b c  Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2 
3 
.
2 
a b c 
a b b c c a 
+ + £ 
+ + + 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B. 
A. Theo chương trình cơ bản 
Câu VIa (2,0 điểm) 
1.  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip 
2 2 
( ) : 1. 
8 2 
x y 
E + =  Viết phương trình đường thẳng d cắt  ( ) E  tại 
hai điểm phân biệt có toạ độ là các số nguyên. 
2.  Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình thoi  ABCD  có diện tích bằng 12 2, đỉnh A thuộc trục Oz, đỉnh 
C thuộc mặt phẳng  , Oxy  hai đỉnh B và D thuộc đường thẳng 
1 
: 
1 1 2 
x y z 
d 
+ 
= =  và B có hoành độ dương. 
Tìm toạ độ  , , , . A B C D 
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn 
7 
1 . 
2 
z 
z 
z 
- 
+ = 
- 
Tính 
2 
. 
z i 
z i 
+ 
- 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VIb (2,0 điểm) 
1.  Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy,  cho  hai  đường  tròn  2 2 1 ( ) : ( 1) ( 2) 5 C x y - + + =  và 
2 2 
2 ( ) : ( 1) ( 3) 9. C x y + + + =  Viết phương trình đường  thẳng D  tiếp xúc với  1 ( ) C  và cắt  2 ( ) C  tại hai 
điểm A, B thoả mãn  4. AB = 
2.  Trong  không  gian  tọa  độ  Oxyz,  cho  đường  thẳng 
1 2 
: 
2 1 1 
x y z 
d 
- + 
= =  và  mặt  phẳng 
( ) : 2 3 0. P x y z + - - =  Viết phương trình đường thẳng D  thuộc (P), vuông góc với d và có khoảng cách 
giữa d và D bằng  2. 
Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm m để hàm số 
2 
2 
x mx m 
y 
x 
+ + 
= 
+ 
có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. 
..................Hết................. 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
white.vultures@gmail.com sent to www.laisac.page.tl
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI THỬ  ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 
Môn: TOÁN; Khối A,B 
(Đáp án ­ thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM 
Câu  Đáp án  Điểm 
1. (1,0 điểm) Khảo sát 
Tập xác định  \ { 1}. D = - ¡  Ta có: 
2 
3 
' 0, . 
( 1) 
y x D 
x 
= > " Î 
+ 
0,25 
Giới hạn: 
1 1 
lim lim 1; lim , lim . 
x x x x 
y y y y 
- + ®-¥ ®+¥ ®- ®- 
= = = +¥ = -¥ 
Tiệm cận: TCĐ:  1, x = -  TCN:  1. y = 
0,25 
Bảng biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên các khoảng  ( ; 1), ( 1; ). -¥ - - +¥  Hàm số không có cực trị. 
0,25 
Đồ thị: 
0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến .. 
Phương trình tiếp tuyến d có dạng  0 0 2 
0 0 
2 3 
( ) , 
( 1) 1 
x 
y x x 
x x 
- 
= - + 
+ + 
(  0 x  là hoành độ tiếp điểm). 
Gọi I  là giao hai tiệm cận; A và B là giao của d với hai tiệm cận. 
Ta có  0  0 
0 
5 
( 1;1), ( 1; ), (2 1;1). 
1 
x 
I A B x 
x 
- 
- - + 
+ 
0,25 
0 
0 
6 
; 2 2 . 12 
1 
IA IB x IA IB 
x 
= = + Þ = 
+  0,25 
Bán kính 
2 2 
. . . 6 
. 
2 . 2 . 2 3 6 
IA IB IA IB IA IB 
r 
IA IB AB  IA IB IA IB IA IB IA IB 
= = £ = 
+ + + + + + + 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  0  1 3. IA IB x = Û = - ± 
0,25 
I 
(2,0 điểm) 
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là:  2 2 3 y x = + -  và  2 2 3. y x = + +  0,25 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình 
Điều kiện:  sin 2 0. x ¹  Phương trình đã cho tương đương với 
2 2 s inx.cos2 sin 2 .cos 1 . os4 (1 2sin . os ) 
sin 2 .cos 2 
x x x 
c x x c x 
x x 
- 
= - -  0,25 
II 
(2,0 điểm) 
2 
3 2 
2 
os4 1 sin 2 
(1 ) os 2 7 os 2 os2 5 0 
2 os 2 2 
c x x 
c x c x c x 
c x 
Û = - - Û - + + = 
- 
0,25 
x -¥  1 - +¥ 
y'  +                               + 
y 
+¥ 
1 
1 
-¥ 
y 
x O 
2 - 
2 
–1 
1
Câu  Đáp án  Điểm 
Đặt  os2 , 1 1. t c x t = - < <  Ta có phương trình  3 2 7 5 0 {1;3 14;3 14} t t t t - + + = Û Î - +  , đối chiếu điều 
kiện ta được 
1 
3 14 arccos(3 14) , . 
