Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 216

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HA LONG 
------------------- 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I 
NĂM HỌC 2011-2012 
MÔN TOÁN – KHỐI A 
THỜI GIAN: 180 PHÚT 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0) điểm 
Cho hàm số 4 2 22y x mx m m= + + + có đồ thị là ( )mC với m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1 m = − . 
2. Tìm m để ( )mC có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị này lập thành một tam giác có một góc bằng 0120 . 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình lượng giác 
3 3
2
sin cos 1 
sin 4
1 (cos sin ) 16
x x 
x
x x
+
=
+ −
2. Giải hệ phương trình 
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
 + − + =

+ − + =
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn 
2 3
20
cos ln(1 )lim
x
x
e x xL 
x→
− + +
= 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và 

 090 SAD = . J là trung điểm SD. Tính theo a thể tích tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D đến mặt phẳng 
(ACJ). 
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2 3ab bc ca + + = . Chứng minh rằng 
4 4 43 3 37 7 7 2( )a b c a b c+ + + + + ≤ + + 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm (1;1)A . Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng 3 y = và điểm C thuộc trục 
hoành sao cho tam giác ABC là tam giác đều. 
2. Trong mặt phẳng Oxy cho (1;2)A và (3;1)B . Viết phương trình đường tròn qua A, B và có tâm nằm trên 
đường thẳng 7 3 1 0x y + + = . 
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số tự nhiên 2 n ≥ , chứng minh hệ thức 
1 2 2 2 3 2 2
2
1( ) 2( ) 3( ) ... ( ) 
2
n n
n n n n nC C C n C nC+ + + + = 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy cho (1;0)A , ( 2;4) B − , ( 1;4) C − , (3;5)D , tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng 
3 5 0x y − − = sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. 
2. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4 3 2 0x y + − = và tiếp 
xúc với cả hai đường thẳng 4 0 x y + + = và 7 4 0x y − + = . 
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2 3 3 2log .log 2 log .log 3 0x x x x+ ≥ . 
......................................................Hết............................................. 
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
Câu Lời giải Điểm 
I.1 
(1đ) Với 1 m = − hàm số là 
4 22y x x= − 
a. TXĐ: D =  
b. Sự biến thiên của hàm số 
* Giới hạn của hàm số tại vô cực 
lim
x→−∞
= +∞ và lim
x→−∞
= +∞ 
* Bảng biến thiên 
3
' 4 4y x x= − . Do đó ' 0 0; 1y x x= ⇔ = = ±
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
x −∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y 
+∞ 0 +∞ 
 -1 -1 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 1) −∞ − và (0;1) và đồng biến trên mỗi khoảng 
( 1;0) − và (1; ) +∞ . 
Hàm số đạt cực đại tại 0 x = , giá trị cực đại của hàm số là 0. 
Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x = ± , giá trị cực tiểu là ( 1) 1y ± = − . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c. Đồ thị 
* Điểm uốn 2'' 12 4y x = − . 
'' 0 y = có hai nghiệm 3 
3
x = ± 
và y’’ đổi dấu khi qua hai nghiệm đó 
nên đồ thị có hai điểm uốn là 
3 5( ; )
3 
−
9 
− và 
3 5( ; )
3 9 
− . 
* Điểm cắt trục tung là (0;0), 
các điểm cắt trục hoành là (0;0) ; ( 2;0) − và ( 2;0) . 
Nhận xét: Hàm số chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng. 
Yêu cầu: 
Đủ các đề mục khi khảo sát. 
Đồ thị hàm số phải vẽ trơn và có tính đối xứng. 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
I.2 
(1đ) 
3 2
' 4 4 4 ( )y x mx x x m= + = + 
0 x
y
-1
-1
1
3 
3
3 
3
−
5
9
−
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : 
 2
0
' 0
x
y
x m
=
= ⇔ 
= −
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt nên m<0. 
Khi đó y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm này nên đk đủ để hàm số có 3 điểm cực trị là m<0. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính được tọa độ các điểm cực trị là 2(0; )A m m+ ; ( ; )B m m− ; ( ; )C m m− − . 
2( ; )AB m m= − −

; 2( ; )AC m m= − − −

 và 4AB AC m m= = − + nên tam giác 
ABC cân tại A. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Để tam giác có một góc bằng 0120 thì 
 0120BAC = . 
Do đó 

4
4
1
cos cos( ; )
2
m mBAC AB AC
m m
+
= = = −
− +
 
. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ đó tính được 
3
1
3
m
−
= . 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
II.1 
(1đ) 
ĐK: x∈ 
Biến đổi pt về 
(sin cos )(1 sin cos ) 1
sin 2 (cos sin )(cos sin )
2 2sin cos 8
x x x x
x x x x x
x x
+ −
= + −
−
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ta được 
sin cos 0
(cos sin )sin 2 4
x x
x x x
+ =

