Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 13

ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
KHOA TOÁN-TIN 
ðỀ THI THỬ 
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG 2011 
Môn thi : TOÁN - khối A. 
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao ñề) 
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) 
Câu I (2,0 ñiểm). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số 
3
1
x
y
x
−
=
+
. 
 2. Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm ( )1;1I − và cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm M, N sao 
cho I là trung ñiểm của ñoạn MN. 
Câu II (2,0 ñiểm). 
 1. Giải phương trình ( ) ( )3sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos s inx 3 3 0x x x x x+ − − + − − = . 
 2. Giải hệ phương trình 
( )3 3
2 2
3 4
9
x y xy
x y
 − =

 =
. 
Câu III (2,0 ñiểm). 
 1. Cho x, y là các số thực thoả mãn 2 24 3x xy y .+ + = 
 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: 3 38 9M x y xy= + − . 
 2. Chứng minh ( )
2 2 2 1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
 với mọi số dương ; ;a b c . 
Câu IV (1,0 ñiểm). Cho lăng trụ tam giác ñều . ' ' 'ABC A B C có cạnh ñáy là a và khoảng cách từ A 
 ñến mặt phẳng (A’BC) bằng 
2
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . 
II. PHẦN RIÊNG(3,0 ñiểm): Tất cả thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần: A hoặc B. 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu Va (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy). Lập phương trình ñường thẳng qua ( )2;1M và 
 tạo với các trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 4 . 
Câu VI.a (2,0 ñiểm). 
 1. Giải bất phương trình ( ) ( )2 2 21 log log 2 log 6x x x+ + + > − . 
 2. Tìm m ñể hàm số 3 2 23( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)y x m x m m x m m= − + + + + − + có cực ñại và cực tiểu. 
 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại và cực tiểu khi ñó. 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu Vb (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) , cho ñiểm 
1
3;
2
M
 
 
 
. Viết phương trình chính 
 tắc của elip ñi qua ñiểm M và nhận ( )1 3;0F − làm tiêu ñiểm. 
Câu VI.b (2,0 ñiểm). 
 1. Giải hệ phương trình 
2 2
12 3x y
y x x y
+
 + = +

=
. 
 2. Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ tập hợp tất cả các ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ 
thị hàm số 
2 2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
 và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. 
----------------------------------HẾT--------------------------------- 
 ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
======================================================================== 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 
1 
ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM 
Môn thi : TOÁN - khối A. 
CÂU Ý NỘI DUNG ðIỂM 
 Tập xác ñịnh: { }\ 1D R= − . 0,25 ñ 
 Sự biến thiên: 
• Giới hạn và tiệm cận: lim 1; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ = là TCN. 
( ) ( )1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
− +→ − → −
= +∞ = −∞⇒ = − là TCð 
0,25 ñ 
( )2
4
' 0,
1
y x D
x
= > ∀ ∈
+
. 
• BBT: 
-∞
+∞
+∞
-∞ -1
+ +
1
1
y
y'
x
Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( ) ( ); 1 , 1;−∞ − − +∞ 
 Và không có cực trị. 
0,25 ñ 
Ý 1 
(1,0ñ) 
 ðồ thị: ðT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và ñối xứng qua ( )1;1− . 
4
2
-2
-5 5
x = -1
y = 1
y
xO
0,25 ñ 
 Gọi d là ñường thẳng qua I và có hệ số góc k ( ): 1 1d y k x= + + . 
 Ta có: d cắt ( C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N 
3
: 1
1
x
PT kx k
x
−
⇔ = + +
+
 có 2 nghiệm PB khác 1− . 
0,25 ñ 
Câu I 
(2,0ñ) 
Ý 2 
(1,0ñ) 
 Hay: ( ) 2 2 4 0f x kx kx k= + + + = có 2 nghiệm PB khác 1− 0,25 ñ 
 ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
======================================================================== 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 
2 
( )
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f
 ≠

