Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 134

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang) 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 
Môn thi: Toán, khối A,B 
Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề) 
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 
Câu I : ( 2,0 điểm ). Cho hàm số :  2x 1 y 
x 1 
- 
= 
+ 
có đồ thị là ( ) C  . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
2) Gọi  I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C  .Tìm trên đồ thị ( ) C  điểm M có hoành độ 
dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C  cắt hai đường tiệm cận tại  A  và  B  thoả mãn : 
2 2  40 IA IB + =  . 
Câu II : ( 2,0 điểm ) 
1) Giải phương trình :  4 2 4 3sin 2cos 3 3 3 cos 1 x x cos x cos x x + + = - + 
2) Giải phương trình: 
( ) 2 4 1 
5 2 4 2 
27 
x 
x x 
+ 
+ + - = 
Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: ( ) 
2 
0 
2 
4 
x 
I x dx 
x 
= - 
- ò 
Câu IV : ( 1,0 điểm ). Cho hình chóp  . S ABC có  · ·  0 4, 2, 4 3, 30 AB AC BC SA SAB SAC = = = = = =  . 
Tính thể tích khối chóp  . S ABC . 
Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho  , , a b c là ba số thực không âm thoả mãn :  3 a b c + + =  . 
Tìm giá trị lớn  nhất của biểu thức : P a b b c c a abc = + + -  . 
B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 3,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phần B) 
A.Theo chương trình chuẩn: 
Câu VIA : ( 2,0 điểm ).1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác  ABC  cân tại  A ,biết 
phương trình các  đường  thẳng  , AB BC lần lượt là  3 5 0 x y + + =  và  1 0 x y - + =  ,đường thẳng  AC đi 
qua điểm ( ) 3;0 M  .Tìm toạ độ các đỉnh  , , A B C . 
2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng : 
1 
1 1 1 
: 
1 2 2 
x y z 
d 
- - - 
= =  và  2 
1 3 
: 
1 2 2 
x y z 
d 
+ - 
= = 
- - 
. 
Tìm toạ độ điểm  I  là giao điểm của  1 d  và  2 d  ,lậpphương trình đường thẳng  3 d  đi qua điểm 
( ) 0; 1;2 P -  ,đồng thời  3 d  cắt  1 d  và  2 d  lần lượt tại  , A B  khác  I  thoả mãn  AI AB =  . 
Câu VII A.(1,0 điểm):Tính tổng  1 3 5 7 2009 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 S C C C C C C = - + - + + - L 
B.Theo chương trình nâng cao 
Câu VIB : ( 2,0 điểm ). 1)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( ) 
2 2 
: 1 
25 9 
x y 
E + =  với hai tiêu 
điểm  1 2 , F F  .Điểm  P  thuộc elíp sao cho góc 
·  0 
1 2  120 PFF =  .Tính diện tích tam giác  1 2 PFF  . 
2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz,cho hai đường thẳng :  1 
1 3 
: 
2 3 2 
x y z - - 
D = = 
- 
và 
2 
5 5 
: 
6 4 5 
x y z - + 
D = = 
- 
,mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 P x y z - + - =  .Tìm các điểm  1 2 , M N Î D Î D  sao cho MN 
song song với mặt phẳng ( ) P  và cách mặt phẳng ( ) P  một khoảng bằng 2. 
Câu VII B:(1,0 điểm): Tìm phần thực,phần ảo của số phức 
( ) 
( ) 
2012 
2011 
1 
3 
i 
z 
i 
+ 
= 
+ 
www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 
(gồm 5 trang) 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 
Môn thi: Toán, khối A,B 
ĐÁP ÁN 
Câu  Ý  Nội dung  Điể
m 
I  2,0 
0 
1  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :  2x 1 y 
x 1 
- 
= 
+ 
+Tập xác định { } \ 1 D = - ¡ 
+Sự biến thiên 
·  ­Chiều biến thiên: 
( ) 2 
3 
' 
1 
y 
x 
= 
+ 
0 >  1 x " ¹ -  . 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1 -¥ -  và ( ) 1; - +¥ 
·  Cực trị : Hàm số không có cực trị. 
