Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 158

Sở giáo dục và đào tạo Hà nội Kì thi thử Đại học , cao đẳng lần 2 năm 2011 
Trường THPT Liên Hà Môn toán ,Thời gian làm bài : 180 phút 
đề chính thức 
I-Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm ) 
Câu I(2điểm) Cho hàm số 
1 
1 
x 
y 
x 
+ 
= 
- 
(1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA=1 . 
Câu II( 2điểm) 
1. Giải phương trình : 
15 
tan cot 4sin( ) 
4 
x x x p - = + 
2. Giải hệ phương trình : 
2 2 2 
2 2 2 
2 4 7 
2 6 3 
x y y xy 
x y y xy 
ỡ + + = ù 
ớ 
+ + = ù ợ 
Câu III (1 điểm) Tính tích phân : 
2 
2 
1 
( 1) ln 
( 1) 
e x x x 
I dx 
x x 
+ + 
= 
+ ũ 
Câu IV (1điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Tam giác ABC vuông tại A , AB=a ,AC=2a , hai 
mặt phẳng (ABB’) và (ABC) hợp với nhau góc 0 60 ,điểm B’ cách đều các điểm A,B,C. Tính thể tích 
của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . 
Câu V(1điểm) Cho ba số dương a,b,c có tích bằng 1 . Chứng minh rằng 
1 
2 2 2 
a b c 
b a c b a c 
+ + ³ 
+ + + 
II-Phần tự chọn (3 điểm ) 
(Học sinh chỉ được làm một trong hai phần hoặc A hoặc B) 
Phần tự chọn A 
Câu VI.a(2điểm) 
1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 ,đường thẳng AB có phương 
trình 3x 4y 1 0 + + = , đường thẳng BD có phương trình 2 3 0 x y - - = . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D . 
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 
1 2 2 
: 
3 1 2 
x y z 
d 
- + - 
= = 
- 
và 
2 
3 1 
: 
1 2 1 
x y z 
d 
- - 
= = 
- 
. Hãy viết phương trình đường thẳng D là đường vuông góc chung của hai đường 
thẳng 1 d và 2 d . 
Câu VII.a(1điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 
2 2 10 0 z z + + = . 
Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 A z z = + . 
Phần tự chọn B 
Câu VI.b(2điểm) 
1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình thoi ABCD . Đường thẳng AB có phương trình 2 3 1 0 x y - + = , 
đường thẳng BD có phương trình 2 0 x y + - = , đường thẳng AD đi qua M(1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của 
hình thoi . 
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 
1 2 1 
: 
2 1 3 
x y z 
d 
- + - 
= = 
- 
, 
mf(P):2 3 5 0 x y z + - + = . Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mf(P). 
Câu VII.b (1 điểm) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển  n x 
x 
) 
1 
(  5 
3 + biết rằng  ) 3 ( 7 3 
1 
4 + = - + 
+ 
+  n C C 
n 
n 
n 
n và x>0 
--------------------------------------Hết------------------------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
phamducduan76@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
Đáp án thi thử môn toán lần 2 năm 2011 
Câu-ý Nội dung Điểm 
*Tập xác định : D=R 
* 
2 
2 
' 0 x R 
( 1) 
y 
x 
- 
= < " ẻ 
- 
*Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị 
0.25 
*Giới hạn : 
lim 1 
x 
y 
đ+Ơ 
= ; lim 1 
x 
y 
đ-Ơ 
= ị đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1 
1 
lim 
x 
y 
+ đ 
= +Ơ ; 
1 
lim 
x 
y 
- đ 
= -Ơ ị đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 
0.25 
*Bảng biến thiên 
x -Ơ 1 +Ơ 
y’ - - 
y 
1 +Ơ 
-Ơ 1 
0.25 
1.1 
*Vẽ đồ thị x=1 
Đồ thị giao với trục ox tại (-1;0) 
Đồ thị giao với trục oy tại (0;-1) 
Đồ thị nhận điểm I(1;1) làm tâm đối xứng 
1 y=1 
1 x 
0 
0.25 
*Tiếp tuyến của đồ thị (C) có phương trình dạng 
0 0 0 '( )( ) ( ) y f x x x f x = - + 
0 
0 2 
0 0 
1 2 
( ) 
( 1) 1 
x 
y x x 
x x 
+ - 
Û = - + 
- - 
2 2 
0 0 0 2 ( 1) 2 1 0 x x y x x Û + - - - + = (*) với 0 1 x ạ 
0.25 
*Tiếp tuyến (*) cắt trục ox tại điểm 
2
0 0 2 1 ( ;0) 
2 
x x 
A 
+ - 
0.25 
*Ta có 
2
0 0 
0 
2 1 
1 1 1 
2 
x x 
OA x 
+ - 
= Û = Û = (loại) , 0 0 3; 1 x x = - = - 0.25 
1.2 
*Kết luận : các tiếp tuyến cần tìm là : 
2 1 0 x y + + = và 8 1 0 x y + - = 0.25 
*Điều kiện : . 
