Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 156

TRƯờNG THPT chuyên 
Hà Tĩnh 
------*****------ 
Đề thi Thử Đại học lần iii, năm học 2010-2011 
Môn : Toán ; Khối : A, B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I. (2,0 điểm) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x 3 - 3x 2 . 
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x = 
x x 
m 
3 2 - 
. 
Câu II. (2,0 điểm) 
1. Tìm nghiệm x ( ) p ; 0 ẻ của phương trình : 5cosx + sinx - 3 =  2 sin ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ + 
4 
2 p x . 
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 
1 2 
2 2 3 
log 
2 
2 
2 + + 
+ + 
mx x 
x x 
xác định  R x ẻ " . 
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân I =  dx 
x 
x e 
ũ 
+ 
1 
2  ) ln 1 ln( 
. 
Câu IV. (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng  1 1 1 1 .  D C B A ABCD có đáy là hình bình hành và có 
0 45 = éBAD . Các đường chéo  1 AC và  1 DB lần lượt tạo với đáy các góc 45 
0 và 60 0 . Hãy tính thể tích 
của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2. 
Câu V. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
= + 
= + - + + 
30 3 2 
0 6 ) 3 2 ( 5 36 18 8 
2 2 
2 2 
y x 
xy y x xy y x ( ) R y x ẻ , . 
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm)  Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B). 
A. Theo chương trỡnh Chuẩn: 
Cõu VIa. (2,0 điểm) 
1.  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cỏc đường thẳng  1 : 3 2 4 0 d x y + - =  ;  2  : 5 2 9 0 d x y - + =  . 
Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm  2 I d ẻ  và tiếp xỳc với  1 d  tại điểm ( ) 2;5 A -  . 
2.  Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD với  ( 1 ; 2; 1), (2 ; 3 ; 2) A B -  . 
Tỡm tọa độ cỏc đỉnh C, D biết tõm I của hỡnh thoi thuộc đường thẳng 
1 2 
: 
1 1 1 
x y z 
d 
+ - 
= = 
- - 
. 
Cõu VIIa. (1,0 điểm)  Tỡm số phức  z  thỏa món  1 5 z - =  và 17( ) 5 0 z z z z + - =  . 
B. Theo chương trỡnh Nõng cao: 
Cõu VIb. (2,0 điểm) 
1.  Trong  mặt phẳng tọa độ  Oxy,  cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 - 6x - 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường 
thẳng (d) đi qua M (0;2) và cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 4. 
2.  Trong  khụng  gian  tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt cầu 
(S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 6y - 4z + 5 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2. 
Cõu VIIb. (1,0 điểm)  Trong  cỏc acgumen  của số phức ( ) 8 1 3i -  , tỡm  acgumen cú số đo dương nhỏ nhất . 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Ghi chú : Thí sinh không được sử dụng tài liệu C án bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh :--------------------------------------; Số báo danh:------------------- 
Kutegirl73@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
TT trường THPTchuyên 
Hà Tĩnh 
kỳ thi Thử Đại học lần iii, năm học 2010 -2011 
Môn: Toán - Khối: a, B 
Câu Đáp án Điểm 
I 
y = x 3 - 3x 2 . 
* Tập xác định : D = R 
* Sự biến thiên : 
- Giới hạn:  lim 
x 
y 
đ+Ơ 
= +Ơ  lim 
x 
y 
đ-Ơ 
= -Ơ 
0.25 
- Chiều biến thiên : y , = 3x 2 - 6x = 3x(x -2) 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -Ơ ; 0) và (2; + Ơ ), nghịch biến trên khoảng (0;2). 
ư Đồ thị cú điểm  cực đại (0;0), điểm cực tiểu (2; ư4) 0.25 
- Bảng biến thiên : 
x - Ơ 0 2 +Ơ 
y ’ + 0 - 0 + 
y 0 - 4 
0.25 
1. 
(1đ) 
* Đồ thị : 
y'' = 6x - 6 = 0 Û x = 1 
Điểm uốn U(1;-2) 
Đồ thị đi qua các điểm (-1;-4), (3; 0) và nhận điểm U(1;-2) làm 
tâm đối xứng . 
0.25 
2. 
(1đ) x = 
x x 
m 
3 2 - 
Û  2 
0, 3 
3 
x x 
x x x m 
ạ ạ ỡ ù 
ớ - = ù ợ 
. Số nghiệm của pt bằng số giao điểm của đồ thị 
y =  2  3 x x x -  ( x  0 ạ  và x ạ 3) với đồ thị y = m . 
Ta cú y = 
3 2 
2 
3 2 
3 0 3 
3 
3 0 3 
x x khi x hoac x 
x x x 
x x khi x 
ỡ - ù - = ớ 
- + < < ù ợ 
. 
Lập bảng biến thiờn ta cú: 
x  ưƠ  0  2  3                +Ơ 
y ’  +  0  +  0  ư  + 
y 
4 
0 
0 
+/  m  4 thỡ pt cú 1 nghiệm. 
