Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 176

Tr­êng THPT HËu léc 2 ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø I 
m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 
Thêi gian: 180 phót 
I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh 
C©u I (Khèi A;B:2 ®iÓm, khèi D:3®iÓm)  Cho hàm số 
1 
x 
y 
x 
= 
- 
,®å thÞ lµ ®­êng cong (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) 
đến tiếp tuyến là lớn nhất 
C©u II (2 ®iÓm) 
1. Giaûi heä phöông trình : 
2 2  4 
( 1) ( 1) 2 
x y x y 
x x y y y 
ì + + + = 
í 
+ + + + = î 
2. Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình : 
2 2  3 4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) 
2 4 
x 
x x p - = + - 
C©u III (1 ®iÓm).  Tính tích phân: I = 
4 
0 
tan .ln(cos ) 
cos 
x x 
x 
x 
p 
ò d 
C©u IV (1 ®iÓm)  Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x <  3 ) các cạnh còn lại 
đều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x. 
C©u V (1 ®iÓm). Chøng minh r»ng nÕu  0 1 y x £ £ £ thì  1 
4 
x y y x - £ . Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo? 
II.PhÇn riªng (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn A hoÆc B. 
A. Theo ch­¬ng tr×nh chuÈn 
C©u VIa (3 ®iÓm). 
1. Cho đường tròn (T): x 2 + y 2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: 0 1 y x = - +  . Xác định tọa độ các đỉnh 
hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A Î d. 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho hai đường thẳng:  1 
1 
: 2 
2 
x t 
d y t 
z t 
= - ì 
ï = í 
ï = - + î 
và  2  : 1 3 
1 
x t 
d y t 
z t 
= ì 
ï = + í 
ï = - î 
. Lập phương 
trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2. 
3. T×m phÇn thùc cña sè phøc (1 ) n z i = + sao cho ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4 - + + = n n ( * nÎ¥ ) 
B. Theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm) 
C©u VIb (2 ®iÓm) 
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1):x 
2 + y 2 = 13 và (C2):(x ­ 6) 
2 + y 2 = 25cắt nhau tại 
A(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. 
2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc täa ®é Oxyz, cho 2 ®­êng th¼ng: 
1 2 
4 1 5 2 3 
: ; : 
3 1 2 1 3 1 
- - + - + 
= = = = 
- - 
x y z x y z 
d d 
Trong tÊt c¶ c¸c mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¶ hai ®­êng th¼ng d 1 vµ d 2 , viÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá 
nhÊt. 
3. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau? TÝnh tæng cña tÊt c¶ 
c¸c sè tù nhiªn ®ã. 
www.laisac.page.tl
Chó ý: ThÝ sinh thi khèi D kh«ng ph¶i lµm c©u V. 
Tr­êng THPT HËu léc 2 §¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø I 
m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 
Thêi gian: 180 phót 
C©u  NỘI DUNG §iÓm 
TXĐ : D = R\{1}  0.25 
Chiều biến thiên 
lim ( ) lim ( ) 1 
x x 
f x f x 
®+¥ ®-¥ 
= =  nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
1 1 
lim ( ) , lim 
x x 
f x 
+ - ® ® 
= +¥ = -¥ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
y’ =  2 
1 
0 
( 1) x 
- < 
- 
0.25 
Bảng biến thiên 
1 
+¥ 
­¥ 
1 
­                                          ­ 
y 
y' 
x  ­¥ 1  +¥ 
Hàm số nghịch biến trên  ( ;1) -¥  và  (1; ) +¥ 
Hàm số không có cực trị  0.25 
I 
(2.0đ) 
1. 
(1.0đ) 
c.§å thÞ: 
§å thÞ nhËn ®iÓm I(1 ;1) lµm t©m ®èi xøng 
0.25 
2. 
(1.0đ) 
Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm 
đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. 
