Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 162

SỞ GD&ĐT BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI 2 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011( lần 1) 
Môn; Toán ; Khối: D 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Ngày thi: 21/ 10/ 2011 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu I ( 2 điểm) 
Cho hàm số 
2 
( ) 
3 
x 
y C 
x 
+ 
= 
- 
1)  Khảo sát và  vẽ đồ thị (C). 
2)  Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng 
bằng 
1 
5 
khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang. 
Câu II ( 2 điểm) 
1)  Giải phương trình :  3 2sin cos 2 cos 0 x x x - + = 
2)  Giải bất phương trình:  2 2 2 3 5 4 6 x x x x x - - + £ - - 
Câu III ( 1 điểm) 
Tính 
1 
2 
0 
ln(1 ) I x x dx = + ò 
Câu IV ( 1 điểm) 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông 
góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối 
chóp S.AHK theo a. 
Câu V ( 1 điểm) 
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 
2 2 
1 1 
P= x y 
y x 
æ öæ ö + + ç ÷ç ÷ 
è ø è ø 
. 
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a ( 2 điểm) 
1)  Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình 
d: 2x ­ 5y + 3 = 0 và d’: x + y ­ 5  = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC. 
2) Cho mặt cầu (S) :  2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) 100 x y z - + + + - =  và mặt phẳng  ( ) : 2 2 9 0 x y z a - - + = 
Chứng minh rằng (S) và  ( ) a  cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính 
của đường tròn (T) . 
Câu VII.a ( 1 điểm) 
Tìm số phức z, nếu  2  0 z z + =  . 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI .b ( 2 điểm) 
1)  Cho đường tròn ( C)  2 2  2 4 4 0 x y x y + - - - =  và điểm A (­2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C) 
tiếp xúc với ( C) tại M, N .Tính diện tích tam giác AMN. 
2)  Cho hai đường thẳng d: 
2 
1 
1 
1 
1 
2 - 
= 
- 
- 
= 
-  z y x 
và d’: 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
= 
- = 
+ = 
t z 
t y 
t x 
2 
4 
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’. 
Câu VII.b ( 1 điểm)  Cho hàm số 
2  3 2 x x 
y 
x 
- + 
=  (C). Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó 
kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C). 
Cảm ơn từ taphieu@gmail.com.vn  gửi tới www.laisac.page.tl
y 
x ­2  3 
1 
0 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 
(Đáp án gồm 7 trang) 
Câu  ý  Nội dung  Điểm 
Câu I 
2 đ 
1)  1 điểm 
1/Tập xác định: { } \ 3 D R =  . 
0,25 
2/ Sự biến thiên 
a­Chiều biến thiên : Ta có 
2 
5 
' 0 
( 3) 
y 
x 
- 
= < 
- 
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng -¥ +¥ ( ;3) vµ (3; ) 
b­Cực trị: Hàm số không có cực trị 
c­ Giới hạn: 
3 
2 
lim ( )
3 x 
x 
x - ® 
+ 
= -¥ 
- 
; 
3 
2 
lim ( )
3 x 
x 
x + ® 
+ 
= +¥ 