⇔ ∆ = − > ⇔ <
 − = ≠
. 
 Mặt khác: 2 2M N Ix x x+ = − = ⇔ I là trung ñiểm MN với 0k∀ < . 0,25 ñ 
 KL: PT ñường thẳng cần tìm là 1y kx k= + + với 0k < . 0,25 ñ 
 Chú ý: Có thể chứng minh ñồ thị ( C) có I là tâm ñối xứng, dựa vào 
 ñồ thị ( C) ñể kết luận kết quả trên. 
2 3 2
2
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ + − − + + − − =
⇔− − − − + − =
 . 
0,50 ñ 
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4( )
x x x x
x
x x
x
x x
x loai
⇔ − − − + =
 =
 − = 
⇔ ⇔ = 
+ − =  =
 . 
0,25 ñ 
Ý 1 
(1,0ñ) 
 ,3
2
x k
k
x k
π
π
π
 = +⇔ ∈Ζ

=
 0,25 ñ 
 Ta có : 2 2 9 3x y xy= ⇔ = ± . 0,25 ñ 
. Khi: 3xy = , ta có: 3 3 4x y− = và ( )3 3. 27x y− = − 
 Suy ra: ( )3 3;x y− là nghiệm PT 2 4 27 0 2 31X X X− − = ⇔ = ± 
0,25 ñ 
 Vậy ngiệm của PT là 3 32 31, 2 31x y= + = − − 
 Hay 3 32 31, 2 31x y= − = − + . 
0,25 ñ 
 Câu II 
 (2,0ñ) 
Ý 2 
(1,0ñ) 
 Khi: 3xy = − , ta có: 3 3 4x y− = − và ( )3 3. 27x y− = 
 Suy ra: ( )3 3;x y− là nghiệm PT 2 4 27 0( )X X PTVN+ + = 
0,25 ñ 
Ta ñặt 2t x y= + , từ giả thiết suy ra 
2 3
3
t
xy
−
= . 
ðiều kiện 
2 30
5
t ≤ 
0,25 ñ 
• Khi ñó ( ) ( )33 38 9 2 6 2 9M x y xy x y xy x y xy= + − = + − + − 
 ( )3 23 6 9t t t f t= − − + + = 
0,25 ñ 
Câu III 
 (2,0ñ) 
Ý 1 
(1,0ñ) 
• Xét hàm f(t) với 
2 30 2 30
5 5
t ;
 
∈ − 
 
, ta ñược: 
0,5 ñ 
 ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
======================================================================== 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 
3 
( ) ( )35 12 30 35 12 30
5 5
min f t ; max f t
− +
= = 
 Ta có: 
2 1
22
a ab ab
a a a ab
a b a b ab
= − ≥ − = −
+ +
(1) 0,50 ñ 
 Tương tự: 
2 1
2
b
b bc
b c
≥ −
+
 (2),
2 1
2
c
c ca
c a
≥ −
+
 (3). 0,25 ñ 
Ý 2 
(1,0ñ) 
 Cộng (1), (2), (3), ta có: 
( )
2 2 2 1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
 0,25 ñ 
 Gọi M là trung ñiểm BC, hạ AH vuông góc với A’M 
 Ta có: ( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ 
. 0,25 ñ 
 Mà ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 0,25 ñ 
 Mặt khác: 
2 2 2
1 1 1 6
'
4'
a
AA
AH A A AM
= + ⇒ = . 0,25 ñ 
Câu IV 
(1,0ñ) 
 KL: 
3
. ' ' '
3 2
16ABC A B C
a
V = . 0,25 ñ 
Gọi d là ðT cần tìm và ( ) ( );0 , 0;A a B b là giao ñiểm của d với Ox, 
 Oy, suy ra: : 1
x y
d
a b
+ = . Theo giả thiết, ta có: 
2 1
1, 8ab
a b
+ = = . 
0,25 ñ 
 Khi 8ab = thì 2 8b a+ = . Nên: 12; 4 : 2 4 0b a d x y= = ⇒ + − = . 0,25 ñ 
 Khi 8ab = − thì 2 8b a+ = − . Ta có: 
 2 4 4 0 2 2 2b b b+ − = ⇔ = − ± . 
 Với ( ) ( )22 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − + ⇒ − + + − = 
0,25 ñ 
Câu Va 
(1,0ñ) 
 Với ( ) ( )32 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − − ⇒ + + − + = . KL 0,25 ñ 
 ðK: 0 6x − . 0,25 ñ 
 Hay: BPT ( )22 22 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − > 0,25 ñ 
Vậy: 18x < − hay 2 x< 0,25 ñ 
Ý 1 
(1,0ñ) 
 So sánh với ñiều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6x< < . 0,25 ñ 
 Ta có 2 2' 3 6( 1) 2( 7 2)y x m x m m= − + + + + 0,25 ñ 
 Câu VIa 
(2,0ñ) 
Ý 2 
(1,0ñ) 
 HS có Cð, CT khi phương trình 2 23 6( 1) 2( 7 2) 0x m x m m− + + + + = có 
hai nghiệm phân biệt. Hay 4 17m + 
0,25 ñ 
 ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
======================================================================== 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 
4 
 Chia y cho y’ ta có '( ) ( ) ( )y y x q x r x= + ; 
2 3 22 2( ) ( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
r x m m x m m m= − − − + + + + 
0,25 ñ 
Toạ ñộ ñiểm cực trị là nghiệm của hệ 
'( ) 0
( )
'( ). ( ) ( )
y x
y r x
y y x q x r x
=
⇒ =
= +
Vậy phương trình ñường thẳng cần tìn là 
2 3 22 2( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
y m m x m m m= − − − + + + + 0,25ñ 
 PTCT elip có dạng: 
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > > 
0,25 ñ 
 Ta có: 
2 2
2 2
3
1
4
3 1
a b
a b
− =
+ =