·  Giới hạn tại vô cực và tiệm cận: 
2 1 
lim lim 2 
1 x x 
x 
y 
x ®±¥ ®±¥ 
- 
= = 
+ 
,đường thẳng  2 y =  là tiệm cận ngang 
1 1 
2 1 2 1 
lim ; lim 
1 1 x x 
x x 
x x - + ®- ®- 
- - 
= +¥ = -¥ 
+ + 
, đường thẳng  1 x = -  là tiệm cận đứng 
·  Bảng biến thiên : 
x  ­ ¥  ­ 1                          +¥ 
y'  +              ||              + 
y +¥  2 
|| 
2 -¥ 
+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 
1 
;0 
2 
A æ ö ç ÷ 
è ø 
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm ( ) 0; 1 B - 
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là ( ) 1;2 I -  làm tâm đối xứng. 
1,00 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
8 
6 
4 
2 
­2 
­4 
­6 
­10  ­5  5  10
2  Tìm trên đồ thị ( ) C  điểm M có hoành độ dương ......  1,00 
TCĐ ( ) 1 d  :  1 x = -  ,TCN ( ) 2  : 2 d y = 
( ) 1; 2 I Þ -  .Gọi  0 0 
0 
2 1 
; 
1 
x 
M x 
x 
æ ö - 
ç ÷ + è ø 
( ) ( ) 0 , 0 C x Î > 
Phương trình tiếp tuyến với ( ) C  tại ( ) 
( ) 
( )  0 0 2 
0 0 
2 1 3 
: : 
1 1 
x 
M y x x 
x x 
- 
D = - + 
+ + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 1 2 0 
0 
2 4 
1; , 2 1;2 
1 
x 
d A d B x 
x 
ì ü æ ö - ï ï D Ç = - D Ç = + í ý ç ÷ + ï ï è ø î þ 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
2  4 2 
0 2 2 2  0 0 
0 
0 
0 
36 
4 1 40  1 10 1 9 0 
1 40 
0 
0 
x  x x 
x IA IB 
x 
x 
ì + + = ì + - + + = ï ï + + = Û Û í í 
> ï ï î > î 
0  2 x Û = ( ) 0  1 y = ( ) 2;1 M Þ  . 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
II  2,00 
1 Giải phương trình :  4 2 4 3sin 2cos 3 3 3 cos 1 x x cos x cos x x + + = - +  1,00 
Pt ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 sin 2cos 3 1 cos3 cos 0 x cos x x x x Û - + - + + = 
3 2 cos 6 2cos 2 cos 0 cos x x x x Û - + + =  3 4 2 6 2 2cos2 cos 0 cos x cos x x x Û - + = 
( ) ( ) ( ) 
2 
2 
2 0(*) 
2 2cos 2 3 cos 0 
2 cos 2 1 cos 1 0(**) 
cos x 
cos x x x 
x x 
= é 
Û - + = Û ê 
- + - = ê ë 
+Pt (*) , 
4 2 
k 
x k p p Û = + ÎZ . 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ** 2 2 1 2 1 cos 1 0 8 sin cos 1 0 cos x cos x x cos x x x Û - + + - = Û - + - = 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 cos 1 cos 1 0 cos 1 8 cos 1 1 0 cos x x x x cos x x é ù Û - + - = Û - + + = ë û 
( ) ( ) 2 
cos 1 
2 , 
8 cos 1 1 0 
x 
x k k 
cos x x vn 
p 
= é 
Û Û = Î ê + + = ë 
Z 
Phương trình có 2 họ nghiệm:  & 2 , 
4 2 
x k x k k p p p = + = ÎZ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 
Giải phương trình: 
( ) 2 4 1 
5 2 4 2 
27 
x 
x x 
+ 
+ + - = 
1,00 
Điều kiện : 
5 
;2 
2 
x é ù Î -ê ú ë û 
Ta có ( ) ( )( ) 2 5 2 4 2 9 2 5 2 4 2 9 5 2 4 2 3 x x x x x x + + - = + + - ³ Þ + + - ³  (*) 