2 
t x k k = - Û = ± - + p ΢ 
0,50 
2.  (1,0 điểm).Giải hệ phương trình  
Hệ đã cho tương đương với 
2 2 
2 2 
2 3 
3 2 
x xy y y x 
x xy y x y 
ì - + = - ï 
í 
+ - = - ï î 
0,25 
Th1:  0 0. y x = Þ = 
Th2:  0, y ¹  đặt 
x 
t x ty 
y 
= Û =  thay vào hệ: 
2 2 
2 2 
(2 1) (3 ) (1) 
( 3) ( 2) (2) 
y t t y t 
y t t y t 
ì - + = - ï 
í 
+ - = - ï î 
0,25 
Từ (1) và (2) ta được:  3 2 
7 
3 7 3 7 0 { 1;1; }. 
3 
t t t t - - + = Û Î -  0,25 
Hệ có bốn nghiệm 
7 3 
(0;0);(1;1); ( 1;1); ( ; ). 
43 43 
-  0,25 
Tính tích phân.. 
2 2 2 
2 2 
1 2 
1 1 1 
1( 1) 1 ( 1)( 1) . I x x x dx x x dx x x dx I I = + - - = + - + - = - ò ò ò  0,25 
2 2 2 2 2 3 1 5 3 
2 2 2 2 
1 
1 1 1  1 1 
2 2 8 3 4 2 
( 1 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) . 
5 3 5 15 
I x x dx x dx x dx x x = + - + = + - + = + - + = - ò ò ò  0,25 
III 
(1,0 điểm) 
Đặt  1, t x = - 
1 2 1  5 3 
2 
2 
1 0  0 
2 4 26 
( 1) 1 ( 2) .2 ( ) . 
5 3 15 
t t 
I x x dx t t tdt = + - = + = + = ò ò 
Vậy 
8 3 4 2 26 
. 
5 15 15 
I = - - 
0,50 
Tính thể tích khối chóp .. 
Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lần lượt là trung điểm 
BC và B’C’. 
Ta có 
2 
2 3 ' ( ); ' ; ' ; . 
2 4 
a a 
A O ABC A M AI A I x IM x ^ = = = - = 
0,25 
( ' ), 
' 
AI BC 
BC A AIM 
A I BC 
^ ì 
Þ ^ í ^ î 
suy ra  ' A IM j = Р hoặc  180 ' . o  A IM j = - Р 0,25 
TH1:  ' , A IM j = Р ta có: 
4 2 2 4 
2 2 2 
2 2 2 
2 
2 
8 11 3 0 
3 1 
2. . . . 
4 4 4 3 
2 
x a x a 
a a a 
x x x x x a a 
x 
ì - + = 
ï 
= - + - - Û Û = í 
ï ³ 
î 
3 
'. ' ' '. 
2 2 
2. . ' . . 
3 6 A BCC B A ABC ABC 
a 
V V A O S = = = D 
0,25 
IV 
(1,0 điểm) 
TH1:  180 ' , o  A IM j = - Р ta có: 
4 2 2 4 
2 2 2 
2 2 2 
2 
2 
8 11 3 0 
3 1 3 
2. . . . 
4 4 4 3 2 2 
2 
x a x a 
a a a a 
x x x x x a 
x 
ì - + = 
ï 
= - + + - Û Û = í 
ï £ 
î 
0,25 
A  B 
C 
O 
A’  B’ 
C’ 
I • 
M 
•
Câu  Đáp án  Điểm 
3 
'. ' ' '. 
2 2 
2. . ' . . 
3 24 A BCC B A ABC ABC 
a 
V V A O S = = = D 
Chứng minh rằng.. 
2 2 2 
1 1 1 
; , , , 
1 1 1 
b c a 
VT x y z 
a b c x y z 
= + + = = = 
+ + + 
ta có:  1. xyz =  0,25 
Giả sử  max{ , , } 1; 1. x x y z x yz = Þ ³ £  Khi đó: 
2 
2 2 2 2 2 2 
1 1 2 ( ) ( 1) 1 1 2 
0 . 
1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 
y z yz 
y z yz y z yz y z yz 
- - 
+ - = £ Þ + £ 
+ + + + + + + + + 
0,25 
Suy ra: 
2 2 2 2 
1 1 1 1 2 2 1 
2( ) 2 1 
1 1 1 1 1 1 1 
VT 
y z x x yz x x 
£ + + £ + £ + - 
+ + + + + + + 
0,25 
V 
(1,0 điểm) 
Đặt 
1 1 
,0 2 2 1 ( ). 
1 2 
t t VT t t f t 
x 
= < £ Þ £ + - = 
+ 
Ta có: 
2 2 1 
'( ) 0 
1 
t 
f t 
t 
- - 
= ³ 
- 
, suy ra  ( ) f t 
đồng biến trên 
1 
(0; ], 
2 
do đó 
1 3 
( ) ( ) . 
2  2 
f t f £ =  Vậy 
3 
.