+/   m = 0 pt vụ nghiệm. 
+/   0 < m < 4 pt cú 3 nghiệm. 
+/  m = 4 pt cú 2 nghiệm. 
0.25 
0.25 
0.25 
0,25 
x 
y 
0
II 
5cosx + sinx - 3 =  2 sin ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ + 
4 
2 p x Û 5cosx +sinx – 3 = sin2x + cos2x 0.25 
Û 2cos 2 x – 5cosx + 2 + sin2x – sinx = 0 Û (2cosx – 1 )(cosx – 2) + sinx( 2cosx – 1) = 0 
Û (2cosx – 1) ( cosx + sinx – 2 ) = 0. 
0,25 
+/ cosx + sinx = 2  vụ nghiệm. 
+/   cosx = 
1 
2 , 
2 3 
x k k Z p p Û = ± + ẻ  . 
0,25 
1. 
(1đ) 
Đối chiếu điều kiện x ( ) 0;p ẻ  suy ra pt cú  nghiệm duy nhất  là : 
3 
p 0,25 
Hàm số xỏc định 
2 2 
2  2 2 
3 2 2 3 2 2 
log 0 1 
2 1 2 1 
x x x x 
x R x R 
x mx x mx 
+ + + + 
" ẻ Û ³ Û ³ " ẻ 
+ + + + 
(*). 
0.25 
Vỡ  3x 2 + 2x + 2 > 0  x "  ,  nờn (*) 
2 
2 2 
1 0 
2 1 3 2 2 
m 
x mx x x x 
ỡ - < ù Û ớ 
+ + Ê + + " ù ợ 
0.25 
2 
2 
2 2(1 ) 1 0 
4 2( 1) 3 0 , 
1 1 
x m x 
x m x x R 
m 
ỡ + - + ³ 
ù 
Û + + + ³ " ẻ ớ 
ù - < < ợ 
0,25 
2 
(1đ) 
Û 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
< < - 
Ê D 
Ê D 
1 1 
0 
0 
2 
' 
1 
' 
m 
.  Giải ra ta cú  với :  1 ư  2 1 m Ê <  thỡ  hàm số xỏc định với  x R " ẻ  . 0,25 
III. 
(1đ)  Đặt  lnx = t ,  ta cú I = 
1 
2 
0 
ln(1 ) t dt + ũ  .  Đặt  u = ln( 1+t 2 ) , dv = dt  ta cú : du =  2 
2 
, 
1 
t 
dt v t 
t 
= 
+ 
. 
Từ đú cú :  I = t ln( 1+ t 2 ) 
1 1 1 2 
2 2 
0 0 0 
1 
2 ln 2 2 
0  1 1 
t dt 
dt dt 
t t 
ổ ử 
- = - - ỗ ữ 
+ + ố ứ 
ũ ũ ũ  (*). 
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tớnh được 
1 
2 
0 1 4 
dt 
t 
p 
= 
+ ũ  . 
Thay vào (*) ta cú :  I = ln2 – 2 + 
2 
p 
. 
0.25 
0.5 
0.25 
IV. 
(1đ) 
Hỡnh lăng trụ đứng nờn cạnh bờn vuụng gúc với đỏy và độ dài cạnh bờn bằng chiều cao của 
hỡnh lăng trụ. Từ giả thiết ta cú :  0 0 1 1 45 , 60 . C AC B DB é = é = 
Từ đú suy ra : AC = CC1 = 2 ,  BD = 2 cot 60 0 = 
2 
3 
. 
Áp dụng định lý cụ sin cú: BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB.AD. cos45 0 
AC 2 =  DC 2 +AD 2 – 2DC.AD.cos135 0 . 
0,5
Ta cú BD 2 –AC 2 = 
4 4 
. 2 . ( 2) 2 2 . 4 2 2 . . 
3  3 2 
AB AD DC AD AB AD AB AD AB AD - + - = - ị - = - ị = 
Từ đú 
1 1 1 1 . ABCD A B C D 
V = AB.AD sin45 0 .AA 1 = 
4 2 4 
. .2 
2 3 3 2 
= . 
0,5 
Điều kiện xy  0 ³  .Nếu x = 0 suy ra y = 0 khụng thoả món pt (2) của hệ. 
Nếu y = 0 cũng tương tự, vậy xy > 0. 
Pt (1) của hệ Û  2 2 8 18 36 5(2 3 ) 6 x y xy x y xy + + = + 
6 2 3 5 
2 3 2 6 
xy x y 
x y x y 
+ 
Û + = 
+ 
. Dễ thấy 2 số hạng cùng 
dấu có tổng = 2,5 nên suy ra x > 0 , y > 0 . 
0,5 
V. 
(1đ) 
Đặt 
2 3 
, 2. 
6 
x y 
t t 
xy 
+ 
= ³  Xột  f(t) = t + 
1 
, 2 t 
t 
³  .  Ta thấy f ’ (t) = 
2 
2 
1 
0 2 
t 
t 
t 
- 
> " ³  suy ra f(t) 
5 
2 
³  . 