Mặt khác 
5 
;2 
2 
x é ù " Î -ê ú ë û 
( ) ( ) 
2 
2  4 1 
9 4 1 9 0 4 1 81 0 3 
27 
x 
x x 
+ 
Þ - £ + £ Þ £ + £ Þ £ £ ( ) ** 
Từ (*) và (**) suy ra phương trình tương đương với: 
( ) 2 
5 5 2 4 2 3 
2 
4 1 9  2 
x x  x 
x  x 
é ì + + - = = - ï ê Û í ê + = ï î = ë 
.So với điều kiện ta được nghiệm của phương 
trình là 
5 
2 
2 
x 
x 
é = - ê 
ê 
= ë 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
III  Tính tích phân   1,00 
( ) ( ) ( ) ( ) 
2 2 
0 0 
2 2 
2 2 
4 2 2 
x x 
I x dx x dx 
x x 
- - 
= - = - 
- + - ò ò 
đặt  2 2 2 x cos t - =  với  0; 
2 
t p é ù Î ê ú ë û 
4sin 2 dx tdt Þ = 
x  0  2 
t  0 
4 
p 
( ) ( ) ( ) ( ) 
2  4 
0 0 
2 2  sin 
2 4 2 2 sin 2 
2 2 cos 
x  t 
I x dx cos t tdt 
x t 
p 
- - 
= - = - 
+ - ò ò 
( ) ( ) 
4 4 
0 0 
4 
0 
8 2 . cos2 1 4 1 cos 4 2 2 
1 
4 sin 4 sin 2 4 
4 
I cos t t dt t cos t dt 
I t t t 
p p 
p 
p 
= - = + - 
æ ö = + - = - ç ÷ 
è ø 
ò ò 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
IV  Cho hình chóp  . S ABC có  · ·  0 4, 2, 4 3, 30 AB AC BC SA SAB SAC = = = = = =  ...  1,00 
Theo định lí cô sin trong tam giác ta được 
2 2 0  3 2 . . 30 48 16 2.4 3.4. 4 
2 
SB AS AB AS AB cos SC = + - = + - = = 
Gọi  , M N  lần lượt là trung điểm của  , SA BC  , BAS CAS Þ D D  cân nên 
, BM SA CM SA ^ ^ ( ) SA MBC Þ ^ 
ta có ( ) BAS CAS c c c D = D - -  MB MC MBC Þ = Û D  cân tại M MN BC Þ ^ 
Trong tam giác vuông  ·  0  1 , 30 2 
2 
ABM MAB BM AB = Þ = =  tương tự 
2 CM BC = =  suy ra  MBC D  đều có cạnh bằng 2  2 
3 
2 3 
4 MBC 
dt = = V  .Từ đó thể 
tích khối chóp S.ABC là: 
1 1 
. . .4 3. 3 4 
3 3 SABC MBC 
V SA dt = = = V  (đvtt) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
V  Tìm giá trị lớn  nhất của biểu thức : P a b b c c a abc = + + -  .  1,00 
Đặt  , , a x b y c z = = =  ,thì điều kiện trở thành: 
2 2 2 
, , 0 
3 
x y z 
x y z 
³ ì 
í 
+ + = î 
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2 2 2 P x y y z z x xyz = + + - 
Ta thấy  0 P ³  theo bất đẳng thức Côsi. 
Không mất tính tổng quát giả sử  y  là số có giá trị nằm giữa  & x z  khi đó ta 
có: ( )( )  2 2 2 0 0 z y x y z y z z x yz xyz - - £ Þ + - - £ 
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xyz x y y z P x y y z Û + + - £ + Þ £ + 
( ) 
3 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 2 1 1 2 .2 . . 4 
2 2 3 
y x z x z 
P y x z 
æ ö + + + + 
Û £ + £ = ç ÷ 
è ø 
(bất đẳng thức Côsi.) 
0,25 
0,25 
0,25
2 P Û £  dấu bằng xẩy ra trong 2 trường hợp 
2 2 
1 
2 
0 
1 
2 
0 
a b c 
x y z 
a 
z 
b 
x y 
c 
= = = é 
= = é ê = ì ê ê = Û ì ï ê ê = í í ê ê = î ï ë = êî ë 
Vậy  max  2 1 2; 1; 0 P a b c a b c = Û = = = Ú = = =  và các hoán vị. 