Phương trình tiếp tuyến d cña (C) tại M có dạng :  0 0 2 
0 0 
1 
( ) 
( 1) 1 
x 
y x x 
x x 
= - - + 
- - 
2 
0 
2 2 
0 0 
1 
0 
( 1) ( 1) 
x 
x y 
x x 
Û - - + = 
- - 
0.25 
x O 
1 
1 
y 
I
Ta có d(I ;d) =  0 
4 
0 
2 
1 
1 
1 
( 1) 
- 
+ 
- 
x 
x 
Xét hàm số f(t) = 
4 
2 
( 0) 
1 
t 
t 
t 
> 
+ 
ta có f’(t) = 
2 
4 4 
2(1 )(1 )(1 ) 
(1 ) 1 
- + + 
+ + 
t t t 
t t 
0.25 
f’(t) = 0 khi t = 1 
Bảng biến thiên 
x  0                               1 +¥ 
f’(x)  +              0  ­ 
f(x) 2 
Từ bảng biến thiên ta cã d(I ;d) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay 
0 
0 
0 
2 
1 1 
0 
x 
x 
x 
= é 
- = Û ê = ë  0.25 
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến d cã pt là y = ­x 
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến d cã pt là y = ­x+4 
0.25 
II 
(2,0®) 
1 
(1,0®) 1. Giaûi heä phöông trình : (I) 
2 2  4 
( 1) ( 1) 2 
x y x y 
x x y y y 
ì + + + = 
í 
+ + + + = î 
(I) 
ì + + + = ï Û í 
+ + + + = Þ = - ï î 
2 2 
2 2 
x y x y 4 
x y x y xy 2 xy 2 
§Æt = + = ³ Þ = + + Þ + = - 2 2 2 2 2 2 2 S x y;P xy(S 4P) S x y 2xy x y S 2P 
Vaäy ( ) 
ì = - 
ì - + = ï ï Û Û é = í í 
ê - + = ï ï î = - ë î 
2 
2 
P 2 
S 2P S 4 
I S 0 
S P S 2 S 1 
ì + = 
í 
= - î 
1 
x y 0 
TH : 
xy 2 
vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình + - = 2 X 0X 2 0 
Vaäy heä coù 2 nghieäm 
x 2 
x 2 
ì = ï 
í 
= - ï î 
hay 
x 2 
y 2 
ì = - ï 
í 
= ï î 
ì + = - 
í 
= - î 
2 
x y 1 
TH : 
xy 2 
vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình 2 X X 2 0 + - = 
Þ = = - X 1hay X 2 . Vaäy heä coù 2 nghieäm 
x 1 
y 2 
= ì 
í = - î 
V 
x 2 
y 1 
= - ì 
í = î 
Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm 
x 2 
y 2 
ì = ï 
í 
= - ï î 
V 
x 2 
y 2 
ì = - ï 
í 
= ï î 
V 
x 1 
y 2 
= ì 
í = - î 
V 
= - ì 
í = î 
x 2 
y 1 
0,5 
0,5
O 
C 
B 
A 
D 
S 
H 
2 
(1,0®) 
2. Tìm nghieäm treân kho¶ng (0; p ) cuûa phöông trình : 
2 2  3 4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) 
2 4 
x 
x x p - = + - (1) 
(1) ( ) 3 2 1 cosx 3 cos2x 1 1 cos 2x 
2 
p æ ö Û - - = + + - ç ÷ 
è ø 
(1) 2 2 cosx 3 cos2x 2 sin 2x Û - - = - 
(1) 2 cosx 3 cos2x sin 2x Û - = - . Chia hai veá cho 2: 
(1) Û - = - 3 1 cosx cos2x sin 2x 
2 2 
( ) cos 2x cos x 
6 
p æ ö Û + = p - ç ÷ 
è ø 
( ) ( ) hoÆc p p p Û = + = - + p 5 2 7 x k a x h2 b 
18 3 6 
Do ( ) x 0, Î p neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k=0, k=1, hoï nghieäm (b) chæ choïn 
h = 1. Do ñoù pt(1) coù ba nghieäm x thuoäc ( ) 0,p laø: 1 2 3 
5 17 5 x ,x ,x 
18 18 6 
p p p 
= = = 
0,5 
0,5 
III 
(1,0®) 
(1,0®) 
Tính tích phân: I = 
4 
0 
tan .ln(cos ) 
cos 
x x 
x 
x 
p 
ò d 
Đặt t=cosx 
dt=­sinxdx  , đổi cận:  x=0 thì  t=1  , 
4 
x p =  thì 
1 
2 
t = 
Từ đó 
1 
1 2 
2 2 
1 1 
2 
ln ln t t I dt dt 
t t 
= - = ò ò 
*Đặt 
2 
1 
ln ; u t dv dt 
t 
= = 
1 1 
; du dt v 
t t 
Þ = = - 
Suy ra 
1 
2 
1 
2 
1 1 
1 1 2 1 
ln ln 2 1 1 
2 
2 2 
I t dt 
t t t 
= - + = - - ò 
*Kết quả 
2 
2 1 ln 2 
2 
I = - - 
0,5 
0,5 
IV 
1,0® 
Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. 
Ta có 
1 
( . . ) 
2 
D = D Þ = = SBD CBD c c c SO CO AC 
Vậy tam giác SCA vuông tại S. 