Dấu = xẩy ra khi t = 2 hay khi  2x =  3y.  Thay vào pt (2) của hệ , suy ra hệ cú nghiệm: x = 3 ; y = 2. 
0,5 
Do đường trũn tiếp xỳc với đường thẳng 
1 d  tại điểm A nờn  1 IA d ^  . 
Vậy phương trỡnh IA là: 
( ) ( ) 2 2 3 5 0 2 3 19 0 x y x y + - - = Û - + = 
d2 
d1 
A 
0.5 
Kết hợp  2 I d ẻ  nờn tọa độ tõm I là nghiệm hệ ( ) 
5 2 9 0 1 
1;7 
2 3 19 9 7 
x y x 
I 
x y y 
- + = = ỡ ỡ 
Û ị ớ ớ - + = = ợ ợ 
Bỏn kớnh đường trũn  13 R IA = =  . 
Vậy phương trỡnh đường trũn là: ( ) ( ) 2 2 1 7 13 x y - + - = 
0,5 
Gọi ( ) 1 ; ; 2 I t t t d - - - + ẻ  . Ta cú ( ) ( ) ; 2 ; 1 , 3 ;3 ; IA t t t IB t t t = + - - = + + - 
uur uur 
. 
Do ABCD là hỡnh thoi nờn  2 . 0 3 9 6 0 1, 2 IA IB t t t t = Û + + = Û = - = - 
uur uur 
. 0,5 
VIa.
1. 
(1đ) 
2. 
(1đ) 
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nờn: 
*  Với ( ) ( ) ( ) 1 0;1;1 1;0;1 , 2; 1;0 t I C D = - ị ị - -  . 
*  Với ( ) ( ) ( ) 2 1; 2;0 3;2; 1 , 0;1; 2 t I C D = - ị ị - -  . 
0.5 
VIIa. 
(1đ) 
Đặt  z a bi = +  , ta cú: ( ) ( ) 2  2 2 2 1 5 1 5 2 24 1 z a b a b a - = Û - + = Û + - = 
Mặt khỏc: ( ) 2 2  34 17( ) 5 . 0 2 
5 
z z z z a b a + - = Û + = 0.5 
A 
B 
C1 
D 
C
Thay (2) vào (1) được 
24 
24 5 
5 
a a = Û =  . Kết hợp với (1) cú  2  9 3, 3 b b b = Û = = -  . 
Vậy cú hai số phức thỏa món bài toỏn là:  5 3i +  và 5 3i -  . 
0,5 
(C) cú tõm I(3;1) và b/k  R =3 .Giả sử (C) cắt (d) tại A , B .Hạ IH ^ AB thỡ H là trung điểm của AB suy 
ra AH =  2. Tam gớac AHI vuụng tại H nờn  IH =  2 2  9 4 5 IA AH - = - =  . 
Vỡ (d) qua M(0;2) nờn cú pt   A(xư0) +B(yư2) = 0 ( A 2 + B 2 ạ  0) Û  Ax + By – 2B = 0 . 
0,5 
Ta cú IH =  2 2 
2 2 
3 2 
5 5 2 3 2 0 
A B B 
A AB B 
A B 
+ - 
Û = Û - - = 
+ 
. Chọn B = 1 ta cú :  A = 2 hoặc ư 
1 
2 
. 
Vậy cú 2 đt  (d) phải tỡm là :  (d1): 2x + y ư2 = 0  và   (d2) :  x – 2y + 4 = 0.  0.5 
Phương trỡnh (S) :  (xư1) 2 + (y + 3) 2 + ( z ư2) 2  = 9 suy ra tõm I( 1; ư3;2), b/k R = 3. 
(P) chứa Oy nờn pt cú dạng Ax + Cz = 0 với (A 2 +C 2  0 ạ  ). 
0.5 
VIb 
1. 
(1đ) 
2. 
(1đ) 
(P) cắt (S)  theo đường trũn b/k r = 2 suy ra d(I,(P)) =  2 2 
2 2 
2 
5 5 2 
A C 
R r C A 
A C 
+ 
- = Û = Û = 
+ 
Chọn A = 1 thỡ C = 2.  Vậy pt mf (P) là :  x + 2z = 0. 
0.5 
Ta cú 
1 3 
1 3 2 2 cos( ) isin( ) 
2 2 3 3 
i i p p 
ổ ử ổ ử - = - = - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 
. 
0,5 
VIIb. 
(1đ) 
Theo cụng thức Moavơrơ ta cú  8 
8 8 
2 cos( ) i sin( ) 
3 3 
z p p ổ ử = - + - ỗ ữ 
ố ứ 
. Từ đú  suy ra z cú  họ cỏc 
acgumen là : 
8 
2 , 
3 
k k Z p p - + ẻ  .  Ta thấy với k = 2  thỡ  acgumen dương nhỏ nhất của  z  là  4 
3 
p 
.  0,5
0.25 
0.5 
VII 
b. 
0.25