0,25 
VIA  2.00 
1 Tìm toạ độ các đỉnh  , , A B C .  1,00 
B AB BC = Ç  nên toạ độ B là nghiệm hpt: ( ) 3 5 0 2  2; 1 
1 0 1 
x y x 
B 
x y y 
+ + = = - ì ì 
Û Û - - í í - + = = - î î 
Đường thẳng  AB có vtpt ( ) 1  1;3 n = 
r 
Đường thẳng  BC có vtpt ( ) 2  1; 1 n = - 
r 
Đường thẳng  AC có vtpt ( ) 3  ; n a b = 
r 
với đ/k  2 2  0 a b + > 
Do tam giác  ABC cân tại  A  nên  · ·  0 90 ABC ACB = < · · cos cos ABC ACB Þ = Û 
( ) ( )  1 2 2 3 1 2 2 3  2 2 
1 2 2 3 
. .  2 
; ; 
10 2  2 
n n n n a b 
cos n n cos n n 
n n n n  a b 
- 
= Û = Û = 
+ 
r r r r 
r r r r 
r r r r 
( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 4 10 3 3 0 3 0 3 0 a b a b a b a b a b a b Û + = - Û - - = Û - = Ú - = 
·  3 0 a b - =  chọn ( ) 3 3, 1 3;1 a b n = = Þ = 
r 
do  AC  đi qua 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3;0 : 3 3 1 0 0 : 3 9 0 M AC x y AC x y Þ - + - = Û + - = 
A AB AC = Ç  nên toạ độ  A là nghiệm hpt: ( ) 3 5 0 4  4; 3 
3 9 0 3 
x y x 
A 
x y y 
+ + = = ì ì 
Û Û - í í + - = = - î î 
C BC AC = Ç  nên toạ độ C là nghiệm hpt: ( ) 1 0 2  2;3 
3 9 0 3 
x y x 
C 
x y y 
- + = = ì ì 
Û Û í í + - = = î î 
·  3 0 a b - =  chọn ( ) 3 1 1, 3 1;3 / / a b n n AB AC = = Þ = = Þ 
r r 
(loại ) 
Vậy toạ độ các đỉnh là ( ) ( ) ( ) 4; 3 , 2; 1 , 2;3 A B C - - -  . 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 Tìm toạ độ điểm  I  là giao điểm của  1 d  và  2 d  ,lậpphương trình đường thẳng  3 d    1,00 
Toạ độ  I  là nghiệm hpt: ( ) 
1 3  1 
1 2 2  1 1;1;1 
1 1 1 
1 
1 2 2 
x y z  x 
y I 
x y z 
z 
+ - ì = ì = = ï ï ï - - Û = Û í í - - - ï ï = = = î ï î 
mặt phẳng ( ) Q  chứa  1 2 , d d  thì ( ) Q  đi qua ( ) 1;1;1 I  và có một vtpt 
[ ] ( ) ( ) 1 2 / / ; 8; 4;0 2; 1;0 Q Q n u u n = - Þ = - 
r r r r ( ) : 2 1 0 Q x y Þ - - = 
ta thấy ( ) ( ) 0; 1;2 P Q - Π .Giả sử có  3 d  qua  , P  3 1 3 2 , d d A d d B Ç = Ç =  khác  I sao 
cho  IA AB =  .Lấy ( ) 1 1 2;3;3 A d Π , ( ) 1 2 ; 1 2 ;3 2 B t t t d - - - + Π chọn  t  sao 
cho  1 1 1 A I A B =  với  1 B I t ¹ Þ  là nghiệm phương trình 
2 2 2 
1 1 1 
11 
9 20 11 0 1 
9 
A I A B t t t t = Û + + = Û = - Ú = - 
( ) 1 
1 
1;1;1 ( ) 
11 13 5 
; ; 
9 9 9 
B I loai 
B 
é º 
ê Û æ ö ê 
ç ÷ ê è ø ë 
đường thẳng  3 d  có vtcp ( ) 1 1 
7 14 22 
/ / ; ; 7;14;22 
9 9 9 
u B A u æ ö = Þ = ç ÷ 
è ø 
uuuur r r 
đường thẳng  3 d  đi qua ( ) 0; 1;2 P -  từ đó pt của  3 d  là 
0,25 
0,25 
0,25
3  : d 
1 2 
7 14 22 
x y z + - 
= = 
0,25 
VII
A 
Xét khai triển ( ) 2011  0 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 ... i C C i C i C i C i + = + + + + + 
do  4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, , k k k k i i i i i i k + + + = = = - = - " Î¥  do đó ta có 