- 
ÞHàm số có tiệm 
cận đứng x=3 
2 
lim ( ) 1 
3 x 
x 
x ®±¥ 
+ 
= Þ 
- 
Hàm số có tiệm cận ngang 1 y = 
0,25 
d­Bảng biến thiên: 
x  ­¥  3 
+¥ 
y’  ­  ­ 
y         1  +¥ 
­¥  1 
0,25 
3/ Đồ thị: 
Đồ thị nhận I(3;1) làm tâm đối xứng 
Giao với trục:Ox tại (­ 0 ; 2  ),với Oy  2 (0; ) 
3 
- 
0,25 
2) 
1 điểm 
+)Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là d1, d2 
( ) M C Π nên 
2 
; 
3 
x 
M x 
x 
+ æ ö 
ç ÷ - è ø 
0,25
+) Ta có  1 ( , ) 3 d M d x = -  ,  2 
2 5 
( , ) 1 
3 3 
x 
d M d 
x x 
+ 
= - = 
- - 
0,25 
+)Theo bài ra ta có  2 
4 1 5 
3 ( 3) 1 
2 5 3 
x 
x x 
x x 
= é 
- = Û - = Û ê = - ë 
0,25 
Vậy có 2 điểm thỏa mãn  1 2 (4;6), (2; 4) M M - 
0,25 
Câu II 
2 đ 
1) 
1 điểm 
+)pt  3 2 2sin (1 2sin ) cos 0 x x x Û - - + = 
2 2sin (1 s inx) (1 cos ) 0 x x Û + - - = 
[ ] (1 cos ) 2(1 cos )(1 s inx) 1 0 x x Û - + + - = 
[ ] (1 cos ) 2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 x x x x Û - + + + = 
0,25 
1 cos 0 (1) 
2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 (2) 
x 
x x x 
- = é 
Û ê + + + = ë 
Giải (1) ta được  2 ( ) x k k Z p = Π
0,25 
Giải (2) : 
Đặt  s inx cos 2 sin( ) , 2; 2 
4 
t x x t p é ù = + = + Î -ë û 
Ta được phương trình  2  2 0 t t + = 
0 
2 (loai) 
t 
t 
= é 
Û ê = - ë 
0,25 
Với t = 0  ( ) 
4 
x k k Z p p - Û = + Π
Vậy phương trình có nghiệm:  2 x kp =  ( ) 
4 
x k k Z p p - = + Π
0,25 
2) 
1 điểm 
Điều kiện 
2 
2 
2 0 
0 2 
5 4 6 0 
x x 
x x 
x x 
ì - - ³ 
ï ³ Û ³ í 
ï - - ³ î 
0,25 
Bình phương hai vế ta được  2 6 ( 1)( 2) 4 12 4 x x x x x + - £ - -  0,25 
3 ( 1)( 2) 2 ( 2) 2( 1) x x x x x x Û + - £ - - + 
( 2) ( 2) 
3 2 2 
1 1 
x x x x 
x x 
- - 
Û £ - 
+ + 
0,25 
Đặt 
( 2) 
0 
1 
x x 
t 
x 
- 
= ³ 
+ 
ta được bpt  2 2 3 2 0 t t - - ³ 
0,25
S 
C 
B 
A 
K 
H 
a 
2a 
a 
1 
2 2 
2 
t 
t 
t 
- é £ ê Û Û ³ 
ê 
³ ë 
( do  0 t ³  ) 
Với  2 
( 2) 
2 2 6 4 0 
1 
x x 
t x x 
x 
- 
³ Û ³ Û - - ³ 
+ 
3 13 
3 13 
3 13 
x 
x 
x 
é £ - 
Û Û ³ + ê 
³ + ê ë 
( do  2 x ³  )  Vậy bpt có nghiệm  3 13 x ³ + 
0,25 
Câu III 
1 đ 
1 điểm 
Đặt  2 
2 
2 
ln(1 ) 
1 
xdx 
u x du 
x 
= + Þ = 
+ 
2
2 
x 
dv xdx v = Þ = 
0,25 
Do đó 
1  1 2 3 
2 
1 2 
0 0 
1 
ln(1 ) ln 2 
2 1 2 
x x 
I x dx I 
x 
= + - = - 
+ ò 
0,25 
Tính I1: 
Ta có 
1 1 1 1 
2 
1  2 2 
0 0 0 0 
1 1 2 1 1 1 1 
( ) ln 1 ln 2 
1 2 2 1 2 2 2 2 
x x 
I x dx x dx x 
x x 
= - = - = - + = - 
+ + ò ò 
0,25 
Vậy 
1 
ln 2 
2 
I = - 
0,25 
Câu V1 
1 đ 
1 điểm 
+) Theo bài ra ta có  ( ) SH AHK ^ 
, ( ) BC SA BC AB BC SAB BC AK ^ ^ Þ ^ Þ ^ 
Và  AK SC ^  nên 
( ) àSB AK SBC AK KH v AK ^ Þ ^ ^ 
0,25 
+) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông  0,25
A 
D 
E 
B 
d’ 
C 
d 
d1 
ta có 
1 2 
2 2 
a 
AK SB = =  , 
2 3 
, 
5 10 5 
a a a 
AH KH SH = Þ = = 
+) Ta có 
2 1 6 
. ( ) 
2  4 10 
AHK 
a 
S AK HK dvdt = = 
0,25 
+) Vậy 
3 
. 
1 3 
. ( ) 
2 60 S AHK AHK 
a 
V S SH dvtt = = 
Chú ý : có thể tính theo công thức tỷ số thể tích. 
0,25 
Câu V 
(1d) 
1 điểm 
+) Theo B ĐT Côsi ta có æ ù £ Þ = Î ç ú è û 
2 1 1 0<xy t (xy) 0; 
4 16 
0,25 
+) Ta có = + + = + + 2 
2 
1 1 
P 2 (xy) t 2 
(xy) t 
- æ ù Þ = - = < " Î ç ú è û 
2 
/ 
2 2 
1 t 1 1 
P 1 0, t 0; 
t t 16 
0,25 
+) B¶ng biÕn thiªn : 
t 0 
1 
16 
P’ - 
P 
289 
16 
0,25 
+) Từ bbt ta có 
289 
min P 
16 
=  tại 
1 1 
16 2 
t x y = Û = = 
0,25 
Câu VI. a 
2 đ 
1)  1 điểm 
+) Gọi  ' D d d = Ç  nên tọa độ của D là nghiệm của hệ 
22 
2 5 3 0  22 13 7  ( ; ) 
5 0 13  7 7 
7 
x x y 
D 
x y 
y 
ì = ï - + = ì ï Û Þ í í + - = î ï = 
ï î 
0,25 
+) Goi d1  là đường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1  là: 
x + y – 8 = 0.  0,25
Gọi  1 E d d = Ç  nên 
33 19 
( ; ) 
7 7 
E  .Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung 
điểm AE suy ra  (1;1) A 
+) Ta có cạnh BC ^ c với d nên  phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0 
Suy ra 
35 50 38 47 
( ) ' ( ; ) ( ; ) 
3 3 3 3 
C BC d C AC 
- - 
= Ç Þ Þ 
uuur 
0,25 
+) Vậy phương trình cạnh AC là 
1 38 
1 47 
x t 
y t 
= - ì 
í = + î 
0,25 
2)  1 điểm 
+)  Mặt cầu (S) có tâm I(3;­2;1) và bán kính r = 10 . 
Ta có : 
2.3 2( 2) 1 9 
( , ( )) 6 
4 4 1 
h d I a 
- - - + 
= = = 
+ + 
Vậy  ( , ( )) d I r a <  nên (S) cắt  ( ) a  theo giao tuyến  là đường tròn (T) . 
0,25 
+)  Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên  ( ) a  . 
Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với  ( ) a  . Lúc đó (d) có vectơ 
chỉphương là  (2; 2; 1) a n = = - - 
r r 
. Phương trình tham số của (d) là : 
3 2 
( ) : 2 2 ( ) 
1 
x t 
d y t t 
z t 
= + ì 
ï = - - Î í 
ï = - î 
¡ 
0,25 
+) Ta có  ( ) J d a = Ç  Xét hệ: 
3 2 
2 2 
1 
2 2 9 0 
x t 
y t 
z t 
x y z 
= + ì 
ï = - - ï 
í = - ï 
ï - - + = î 
Giải hệ này ta được : J(­1;2;3) 
. 
0,25 
+)  Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có  :  2 2  100 36 8 r r h ¢ = - = - = 
Vậy  : J(­1;2;3) và r’= 8 
0,25 
Câu VII.a  1 điểm 
+) Đặt z = x + yi, khi đó  2 2 2 2 0 ( ) 0 z z x yi x y + = Û + + + =  0,25 
+) ( ) 
2 2 2 2 
2 2 2 2  0 2 0 
2 0 
x y x y x y x y xyi 
xy 
ì - + + = ï Û - + + + = Û í 
= ï î 
0,25
+) Û 
2 
2 
0 
0  0  0, 0 0 
0 (1 ) 0  0, 1 1 
0, 1 0 0 
0   (do  1 0) 
0, 0 (1 ) 0 0 
0 
x 
x  x  x y y 
y y y y  x y y 
x y y y 
x x 
y x x x x x 
y 
é = ì 
é = é = ì ì êï ï ï é = = é = é ê ê í í í ê êê - + = - = ê = = ï ï ê ê î î ï ê êê = Û Û Û ë ê î ê ê êê = = - = = ì ì ë ï ï ê ê ê ê ì = + > í í ï ê ê ê = = ê + = + = ë ï ï í î î ë ë ê = ï î ë 
0,25 
+)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.  0,25 
Câu VI.b 
2 đ 
1)  1 điểm 
+) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3 
Và dễ  thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x= ­2 
0,25 
+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( ­2; 3) có hệ số góc là k ta có d’ :y = k(x + 2) + 
3 
d’ là tiếp tuyến của ( C ) ód( I, d’ ) = Ró 
2 
3 1  4 
3 
3 1 
k 
k 
k 
+ 
= Û = 
+ 
4 17 
' : 
3 3 
d y x Þ = + 
0,25 
+ ta có tiếp điểm của d và (C ) là M(­2; 0), của d’ và (C ) là 
7 57 
( ; ) 
5 5 
N 
-  0,25 
+ Ta có AM = 3, 
7 3 
( , ) 2 
5 5 
d N d = - + =  .Vậy 
1 9 
. ( , ) ( ) 
2 10 AMN 
S AM d N d dvdt = = 
0,25 
2)  1 điểm 
+) Ta có vtcp của d  (1; 1;2) à M(2;1;1)  d u v - Î 
r 
vtcp của d’  '(1; 1;1) à (4;2;0)  d' u v N - Î 
r 
=>  (2;1; 1) MN - 
uuuur 
0,25 
+) Ta có  , ' . 3 0 u u MN é ù = ¹ ë û 
r ur uuuur 
vậy d và d’ chéo nhau.  0,25 
+) ta có  (2 ;1 ;1 2 ) A d A k k k Î Þ + - +  ,  ' (4 ;2 ; ) B d B t t t Î Þ + - 
(2 ;1 ; 1 2 ) AB t k t k t k Þ + - - - - + - 
uuur 
AB là đoạn vuông góc chungó 
. 0 
. ' 0 
AB u 
AB u 
ì = ï 
í 
= ï î 
uuurr 
uuur ur 
0,25
+) 
4 6 1 0 2 
3 4 0 1,5 
t k t 
t k k 
- - = = - ì ì 
Û Û í í - = = - î î 
(1,5;1,5;0) AB Þ 
uuur 
Vậy d(d,d’) = AB = 
3 2
2 
Chú ý : có thể tính theo cách 
, ' .  3 
( , ') 
2 , ' 
u u MN 
d d d 
u u 
é ù 
ë û = = 
é ù 
ë û 
r ur uuuur 
r ur 
0,25 
Câu II.b 
1 đ 
1 điểm 
+) Gäi M lµ ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng x=1, d lµ ®­êng th¼ng ®i qua M cã hÖ sè 
gãc lµ k. d cã ph­¬ng tr×nh lµ : y= k(x-1)+m ( víi M(1,m) ) 
§Ó d lµ tiÕp tuyÕn cña C th× hÖ sau cã ngiÖm. 
2 
2 
3 2 
( 1) (1) 
2 
(2) 
x x 
k x m 
x 
x 
k 
x 
ì - + 
= - + ï ï 
í 
- ï = ï î 
0,25 
+) Thay (2) vµo (1) ta cã 
2 2 
2 
3 2 2 
( 1) 
x x x 
x m 
x x 
æ ö - + - 
= - + ç ÷ 
è ø 
2 2 2 ( 3 2) ( 2)( 1) x x x x x mx Û - + = - - + 
2 ( , ) (2 ) 4 2 0 g x m m x x Û = + - + = (3) 
0,25 
+)§Ó tõ M kÎ ®­îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn C th× ph­¬ng tr×nh (3) cã ®óng 2 ngiÖm 
ph©n biÖt 
' 4 2(2 ) 0 
(2 ) ( , ) (2 )(2) 0 
m 
m g x m m 
D = - + > ì 
Û í + = + ¹ î 
2 0 
2 0 
m 
m 
- > ì 
Û í + ¹ î 
Do ®ã 
0 
2 
m
m 
< ì 
Þ í ¹ - î 
(*) 
0,25 
+) VËy trªn ®­êng th¼ng x=1 .TËp hîp c¸c ®iÓm cã tung ®é nhá h¬n 0 (m<0) bá 
®i ®iÓm (1,-2) th× tõ ®ã kÎ ®­îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn C 
0,25 
Chú ý :Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng ý 
Giáo viên ra đề và làm đáp án