2 
x k p ạ 
*Với điều kiện trên , phương trình đã cho tương đương với 
2 2 sin cos 
2 2(sin cos ) 
sin .cos 
x x 
x x 
x x 
- 
= - 
(sin cos )(sin cos 2 2 sin .cos ) 0 x x x x x x Û - + - = 
0.25 2.1 
sin cos 0 (1) 
sin cos 2 2 sin .cos 0 (2) 
x x 
x x x x 
- = ộ 
Û ờ 
+ - = ở
*Phương trình (1) tan 1 
4 
x x k p p Û = Û = + (tmđk) 0.25 
*Phương trình (2) 2 sin( ) 2 sin 2 
4 
x x p Û + = 
sin( ) sin 2 
4 
x x p Û + = 
2 2 2 
4 4 
2 
2 2 
4 4 3 
x x k x k 
x x k x k 
p p 
p p 
p p p 
p p 
ộ ộ + = + = - ờ ờ 
Û Û ờ ờ 
ờ ờ + = - + = + ờ ờ ở ở 
(tmđk) 
0.25 
*Kết luận : nghiệm của phương trình là 
4 
x k p p = + và 2 
4 3 
x k p p = + 
0.25 
*Xét 0 y = hệ vô nghiệm 
*Xét 0 y ạ , hệ đã cho tương đương với 
2 2 
2 
2 2 
4 2 
7 2 0 ( ) 3 2 0 
6 2 
( ) 2 3 0 ( ) 3( ) 2 0 
x x 
x x 
y y y y 
x x 
x x 
y y y y 
ỡ ỡ + - + = - - + = ù ù ù ù Û ớ ớ 
ù ù + - + = - - + = 
ù ù ợ ợ 
0.25 
*Đặt ẩn phụ 
2 
x a 
y 
x 
b 
y 
ỡ - = ù ù 
ớ 
ù = 
ù ợ 
, hệ trở thành 
2 
2 
3 2 0 (1) 
3 2 0 (2) 
a b 
b a 
ỡ - + = ù 
ớ 
- + = ù ợ 
Trừ theo từng vế các phương trình (1) cho (2) ta được 
( )( 3) 0 
3 
b a 
a b a b 
b a 
= ộ 
- + + = Û ờ = - - ở 
0.25 
*Với b=a thay vào (1) được 2 3 2 0 1; 2 a a a a - + = Û = = 
a=1 =>b=1 => 
2 
1 
1 
x 
y 
x 
y 
ỡ - = ù ù 
ớ 
ù = 
ù ợ 
giải hệ này được nghiệm (x;y) là (-1;-1) và (2;2) 
a=2 
2 
2 
2 
2 
x 
y 
b 
x 
y 
ỡ - = ù ù ị = ị ớ 
ù = 
ù ợ 
giải hệ này được nghiệm (x;y) là 
1 5 
(1 5; ) 
2 
- 
- và 
1 5 
(1 5; ) 
2 
+ 
+ 
0.25 
2.2 
*Với b=-a-3 thay vào (1) được 2 3 11 0 a a + + = phương trình này vô nghiệm 
*Kết luận : hệ có 4 nghiệm (x;y) là : 
(-1;-1) , (2;2) , 
1 5 
(1 5; ) 
2 
- 
- , 
1 5 
(1 5; ) 
2 
+ 
+ 
0.25 
*Biến đổi 
2 
1 1 
ln ln 
( 1) 
e e x x 
I dx dx 
x x 
= - 
+ ũ ũ 
0.25 
3 
*Tính 
2 
1 
1 1 
ln ln 1 
ln (ln ) 
2 1 2 
e e e x x 
I dx xd x 
x 
= = = = ũ ũ 
0.25
*Tính 2 2 
1 
ln 
( 1) 
e x 
I dx 
x 
= 
+ ũ đặt 2 
ln 
1 
( 1) 
u x 
dv dx 
x 
= ỡ 
ù 
ớ = ù + ợ 
ta có 
1 
1 
1 
dx dx 
x 
v 
x 
ỡ = ù ù 
ớ 
- ù = 
ù ợ + 
2 
1 1 1 
ln 1 
1 1 ( 1) 1 1 
e e e e x dx dx dx 
I 
x x x e x x 
ị = - + = - + - 
+ + + + ũ ũ ũ 
1 1 1 
ln ln 1 1 ln( ) 
1 1 1 1 2 
e e e 
x x 
e e 
- + 
= - + - + = + - 
+ + 
0.25 
*Kết quả : 
1 1 1 
ln( ) 
2 1 2 
e 
I 
e 
+ 
= + - 
+ 0.25 
B’ C’ 
*Hình vẽ 
A’ 
B H C 
K 
A 
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của B’ trên mf(ABC) 
*Ta có B’A=B’B=B’C ' ' ' B AH B BH B CH ị D = D = D 
HA HB HC ị = = 
ị H là trung điểm của BC 
0.25 
* . ' ' ' ' . ABC A B C ABC V B H S D = 
* 2 
1 
. 
2 ABC 
S AB AC a D = = 
0.25 
*Gọi K là trung điểm AB 
Ta có , ' ( ') AB KH AB B H AB KHB ^ ^ ị ^ 
' AB KB ị ^ 
[( ' );( )] ( ; ') ' B AB ABC KH KB B KH ị = = 
Theo giả thiết 0 ' 60 B KH ị = 
0.25 
4 
*Trong tam giác B’KH có 0 ' . tan 60 . 3 3 
2 
AC 
B H KH a = = = 
* 3 . ' ' ' ' . . 3 ABC A B C ABC V B H S a D = = 
0.25 
*Biến đổi 
2 2 
a a 
b a a ab 
= 
+ + 
*áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương ta có 1 2 a a + ³ 
1 1 2 2 
a a a a 
a ab a ab a ab b a 
ị ³ ị ³ 
+ + + + + + 
(1) 
0.5 
5 
*Chứng minh tương tự được 
1 2 
b b 
b cb c b 
³ 
+ + + 
(2) 
1 2 
c c 
c ac c c 
³ 
+ + + 
(3) 
Công theo từng vế các bđt (1) ,(2) và (3) được 
0.25
1 1 1 2 2 2 
a b c a b c 
a ab b cb c ac b a c b a c 
+ + ³ + + 
+ + + + + + + + + 
(I) 
*Chứng minh 1 
1 1 1 
a b c 
a ab b cb c ac 
+ + = 
+ + + + + + 
(II) 
Ta có VT(II)= 
1 
abc b bc 
bc abc abbc b cb b bc bac 
+ + 
+ + + + + + 
= 
1 
1 
1 1 1 
b bc 
bc b b cb b bc 
+ + = 
+ + + + + + 
*Từ (I) và (II) suy ra đpcm 
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chi khi a=b=c=1 
0.25 
*Điểm B là giao của AB và BD => B(1;-1) 
* 
1 
. 
2 
1 
11 
2 
ABD 
ABD ABCD 
S AB AD 
S S 
ỡ = ù ù 
ớ 
ù = = 
ù ợ 
. 22 AB AD ị = (1) D C 
*Đường thẳng AB có vtpt 1 (3;4) n = 
uur 
, 
AC có vtpt 2 (2; 1) n = - 
uur 
1 2 
2 
cos cos( ; ) 
5 5 
ABD n n = = 
uur uur 
A B 
11 11 
tan 
2 2 
AD 
ABD 
AB 
ị = ị = (2) 
Từ (1) và (2) 11 AD ị = (3) 
0.25 
*D thuộc BD ( ;2 3) D x x ị - 
* 
11 11 
( ; ) 
5 
x 
AD d D AB 
- 
= = (4) 
*Từ (3) và (4) 11 11 55 6; 4 x x x ị - = Û = = - 
0.25 
*Với x=6 (6;9) D ị 
đường thẳng AD đi qua D và vuông góc AB AD ị có pt : 4x-3y+3=0 
Điểm A là giao của AD và AB 
3 1 
( ; ) 
5 5 
A ị - 
Gọi I là trung điểm BD 
7
( ;4) 
2 
I ị 
C đối xứng với A qua I 
38 39 
( ; ) 
5 5 
C ị 
0.25 
6a.1 
*Với x=-4 ( 4; 11) D ị - - 
đường thẳng AD đi qua D và vuông góc AB AD ị có pt : 4x-3y-17=0 
Điểm A là giao của AD và AB 
13 11 
( ; ) 
5 5 
A ị - 
Gọi I là trung điểm BD 
3 
( ; 6) 
2 
I ị - - 
C đối xứng với A qua I 
28 49 
( ; ) 
5 5 
C ị - - 
0.25 
6a.2 
*(d 1 ) có vtcp 1 (3; 1;2) u = - 
ur 
, 2 ( ) d có 2 (1;2; 1) vtcp u = - 
uur 
* 1 
2 
d 
d 
D ^ ỡ 
ị D ớ 
D ^ ợ 
có 1 2 [ , ] ( 3;5;7) vtcp u u u D = = - 
uur ur uur 
0.25
*Giả sử 1 (1 3 ; 2 ;2 2 ) d A A a a a D ầ = ị + - - + 
2 (3 ;1 2 ; ) d B B b b b D ầ = ị + + - 
* (2 3 ;3 2 ; 2 2) AB b a b a b a = + - + + - - - 
uuur 
0.25 
*véc tơ AB 
uuur 
cùng phương với u D 