− =
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Đánh giá được pt thứ hai vô nghiệm do VT<4 (hoặc giải bằng cách đặt ẩn phụ). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải pt đầu và suy ra nghiệm là ( )
4
x k kpi pi= − + ∈ . 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
II.2 
(1đ) 
Xét 0x = suy ra 0y = là một nghiệm của hệ. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Xét 0x ≠ , chia hai vế của pt đầu cho x , hai vế của pt sau cho 2x rồi biến đổi về hệ 
22
2
2
33
3 5 5
yy x yx y
xx
y y
x y x y
x x
  + + =+ + =     
⇔ 
  + + = + + =    
Đặt 
y
z x
x
= + được hệ 2
3
5
z y
z y
+ =

+ =
. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải hệ này được 2; 1z y= = hoặc 1; 4z y= − = . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải trường hợp đầu được 1x y= = , trường hợp sau vô nghiệm. 
Tóm lại các nghiệm (x;y) của hệ là (0;0);(1;1) . 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
-------
0.25 
 III 
(1đ) Biến đổi về 
2 3
20
( 1) (1 cos ) ln(1 )lim
x
x
e x xL
x→
− + − + +
= 
2 3
2 320
( 1) 1 cos ln(1 )lim .(1 cos )
x
x
e x x
x
x xx x→
 
− − +
= + +  + 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2 2 3
22 30
sin( 1) 1 ln(1 )2lim . .
2(1 cos )
2
x
x
x
e x
x
x xx x→
 
 
− + = + +
 +  
  
  
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Khi 0x → thì 2 0x → ; 0
2
x
→ và 3 0x → nên 
2 2 3
22 30 0 0
sin1 ln(1 )2lim 1;lim 1;lim 1
2
x
x x x
x
e x
x xx→ → →
− +
= = = =
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ đó tính được giới hạn đã cho là 
5
4
L = . 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
IV 
(1đ) 
Do AD vuông góc với SA và AB nên AD vuông góc với 
mặt (SAB). 
Gọi I là trung điểm của AB thì AD vuông góc với SI. 
Mà tam giác SAB đều nên AB vuông góc với SI. 
Suy ra SI vuông góc với mặt (ABCD). 
---------------------------------------------------------------------- 
Do dó khoảng cách từ J đến (ACD) bằng 1
2
khoảng cách từ S đến mặt (ABCD) và 
bằng 
1 3
2 4
aSI = . 
Từ đó suy ra thể tích tứ diện ACDJ là 
3
21 1 3 3
. . .
3 2 4 24
a aV a= = (đvtt). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Xét tam giác BCI vuông tại B nên 
2 2
2 2 2 2 5
4 4
a aCI CB BI a= + = + = . 
Tam giác SIC vuông tại I nên 
2 2
2 2 2 23 5 2
4 4
a aSC SI IC a= + = + = . Tương tự 
2 2 22SD SC a= = . 
Tam giác SCD có CJ là đường trung tuyến nên 
0.25 
------ 
0.25 
------ 
0.25 
A
B
D
C
S
I
J
 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) (2 ) .2
2 4 2 4
CJ SC CD SD a a a a= + − = + − = 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Xét tam giác AJC có ; 2;
2
aAJ AC a CJ a= = = nên tính được 3cos
4
A = . Từ đó 

 7sin
4
JAC = nên 
2
AJC
1 7 7
. . 2.
2 4 82
a aS a= = . 
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACJ) là 
3
2
33. 2124
77
8
a
ad
a
= = (đvd) 
*************************************************************************** 
Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là trung điểm 
H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc 
AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC. 
------- 
0.25 
V 
(1đ’) Áp dụng bdt Cauchy cho 3 số 
33( 7) 8 8 3 ( 7).8.8 12 7a a a+ + + ≥ + = + . 
Làm tương tự rồi cộng vào với nhau ta được 3 3 3
697 7 7
12
a b c
a b c + + ++ + + + + ≤ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dùng bdt Cauchy cho 4 số ta được 4 1 1 1 4a a+ + + ≥ 
Do dó 
4 4 469 285
12 48
a b c a b c+ + + + + +≤ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
nên chỉ cần chứng minh 
4 4 4
4 4 4285 2( )
48
a b c
a b c+ + + ≤ + + hay 4 4 4 3a b c+ + ≥ 
với 2 2 2 3ab bc ca+ + = . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dùng bdt Cauchy 4 4 4 21 4a b b ab+ + + ≥ ; 4 4 4 21 4b c c bc+ + + ≥ , 
4 4 4 21 4c a a ca+ + + ≥ . Cộng các vế của bất đẳng thức trên suy ra đpcm. 
Dấu “=” xảy ra khi 1a b c= = = 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
VI.a.1 
(1đ’) 
Gọi tọa độ B(a;3), C(b;0). Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB=BC=CA. 
Từ đó ta có hệ: 
2 2
2 2
( 1) 4 ( 1) 1
( 1) 4 ( ) 9
a b
a b a
 − + = − +