2 2 2 1 Þ = + = + CA SC SA x 
Mặt khác ta có 
2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD AD + = + + + 
2 3 ( 0 3) BD x do x Þ = - < < 
0,5
2 2 1 1 2. . 1 3 
2 2 
Þ = = + - ABCD S BDCO x x 
Gọi H là hình chiếu của S xuống (ABCD) 
Vì SB = SD nên HB = HD 
Þ  H ΠCA  0,25 
Do tam gi¸c SCA vu«ng t¹i S vµ SH lµ ®­êng cao nªn: 
2 2 2  2 
1 1 1 
1 
x 
SH 
SH SC SA  x 
= + Þ = 
+ 
Vậy V =  2 
1 1 
. 3 ( ) 
3 6 
= - ABCD S SH x x dvtt  0,25 
V 
(1,0®) 
1,0® 
Chøng minh r»ng neáu  0 1 y x £ £ £ thì  1 
4 
x y y x - £ . Ñaúng thöùc xaûy ra khi 
naøo? 
Ta coù 2 0 x 1 x x £ £ Þ ³ (*) 
1 1 x y y x x y y x 
4 4 
- £ Û £ + (1) 
Theo baát ñaúng thöùc Cauchy vµ (*) ta coù: 
+ ³ + ³ = 2 2 1 1 1 y x yx 2 yx . x y 
4 4 4 
. VËy 
1 x y y x 
4 
- £ 
Daáu “= ’’xaûy ra 
ì 
£ £ £ ï = ì ï ï Û = Û í í 
= ï ï î ï = 
î 
2 
2 
0 y x 1 x 1 
x x 1 y 
1 4 yx 
4 
0,25 
0,75 
VI.a 
(2,0®) 
1 
(1,0®) 
1. Cho đường tròn (T): x 2 + y 2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: 
0 1 y x = - +  . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (T) biết A 
Î d. 
y 
0  2  4  6  x 
A  D 
–3  I 
–5  B  C 
Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2 
Tọa độ của I(4, –3) thỏa m·n phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I Î d 
Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn (T), có bán 
kính R = 2.V× d song song víi ®­êng th¼ng y=-x nªn gãc gi÷a d vµ Ox b»ng 
45 0 ,do ®ã h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh ®i qua A vµ song song víi Ox. 
Hai ®­êng th¼ng  x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (T )  nên: 
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 Þ A(2, –1) 
Khi A(2, –1) Þ B(2, –5);  C(6, –5);  D(6, –1)
. Hoặc là A là giao điểm các đường  (d) và x = 6 Þ A(6, –5) 
Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)  0,25 
2 
(1,0®) 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho hai đường thẳng: 
1 
1 
: 2 
2 
x t 
d y t 
z t 
= - ì 
ï = í 
ï = - + î 
và  2  : 1 3 
1 
x t 
d y t 
z t 
= ì 
ï = + í 
ï = - î 
. Lập phương trình mặt cầu có đường kính là 
đoạn vuông góc chung của d1 và d2. 
Gọi M (1­ t ; 2t ; ­2 + t)  1 d Π , N(t’ ; 1+3t’ 1­ t’)  2 d Π
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là  1  ( 1;2;1) u = - 
ur 
, đường thẳng d2 có vecto 
chỉ phương là  2  (1;3; 1) u = - 
uur 
. 
( ' 1;3 ' 2 1; ' 3) MN t t t t t t = + - - + - - + 
uuuur 
MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 khi và chỉ khi 
1 
2 
. 0  2 ' 3 3 0 
11 ' 4 1 0 . 0 
MN u  t t 
t t MN u 
ì = - + = ì ï Û í í - - = = î ï î 
uuuur ur 
uuuur uur 
3 
' 
5 
7 
5 
t 
t 
ì = ï ï Û í 
ï = 
ï î 
Do đó M( 
2 14 3 
; ; 
5 5 5 
- - 
), N( 
3 14 2 
; ; 
5 5 5 
). 
Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = 
2 
2 2 
MN 
=  và tâm I( 
1 14 1 
; ; 
10 5 10 
- 
) có 
phương trình  2 2 2 
1 14 1 1 
( ) ( ) ( ) 
10 5 10 2 
x y z - + - + + = 
0,75 
0,25 
3 
(1,0®) 
2. T×m phÇn thùc cña sè phøc  (1 ) = +  n z i : ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4, * - + + = Î ¥ n n n 
. 
Hµm sè f(x) = ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 x x - + + lµ hµm sè ®ång biÕn trªn (3; +∞) vµ 
f(19) = 4. Do ®ã ph­¬ng tr×nh ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4 n n - + + = cã nghiÖm duy nhÊt 
19 n = . 
w 1 2( os i sin ) 
4 4 
i c p p = + = + . Với n = 19 ¸p dụng c«ng thức Moavrơ ta cã: 
19 19 19 19 19 3 3 w ( 2) os i sin ( 2) os isin 
4 4 4 4 
z c c p p p p æ ö æ ö = = + = + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
Suy ra phần thực của z là : ( ) 19  19 3 2 2 os ( 2) . 512 
4 2 
c p = - = - . 