uur 2 3 3 2 2 2 
3 5 7 
b a b a b a + - + + - - - 
ị = = 
- 
4 139 
; 
83 83 
a b Û = = - 
0.25 
*Đường thẳng D đi qua 
95 170 174 
( ; ; ) 
83 83 83 
A - và có ( 3;5;7) vtcp u D = - 
uur 
ị D có phương trình 
95 170 174 
83 83 83 
3 5 7 
x y z - + - 
= = 
- 
0.25 
*Phương trình có ' 9 ' D = - ị D có căn bậc hai là 3i d = 
ị có hai nghiệm phân biệt là 1 1 3 z i = - + và 2 1 3 z i = - - 0.5 
7a *Ta có 
2 2
1 1 10 z z = = 
2 2
2 2 10 z z = = 
20 A ị = 
0.5 
*Điểm B là giao của AB và BD (1;1) B ị D 
A I C 
B 
0.25 
*Đường thẳng BD có vtpt 1 (1;1) n = 
uur 
, đường thẳng AB có 2 (2; 3) vtpt n = - 
uur 
Giả sử AD có vtpt 2 2 3 ( ; ) (a 0) n a b b = + > 
uur 
Ta có ( ; ) ( ; ) DA DB BA BD = 1 3 1 2 cos( ; ) cos( ; ) n n n n ị = 
uur uur uur uur 1 3 1 2 
1 3 1 2 
. . 
. . 
n n n n 
n n n n 
Û = 
uur uur uur uur 
uur uur uur uur 
2 2 
1 
13 
a b 
a b 
+ 
Û = 
+ 
2 2 2 3 6 13 6 0 
3 2 
a ab b a b a b Û + + = Û = - Ú = - 
0.25 
*Với 
2 
3 
a b = - chọn a=2 ; b=-3 3 (2; 3) n ị - 
uur 
cùng phương 2 (2; 3) n = - 
uur 
/ / AD AB ị => loại 
*Với 
3 
2 
a b = - chọn a=3 ; b=-2 3 (3; 2) n ị - 
uur 
Đương thẳng AD đi qua M(1;3) và có vtpt 3 (3; 2) n - 
uur 
AD ị có phương trình 3 2 3 0 x y - + = 
0.25 
6b.1 
*Điểm A là giao của AB và AD 
7 3 
( ; ) 
5 5 
A ị - - 
*Điểm D là giao của AD và BD 
1 9 
( ; ) 
5 5 
D ị 
*Gọi I là trung điểm BD 
3 7 
( ; ) 
5 5 
I ị 
0.25
*C đối xứng với A qua I 
13 17 
( ; ) 
5 5 
C ị 
*Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P) 
*(d) đi qua 0 (1; 2;1) M - và có vtcp (2; 1;3) d u = - 
uur 
mf(P) có vtpt (2;1; 3) P n = - 
uur 
( ) Q ị có vtpt , (0;12;4) Q d P n u n ộ ự = = ở ỷ 
uur uur uur 
và đi qua 0 (1; 2;1) M - 
( ) Q ị có phương trình 3y+z+5=0 
0.25 
*Ta có ' ( ) ( ) d P Q = ầ 
' d ị có vtcp , ( 10;2; 6) Q P u n n ộ ự = = - - ở ỷ 
r uur uur 0.25 
*Giả sử ( ; ; ) ' M x y z d ẻ 
3 5 0 
2 3 5 0 
y z 
x y z 
+ + = ỡ 
ị ớ 
+ - + = ợ 
Chọn y=0 => z=-5, x=-10 
ị d’ đi qua ( 10;0; 5) M - - 
0.25 
6b.2 
*Vậy d’ có phương trình 
10 5 
5 1 3 
x y z + + 
= = 
- 0.25 
*Ta có 1 4 3 7( 3) 
n n 
n n C C n 
+ 
+ + - = + 
( 4)! ( 3)! 
7( 3) 
( 1)!3! ( )!3! 
n n 
n 
n n 
+ + 
Û - = + 
+ 
12 n Û = 
0.25 
*Với n=12 ta có 
12 
5 12 12 5 
12 3 3 
0 
1 1 
( ) ( ) .( ) k k k 
k 
x C x 
x x 
- 
= 
+ = ồ 
11 12 36 
2 
12 
0 
. 
k 
k 
k 
C x 
- 
= 
= ồ 
0.25 
*Số hạng chứa 8 x ứng với 
11 
36 0 8 
2 
k 
k - = Û = 0.25 
7b 
*Vậy hệ số của 8 x là 8 12 495 C = 0.25