2 
VT £  Dấu bằng xảy ra khi  . a b c = = 
0,25 
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng cắt elip 
Gọi  ( ; ) ( ), M x y E Π với  , . x y Î Î ¢ ¢  Ta có: 
2 
2 1 2 
8 2 
x y 
y 
2 
+ = Þ £ 
Kết hợp với  , y΢  ta được  {0;1; 1}. yÎ - 
0,25 
Với  0, y =  ta được  8 x = ± Ï¢  (loại); với  1, y = ±  ta được  2. x = ±  0,25 
Bốn điểm thuộc (E) có toạ độ nguyên là  1 2 3 4 (2;1); (2; 1); ( 2;1); ( 2; 1). M M M M - - - -  0,25 
Có 6 đường thẳng thoả mãn là:  2; 2; 1; 1; 2 0; 2 0. x x y y x y x y = = - = = - - = + =  0,25 
2.  (1,0 điểm) Tìm toạ độ A, B, C, D. 
Gọi  (0;0; ); ( ; ;0). A a C b c  Ta có:  ( ; ; ), AC b c a = - 
uuur 
d  có vectơ chỉ phương  (1;1;2), u = 
r 
toạ độ trung điểm I 
của AC là  ( ; ; ). 
2 2 2 
b c a 
I 
0,25 
Ta có  . 0  2, 
AC u 
a b c 
I d 
ì = ï Û = = = í 
Î ï î 
uuur r 
do đó  (0;0;2); (2;2;0) A C  và  (1;1;1). I  0,25 
Diện tích hình thoi 
1 
. 12 2, 
2 
S AC BD = =  mà  2 3 AC =  suy ra  4 6 2 6. BD IB = Þ =  0,25 
VI.a 
(2,0 điểm) 
( ; ; 1 2 ), 0. B d B t t t t Î Þ - + >  Khi đó:  2 6 3 (3;3;5); ( 1; 1; 3). IB t B D = Û = Þ - - -  0,25 
Tính môđun . 
Điều kiện  2. z ¹  Từ giả thiết ta có:  2  2 5 0 (1). z z - + =  0,25 
2 4 20 16 (4 ) ; i D = - = - =  phương trình (1) có nghiệm  1 2 z i = -  và  1 2 . z i = +  0,25 
Với  1 2 , z i = -  ta được: 
2 1 1 1 
. 
1 1  2 
z i 
z i i i 
+ 
= = = 
- + +  0,25 
VII.a 
(1,0 điểm) 
Với  1 2 , z i = +  ta được: 
1 4 2 1 4 17 
. 
1 3 1 3  10 
i z i i 
z i i i 
+ + + 
= = = 
- - - 
0,25 
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng. VI.b 
(2,0 điểm) 
1 ( ) C  có tâm  1 (1; 2) I -  và bán kính  1  5; R =  2 ( ) C  có tâm  2 ( 1; 3) I - -  và bán kính  2  3. R =  0,25
Câu  Đáp án  Điểm 
Ta có:  1 ( ; ) 5 (1). d I = D 
Gọi  2 ( ; ), h d I = D  ta có: 
2 2 
2 2 5 (2). AB R h h = - Û =  0,25 
Từ (1) và (2) suy ra D  song song với  1 2 I I  hoặc D  đi qua trung điểm 
5 
(0; )
2 
M -  của  1 2 I I  .  0,25 
Vì M nằm trong  1 ( ) C  nên không xảy ra khả năng D  qua M, do đó  1 2 / / , I I D  suy ra phương trình D 
có dạng  2 0, x y m - + =  khi đó:  1 
5 
( ; ) 5 5 0 10. 
5 
m 
d I m m 
+ 
= Û = Û = Ú = - D 
0,25 
2. (1,0 điểm)  Viết phương trình đường thẳng thuộc (P) và vuông góc với d. 
(2;1;1); d u = 
uur 
( )  (1;2; 1), P n = - 
uuur 
do đó D  có vectơ chỉ phương là  ( ) 
1 
, (1; 1; 1). 
3  P d 
u n u é ù = = - - ë û D 
uur uuur uur 
0,25 
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa D  và song song với d, ta có:  ( ) 
1 
, (0;1; 1). 
3 Q d 
n u u é ù = - = - ë û D 
uuur uur uur 
Phương trình (Q):  0. y z m - + =  Chọn  (1; 2;0) , A d = - Π ta có:  ( , ( )) 2 0 4. d A Q m m = Û = Ú = 
0,25 
Với  0, m =  vì  ( ) ( ) P Q = Ç D  nên D  đi qua  (3;0;0), B =  phương trình 
3 
: . 
1 1 1 
x y z - 
= = 
- - 
D  0,25 
Với  4, m =  vì  ( ) ( ) P Q = Ç D  nên D  đi qua  (7;0;4), C =  phương trình 
7 4 
: . 
1 1 1 
x y z - - 
= = 
- - 
D  0,25 
Tìm m để hàm số.... 
Tập xác định: { } \ 2 . D = ¡  0,25 
Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số không cắt trục hoành 
khi và chỉ khi phương trình  2  0 x mx m + + =  vô nghiệm 
0,50 
VII.b 
(1,0 điểm) 
0<m<4.  0,25 
.Hết.