Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 157

TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
HÀ TĨNH 
®Ò THI THö §¹I HäC LÇn 3 n¨m häc 2010-2011 
MÔN:   TOÁN Khối D;    Thời gian làm bài: 180 phút 
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I. (2,0 điểm)  Cho hàm số 
( ) 2 1 
2 
x 
y 
x 
+ 
= 
+ 
có đồ thị là  ( ) C  . 
1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
2.  Viết phương trình các tiếp tuyến của  ( ) C  biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  3 y x =  một góc  0 45  . 
Câu II. (2,0 điểm) 1.  Giải phương trình: ( )  2 1 2cos3 sin sin 2 2sin 2 0 
4 
x x x x p æ ö + + - + = ç ÷ 
è ø 
. 
2.  Giải  hệ phương trình: 
( ) 
( ) 
2 2 2 2 
2 2 2 2 
185 
65 
x xy y x y 
x xy y x y 
ì + + + = ï 
í 
- + + = ï î 
Câu III. (1,0 điểm)  Tính tích phân 
4 
3 
0 
sin 
cos 
x x 
I dx 
x 
p 
= ò  . 
Câu  IV.  (1,0  điểm)    Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  là  hình  thoi  tâm  O,  cạnh  bằng  a,  0 60 BAD Ð =  ; 
( ) SO mp ABCD ^  .  Biết  khoảng  cách  từ  điểm  A  đến  mp(SBC)  bằng  3 
4 
a 
.  Tính  thể  tích  khối  chóp 
S.ABCD. 
Câu V. (1,0 điểm)  Cho các số thực  , , a b c  thỏa mãn  1. ab bc ca + + =  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2 40 27 14 A a b c = + + 
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). 
a. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu  VIa.  (2,0  điểm)    1.  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  trục  Oxy,  cho  các  đường  thẳng  1 : 3 2 4 0 d x y + - =  ; 
2  : 5 2 9 0 d x y - + =  và điểm ( )  1 2;5 A d - Π . Viết phương trình đường tròn có tâm  2 I d Π và tiếp xúc với 
1 d  tại A. 
2. Trong  không gian  với  hệ  trục Oxyz,  cho hình  thoi ABCD với  ( 1 ; 2; 1), (2 ; 3 ; 2) A B -  . Tìm  tọa độ các 
đỉnh C, D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng 
1 2 
: 
1 1 1 
x y z 
d 
+ - 
= = 
- - 
. 
Câu VIIa. (1,0 điểm)  Tìm số phức  z  thỏa mãn  1 5 z - =  và 
1 1 5 
17 z  z 
+ = 
b. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu VIb. (2,0 điểm)  1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có ( ) 2;1 B -  , phương trình 
đường  thẳng  chứa  cạnh AC  là  2 1 0 x y + + =  , phương  trình đường  thẳng  chứa  trung  tuyến  kẻ  từ A  là 
3 2 3 0 x y + + =  . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. 
2.  Trong  không  gian  với  hệ  trục  Oxyz,  cho  đường  thẳng 
3 6 
: 
1 1 1 
x y z 
d 
- + 
= = 
- 
và  mặt  phẳng 
( ) : 6 6 7 42 0 P x y z + - + =  . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc  d , tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có 
bán kính  11 R =  . 
Câu VIIb.  (1,0 điểm)Viết dạng  lượng giác của số phức ( ) 8 1 3 z i = +  . Trong các acgumen của số phức z, 
hãy tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất. 
Kutegirl73@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
HÀ TĨNH 
§¸P ¸N ®Ò THI THö §¹I HäC LÇn 3 n¨m häc 2010-2011 
MÔN:   TOÁN Khối D;    Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu  Đáp án  Điểm 
1. (1,0 điểm) 
a. Tập xác định:  } 2 { \ - R  . 
b. Sự biến thiên: 
* Chiều biến thiên: Ta có 
2 
2 
' 0, 2. 
( 2) 
y x 
x 
= > " ¹ - 
+ 
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ) 2 ; ( - -¥  và  ) ; 2 ( ¥ + -  . 
* Giới hạn:  lim 2 
x 
y 
®+¥ 
=  ;  lim 2 
x 
y 
®-¥ 
=  ; 
( 2) 
lim 
x 
y 
+ ® - 
= -¥ ; 
( 2) 
lim 
x 
y 
- ® - 
= +¥ 
Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là  1 - = y  và tiệm cận đứng là  2 - = x  . 
0,5 
* Bảng biến thiên
x ¥ -  2 - ¥ + 
' y  +                            + 
y 
¥ +  2 
2 ¥ - 
c. Đồ thị:   Đồ thị cắt Ox tại (­1; 0); 
cắt Oy tại ( ) 0;1  . 
Đồ  thị  nhận  giao  điểm  ( 2;2) I - 
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 
0,5 
2.  (1,0 điểm) 
Phương trình đường thẳng d viết lại thành: 3 0 x y - =  . 
Nhận thấy các đường thẳng có dạng  x m =  không tiếp xúc với  ( ) C  . Xét các tiếp tuyến có 
dạng  0 y kx b kx y b = + Û - + =  . Do góc giữa d và tiếp tuyến bằng  0 45  nên 
2 2 
2 
3 1  1 1 
3 1 5. 1 2 3 2 0 2, 
2 2 10. 1 
k 
k k k k k k 
k 
+ 
= Û + = + Û + - = Û = - = 
+ 
Do  ' 0 y >  nên chỉ lấy 
1 
2 
k = 
0,5 
I. 
(2,0 
điểm) 
Khi đó 
( ) 
( ) 2 2 
2 1 
2 4 0, 4 
2 2 
x x x 
x 
= Û + = Û = = - 
+ 
* Với ( ) 0 0 1 x y = Þ =  ta có phương trình tiếp tuyến  1  1 
2 
y x = + 
* Với ( ) 4 4 3 x y = - Þ - =  ta có phương trình tiếp tuyến  1  5 
2 
y x = + 
0,5 
y 
x 0 
2 
­2 
­1  1 
I
1. (1,0 điểm) 
Phương trình đã cho tương đương với  sin sin 4 sin 2 sin 2 1 cos 4 0 
2 
x x x x x p æ ö + - + - + + = ç ÷ 
è ø 
0,5 
sin sin 4 1 sin 4 0 
sin 1 2 , . 
2 
x x x 
x x k k Z p p 
Û + - + = 
Û = Û = + Π 0,5 
2. (1,0 điểm) 
Cộng từng vể của hai phương trình ta được: 
( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 250 125 5 x y x y x y x y + + = Û + = Û + =  .Thay vào hệ có  12 xy = 
0,5 
II. 
(2,0 
điểm) 
Ta có hệ: ( ) 
2 2 2  7 25  2 25 
12 12  12 
x y x y  x y xy 
xy xy  xy 
ì + = ± ì + = ì + - = ï Û Û í í í = = = î ï î î 
. 
Giải hai hệ trên ta được các nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) 3; 4 , 4;3 , 3; 4 , 4; 3 - - - - 
0,5 
Đặt 
3 
sin 
, 
cos 
xdx 
u x dv 
x 
= =  . Khi đó 
2 
1 
, 
2 cos 
du dx v 
x 
= =  0,5 III. 
(1,0 
điểm)  Theo công thức tích phân từng phần ta có 
4 4 
4 
2 2 
0  0 
1 1 1 
tan 
2cos 2 cos 4 2 4 2 o 
x dx 
I x 
x x 
p p 
p p p 
= - = - = - ò  .  0,5 
Kẻ ( ) OM BC BC mp SOM ^ Þ ^  . 
Kẻ ( ) OH SM OH mp SBC ^ Þ ^  . 
Khi đó: 
( ) ( ) ( ) ( ) 3  ; 2 ; 
4 
3 
2 
8 
a 
d A SBC d O SBC 
a 
OH OH 
= = 
= Þ = 
0,5 
IV. 
(1,0 
điểm) 
Từ giả thiết tính được 
3 
,
2 2 
a a 
OB OC = =  . 
Ta có: 
2 2 2 2 2 2 
1 1 1 4 4 16 
3 3 OM OB OC a a a 
= + = + = 
2 2 2 2 2 2 
1 1 1 64 16 16 3 
9 3 9 4 
a 
OS 
OS OH OM a a a 
Þ = - = - = Þ = 
Mặt khác  0 2 
3 
2 . .sin 60 
2 ABCD ABD 
S S AB AD a = = =  3 
1 3 
. 
3 8 ABCD ABCD 
V SO S a Þ = = 
0,5 
V. 
(1,0 
điểm) 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 
2 2 
2 2 
2 2 
24 6 24 
16 9 24 
18 8 24 
a c ac 
a b ab 
b c bc 
+ ³ 
+ ³ 
+ ³ 
Cộng vế ta được: ( ) 2 2 2 40 27 14 24 24 A a b c ab bc ca = + + ³ + + = 
0,5 
S 
C 
M 
B 
A 
O 
H 
D
Dấu  “  =  ”  xảy  ra  khi  và  chỉ  khi 
2 3 4  1 4 2 
, , 
1  6 3 6 6 
c b a 
a b c 
ab bc ca 
= = ì 
Û = = = í + + = î 
hoặc 
1 4 2 
, , 
6 3 6 6 
a b c = - = - = -  . 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 24. 