 0,25 ñ 
 Ta có: 4 2 2 2
3
4 3 0 1( ), ( )
4
b b b th b kth− − = ⇔ = = − 0,25 ñ 
Câu Vb 
(1,0ñ) 
 Do ñó: 2 4a = . KL: 
2 2
1
4 1
x y
+ = 0,25 ñ 
 ( )( )2 2 1 0 , 1y x x y y x y x y x y x+ = + ⇔ − + − = ⇔ = = − . 0,50 ñ 
 Khi: 1y x= − thì 2 62 3 6 9 log 9
x x x x−= ⇔ = ⇔ = 0,25 ñ 
Ý 1 
(1,0ñ) 
 Khi: y x= thì 1 2
3
2
2 3 3 log 3
3
x
x x x+
 = ⇔ = ⇔ = 
 
. 
0,25 ñ 
 Gọi M(a;b) là một ñiểm thoả mãn ñề bài. Khi ñó ñường thẳng qua M 
có dạng ( )y k x a b= − + 
 Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc cho ta hệ 
2
1 11 ( ) 1 ( ) (1)
1 1
1 11 (*) 1 ( 1) (2)
( 1) 1
x k x a b x k x a b
x x
k x k x
x x
 − + = − + − + = − + −  −⇔ 
 − = − − = −
− −
 0,25 ñ 
 Lấy (1) – (2) ta có [ ]1 1 (1 )
1 2
k a b
x
= − +
−
Kết hợp với (*) cho ta 
[ ]
2
2 2 2
1
1
(1 ) ( 1) 2 (1 ) 2 4 01
2
k
k
k a b a k a b k bk
≠
≠ 
⇔ − +  − + − + + − =− =    
 0,25 ñ 
 Câu VIb 
(2,0ñ) 
Ý 2 
(1,0ñ) 
ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc ñến ñồ thị hàm số thì hệ 
phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt 1 2,k k sao cho 1 2. 1k k = − 
 ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
======================================================================== 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 
5 
Hay 
[ ]
2
2 2
2
2 2
1 0
1
4
1 ( 1) 4
( 1)
1 0
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
a
a
b
a b
a
a b
a a b b
 − ≠
≠
− 
= − ⇔ − + = 
− − + + ≠ − + − + + − ≠
 0,25 ñ 
Vậy tập hợp ñiểm M thoả mãn yêu cầu bài toán thuộc ñường tròn 
( )2 21 4x y− + = trừ bỏ ñi 4 giao ñiểm của ñường tròn này với 2 ñường 
thẳng : x = 1 và –x + y + 1 = 0. 
0,25 ñ 
------------------------------HẾT------------------------------