1.00 
0,25 
( ) ( ) ( ) 2011  0 2 4 2010 1 3 5 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 ... ... i C C C C C C C C i + = - + - - + - + - -  (1) 
mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
1005 2011 2 1005  1005 1005 1 1 1 2 1 2 2 i i i i i i é ù + = + + = + = - + ë û  (2) 
Từ (1) và (2) ta được:  1 3 5 7 2009 2011 1005 2011 2011 2011 2011 2011 2011  2 S C C C C C C = - + - + + - = L 
0,25 
0,25 
0,25 
VIB  2,00 
1 Điểm  P  thuộc elíp sao cho góc ·  0 1 2  120 PFF =  .Tính diện tích tam giác  1 2 PFF  1,00 
( ) 
2 2 
: 1 
25 9 
x y 
E + =  có 
2 
2 2 2 2 
1 2 
5  2 10 25 
4 8 16 9 
a  a a 
c F F c a b b 
= ì = = ì ì ï Þ Þ í í í = Þ = = - = = ï î î î 
theo định nghĩa elip và định lí cô sin ta có: 
( ) 
2 1 1 2 
2 2 2 2 0  2 2 
2 1 1 2 1 1 2  1 1 1 
10 2 10 
2 . . 120  10 8 .8 
PF PF PF PF a 
PF PF F F PF F F cos  PF PF PF 
= - ì + = = ì ï ï Þ í í 
= + - - = + + ï î ï î 
1 2 
1 
0 
1 1 2 
2 
9 
1 1 9 3 18 3 7  . .sin120 . .8. 
61  2 2 7 2 7 
7 
PF F 
PF 
S PF F F 
PF 
D 
ì = ï ï Þ = = = í 
ï = 
ï î 
(đvdt) 
0,25 
0,25 
0,5 
2 Tìm các điểm  1 2 , M N Î D Î D  sao cho MN   1,00 
pt tham số của 
( ) 
( ) 
1 
1 2 
2 
1 2 5 6 
1 2 ;3 3 ;2 
: 3 3 & : 4 
5 6 ;; 4 ; 5 5 
2 5 5 
x t x s 
M t t t 
y t y s 
N s s s 
z t z s 
= + = + ì ì ì + - Î D ï ï ï D = - D = Þ í í í 
+ - - Î D ï ï ï î = = - - î î 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )  1 12 6 / / ; ; 2 
0 3 
t t 
MN P d MN P d M P 
t 
= - é 
Þ = = = Þ ê = ë 
· ( ) ( ) 1 1 1 3;0;2 6 2;4 ; 5 7 t M M N s s s = Þ Þ = + - - 
uuuuur 
do 
( ) 1 1 1 / /( ) 1; 2;2 , . 0 P P M N P M N n M N n Þ ^ = - = Þ 
uuuuur uuuuur r r 
( ) ( ) ( ) 1 6 2 2.4 2. 5 7 0 1 1; 4;0 s s s s N + - + - - = Þ = - Þ - - 
· ( ) ( ) 2 2 0 1;3;0 6 4;4 3; 5 5 t M M N s s s = Þ Þ = + - - - 
uuuuur 
( ) 2 2 2 / /( ) 1; 2;2 , . 0 P P M N P M N n M N n Þ ^ = - = Þ 
uuuuur uuuuur r r 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 4 2. 4 3 2. 5 5 0 0 5;0; 5 s s s s N + - - + - - = Þ = Þ - 
Đáp số : ( ) ( ) ( ) ( ) 3;0; 2 , 1; 4;0 & 1;3;0 , 5;0; 5 M N M N - - - 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VII
B ( ) 
( ) 
( ) 
2012 
2012  1006 
2011 2011 
2011 
2 cos sin 
1 2 cos sin 4 4 
7 7 3  2 cos sin 2 cos sin  6 6 6 6 
i 
i i 
z 
i  i i 
p p 
p p 
p p p p 
é ù æ ö + ç ÷ ê ú + + è ø ë û = = = 
æ ö é ù æ ö + + ç ÷ + ç ÷ ê ú è ø è ø ë û 
1005 1005 
1 1 
sin sin 
2 6 6 2 6 6 
z cos i cos i p p p p é ù æ ö æ ö é ù Þ = - + - = - ç ÷ ç ÷ ê ú ê ú è ø è ø ë û ë û 
ÞPhần thực của  z  bằng  1005 
1 
2 6 
cos p  , Phần ảocủa  z  bằng 
1005 
1 
sin 
2 6 
p 
- 
1,00 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25