0,5 
1. (1,0 điểm) 
1. Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 
1 d  tại điểm A nên  1 IA d ^  . 
Vậy phương trình IA là: 
( ) ( ) 2 2 3 5 0 2 3 19 0 x y x y + - - = Û - + = 
0,5 
Kết hợp  2 I d Π nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ ( ) 
5 2 9 0 1 
1;7 
2 3 19 9 7 
x y x 
I 
x y y 
- + = = ì ì 
Û Þ í í - + = = î î 
Bán kính đường tròn  13 R IA = =  . 
Vậy phương trình đường tròn là: ( ) ( ) 2 2 1 7 13 x y - + - = 
0,5 
2. Gọi ( ) 1 ; ;2 I t t t d - - - + Π . Ta có ( ) ( ) ; 2 ; 1 , 3 ;3 ; IA t t t IB t t t = + - - = + + - 
uur uur 
. 
Do ABCD là hình thoi nên  2 . 0 3 9 6 0 1, 2 IA IB t t t t = Û + + = Û = - = - 
uur uur 
. 
0,5 
VIa. 
(2,0 
điểm) 
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: 
* Với ( ) ( ) ( ) 1 0;1;1 1;0;1 , 2; 1;0 t I C D = - Þ Þ - -  . 
* Với ( ) ( ) ( ) 2 1;2;0 3;2; 1 , 0;1; 2 t I C D = - Þ Þ - -  .  0,5 
Đặt  z a bi = +  , ta có: ( ) ( ) 2  2 2 2 1 5 1 5 2 24 1 z a b a b a - = Û - + = Û + - = 
Mặt khác: ( ) 2 2 2 2 
1 1 5 1 1 5 2 5 34 
2 
17 17 17 5 
a 
a b a 
z a bi a bi a b z 
+ = Û + = Û = Û + = 
+ - + 
0,5 VIIa. 
(1,0 
điểm) 
Thay (2) vào (1) được 
24 
24 5 
5 
a a = Û =  . Kết hợp với (1) có  2  9 3, 3 b b b = Û = = -  . 
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là:  5 3i +  và 5 3i -  . 
0,5 
1.  Tọa  độ  điểm  A  là  nghiệm  hệ: 
( ) 
2 1 0 1 
1; 3 
3 2 3 0 3 
x y x 
A 
x y y 
+ + = = ì ì 
Û Þ - í í + + = = - î î 
0,5 
Phương trình AC:  2 1 0 x y + + =  2 1 y x Û = - -  , suy ra ( ) ; 2 1 C a a - -  . 
Gọi M là trung điểm BC, ta có 
3 3 
; 
2 
b 
M b 
+ æ ö - ç ÷ 
è ø 
0,25 
VIb. 
(2,0 
điểm) 
Do M là trung điểm BC nên 
2  2 2 0 
2 2 3 3 1 
B C M 
B C M 
x x x  a b a 
y y y a b b 
+ = - = = ì ì ì 
Û Û í í í + = - = - - = î î î 
( ) 0; 1 C Þ - 
0,25 
A 
B 
M 
C 
I 
d2 
d1 
A
Kết luận: ( ) ( ) 1; 3 , 0; 1 A C - - 
2. Gọi ( ) ;3 6 I t t t + + - -  là tâm mặt cầu. Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) 2 2 2 
6 6 3 7 6 42  223 
, 11 19 102 121 1, 
19 6 6 7 
t t t 
d I P R t t t 
+ + - - - + 
= Û = Û + = Û = = - 
+ + -  0,5 
* Với ( ) 1 1;4; 5 t I = Þ -  . Phương trình mặt cầu là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 5 121 x y z - + - + + = 
* Với 
223 223 166 109 
; ; 
19 19 19 19 
t I æ ö = - Þ - - ç ÷ 
è ø 
. 
Phương trình mặt cầu là 
2 2 2 
223 166 109 
121 
19 19 19 
x y z æ ö æ ö æ ö + + + + - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø è ø 
0,5 
Ta có 
1 3 
1 3 2 2 cos i sin 
2 2 3 3 
i i p p 
æ ö æ ö + = + = + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 
0,5 VIIb. 
(1,0 
điểm) 
Theo công thức Moavơrơ ta có  8 
8 8 
2 cos i sin 
3 3 
z p p æ ö = + ç ÷ 
è ø 
Nhận thấy 
8 2 
2 
3 3 
p p p = +  và  2 0 2 
3 
p p < <  nên acgumen dương nhỏ nhất của z là  2 
3 
p  0,5