0,5 
0,5 
VI.b 
(2,0®) 
1 
(1,0®) 
1.Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1):x 
2 + y 2 = 13 và (C2):(x ­ 6) 
2 + 
y 2 = 25cắt nhau tạiA(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1), 
(C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. 
Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng  cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và 
N .Gọi M(x; y)  2 2 1 ( ) 13 C x y Î Þ + =  (1) 
Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y). 
Do N  2 2 2 ( ) (2 ) (6 ) 25 (2) Î Þ + + - = C x y
Từ (1) và (2) ta có hệ 
2 2 
2 2 
13 
(2 ) (6 ) 25 
x y 
x y 
ì + = ï 
í 
+ + - = ï î 
Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại) và (x = 
17
5 
- 
; y = 
6 
5 
). Vậy M( 
17
5 
- 
; 
6 
5 
) 
Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0 
0.5 
0,5 
1 
(1,0®) 2. 
1 2 
2 
4 1 5 
: ; : 3 3 
3 1 2 
x t 
x y z 
d d y t 
z t 
= + ì 
- - + ï = = = - + í - - ï = î 
Trong tÊt c¶ c¸c mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¶ hai ®­êng th¼ng d 1 vµ d 2 , viÕt ph­¬ng 
tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. 
Đường thẳng d 1 đi qua điểm M 1 (4; 1; -5) vµ cã vÐctơ chỉ phương  (3; 1; 2) u = - - 
r 
Đường thẳng d 2 đi qua điểm M 2 (2; -3; 0) vµ cã vÐctơ chỉ phương  ' (1;3;1) = 
r 
u 
( )  1 2 1 2 , ' 5; 5;10 , ( 2; 4;5) , ' . 60 u u M M u u M M é ù é ù = - = - - Þ = ë û ë û 
r ur uuuuuur r ur uuuuuur 
( ) 
1 2 
1 2  2 2 2 
, ' .  60 60 
, 2 6 
5 6 5 ( 5) 10 , ' 
é ù ë û = = = = 
é ù + - + ë û 
r ur uuuuuur 
r ur 
u u M M 
d d d 
u u 
Giả sử S(I; R) lµ mét mÆt cÇu bÊt kú tiếp xóc với hai ®­êng thẳng d 1 , d 2 t­¬ng 
øng tại hai điểm A vµ B khi ®ã ta lu«n cã IA ^ d 1 , IB ^ d 2 vµ IA + IB ≥ AB . Suy 
ra 2R ≥ AB, dấu ®¼ng thøc xảy ra khi vµ chØ khi I lµ trung điểm cña AB vµ AB lµ 
đoạn vu«ng gãc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 . 
AÎd 1 , BÎd 2 nªn A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’); 
. 0 
' . ' 0 
ì ì ^ = ï ï Û í í 
^ = ï ï î î 
uuur r uuur r 
uuur ur uuur ur 
AB u AB u 
AB u AB u 
Gi¶i hÖ nµy t×m ®­îc A(1; 2; -3) vµ B(3; 0; 1)Þ I(2; 1; -1). 
Mặt cầu (S) cã t©m I(2; 1; -1) , b¸n kÝnh 6 R = nªn cã ph­¬ng tr×nh lµ: 
( ) 2  2 2 2 ( 1) ( 1) 6 x y z - + - + + = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 
(1,0®) 
2. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c 
nhau? TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. 
4 3 2 1 
4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 Gäi sè tù nhiªn cÇn lËp lµ n = .10 10 .10 .10 a a a a a a a a a a = + + + + 
Ta cã 4 c¸ch chän a 4 vµ 4 ! c¸ch xÕp 4 sè cßn l¹i. VËy cã 4.4 !=96 sè n. 
Cã 24 sè víi sè k (k=1,2,3,4) ®øng ë vÞ trÝ a 4 . 
Cã 18 sè víi sè j ( j=1,2,3,4) ®øng ë vÞ trÝ a i víi i=0,1,2,3. 
VËy tæng cña 96 sè n lµ: 
3 4 2 1 0 (1 2 3 4)[(24.10 18(10 10 10 10 )] 2599980 + + + + + + + = . 
0,5 
0,5 
Chó ý: C©u I : Khèi A;B: 2 ®iÓm 
Khèi D: (3®iÓm) : ý I.1: 2,0 ®iÓm, ý I.2: 1,0 ®iÓm