− + = − +
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Đổi biến 1; 1u a v b= − = − thu được hệ đẳng cấp: 
2 2
2
3
2 5
v u
uv v
 − =

− =
suy ra 2 28 6 5 0v uv u− − = ⇔ 2u v= − hoặc 4
5
v
u = . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
 Trường hợp đầu vô nghiệm, TH sau có hai nghiệm (u;v) là 4 3 5 3 4 3 5 3( ; );( ; )
3 3 3 3
− − . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính được B,C là 
4 3 3 5 3 3( ;3); ( ;0)
3 3
B C+ + hoặc 4 3 3 5 3 3( ;3); ( ;0)
3 3
B C− + − + . 
------- 
0.25 
VI.a.2 
(1đ’) 
Gọi tọa độ tâm đường tròn là I(a;b). 
IA=IB nên 2 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) ( 1) 4 2 5a b a b a b− + − = − + − ⇔ − = 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
mà 7 3 1a b+ = − , tính được 1 3;
2 2
a b= = − . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
suy ra 2
25
2
R = . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vậy pt đường tròn là 2 2
1 3 25( ) ( )
2 2 2
x y− + + = . 
0.25 
------- 
0.25 
----- 
0.25 
------- 
0.25 
VII.a 
(1đ’) Áp dụng hệ thức 
2( 1) (1 ) (1 )n n nx x x+ + = + 
Đạo hàm hai vế ta có 22.( 1) [(1 ) ]' [(1 ) ]'n n nx x x+ + = + 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vì 0 1 1 2 2 1( 1) ...n n n n n nn n n n nx C x C x C x C x C− − −+ = + + + + + và 
1 2 3 2 1 2 1[(1 ) ]' 2. 3. ... ( 1)n n n n nn n n n nx C C x C x n C x nC x− − −+ = + + + + − + 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
nên hệ số của 1nx − trong khai triển ở vế trái là 1 2 2 2 3 2 22[( ) 2( ) 3( ) ... ( ) ]nn n n nC C C n C+ + + + . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mà 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2[(1 ) ]' ... ...n n n n nn n n nx C C x C x C x− −+ = + + + + + nên hệ số của 1nx − trong khai 
triển ở vế phải là 2
n
nC . 
Hai hệ số của 1nx − phải bằng nhau nên suy ra đpcm. 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
VI.b.1 
(1đ’) Tính được 5AB = và ptAB là 4 3 4 0x y+ − = ; 17CD = và pt CD là 4 17 0x y− + = . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Gọi ( ;3 5)M a a − . Để hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau thì 
( ; ) ( ; ). . 13 19 11 37M AB M CDd AB d CD a a= ⇔ − = − 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính được 9a = − hoặc 7
3
a = (khi đó MAB và MCD thật sự là các tam giác). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ đó suy ra ( 9; 32)M − − hoặc 7( ;2)
3
M 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
------- 
0.25 
VI.b.2 
(1đ’) 
Tâm đường tròn phải thuộc đường phân giác của hai đường thẳng nên nó thuộc đường thẳng 
3 8x y− = hoặc 3 6x y+ = − . 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.25 
------- 
0.375 
Trường hợp thứ nhất tính được tâm(2; 2); 2 2R − = . Ptđtròn là 2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = . 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Trường hợp thứ hai tính được tâm( 4;6); 3 2R − = . Ptđtròn là 2 2( 4) ( 6) 18x y+ + − = . 
------- 
0.375 
VII.b 
(1đ’) 
Dễ thấy 1 x ≥ là nghiệm của bpt. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Xét 0 1 x ta được 
3 2
3 2
log 2 log 3 0
log log
x x
x x
+ ≥ 
Rút gọn ta được 
2 log 6 0x+ ≥
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính ra 
60 
6 
x< ≤ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ đó tập nghiệm là 
6 (0; ] [1; )
6
S = ∪ +∞ . 
*************************************************************************** 
Có thể giải bằng cách đưa về cùng cơ số 2 và biến đổi về pt 22 2log .log (6 ) 0x x ≥ 
0.25 
------- 
0.25 
-------
0.25 
------
0.25 
Yêu cầu: 
Học sinh trình bày chi tiết lời giải và các bước tính toán. 
Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt là điều kiện cần và đủ, các bước đánh giá. 
Học sinh có thể giải bài toán theo các cách khác nhau, tổ chấm thảo luận để thống nhất cho điểm. 
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại :