Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 23

SỞ GD – ĐT
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011
Trường THPT Chuyên 
Môn : Toán 12 A
Vĩnh Phúc
Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề)
Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu 1. Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Câu 2.
Giải phương trình 
Giải phương trình 
Câu 3. Tìm giới hạn 
Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và với là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, và khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng (ở đây là trung điểm ). Hãy tính thể tích khối chóp theo 
Câu 5. Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng 
Phần tự chọn: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B.
Theo chương trình chuẩn.
Câu 6A. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes vuông góc cho hai đường thẳng và Gọi là đường tròn tiếp xúc với tại điểm có hoành độ dương, cắt tại hai điểm sao cho tam giác vuông tại và có diện tích bằng (đ.v.d.t).
Viết phương trình đường tròn 
Viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua rồi vị tự tâm với tỷ số 
Câu 7A. Tính tổng 
Theo chương trình nâng cao
Câu 6B. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes vuông góc cho tam giác có đỉnh , đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh có phương trình và đường cao kẻ từ có phương trình 
Xác định tọa độ các điểm 
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm trong đó là điểm trên đường thẳng sao cho tam giác cân tại 
Câu 7B. Tính tổng 
HẾT
Chú ý. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD – ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011
Trường THPT Chuyên 
Môn : Toán 12 A
Vĩnh Phúc
Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề)
Chú ý. 
Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải, nếu học sinh có lời giải đúng và khác với lời giải trong HDC, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
Câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.
Hướng dẫn chấm này có 5 trang.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
+ TXĐ: 
0.25
+ Chiều biến thiên: 
Do đó hàm số đồng biến trên hàm số nghịch biến trên 
0.25
Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại 
Giới hạn 
Bảng biến thiên (giám khảo tự vẽ)
0.25
+ Đồ thị
Đồ thị hàm số nhận làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt tại 
0.25
2.
+ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng (cùng phương với )
0.25
+ Nêu cách dựng đồ thị từ đồ thị vừa vẽ
0.5
+ Từ đó suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hoặc 
0.25
II
1.
+ Điều kiện 
0.25
+ Nhận xét. và 
Đặt ta được 
0.25
Nếu ta có phương trình (thỏa mãn điều kiện)
0.25
Nếu ta có phương trình phương trình này vô nghiệm.
Kết luận nghiệm 
0.25
2.
+ Điều kiện: 
0.25
+ Nhận xét 
0.25
do đó phương phương trình đã cho tương đương với 
0.25
Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai họ nghiệm 
 và 
0.25
III
Ta có 
0.25
0.25
0.25
Từ đó suy ra
0.25
IV
Từ giả thiết suy ra và 
0.25
Theo định lý Pythagoras ta có . 
Do đó tam giác vuông cân tại và 
0.25
Gọi thế thì tam giác cũng vuông cân và do đó suy ra 
0.25
Suy ra (đ.v.d.t.). Vậy 
 (đ.v.t.t.)
0.25
V
Nhận xét. 
0.25
Chứng minh nhận xét
0.25
Áp dụng nhận xét được 
0.25
Từ đó do nên suy ra điều phải chứng minh.
0.25
VIA
1
 cắt nhau tại gốc tọa độ và từ đó do tam giác vuông tại nên do đó và tam giác đều
0.25
Suy ra và do đó suy ra 
0.25
Điểm là giao điểm của đường thẳng với đường tròn tâm bán kính nên có tọa độ là nghiệm của hệ 
Giải hệ, với chú ý ta được hay 
0.25
Do nên có phương trình . Từ đó, tìm được tọa độ của . 
0.25
Tâm của đường tròn là trung điểm của nên . 
Vậy 
0.25
2
Đường tròn đối xứng với qua có tâm và có bán kính 
0.25
Đường tròn cần tìm là ảnh của qua phép vị tự tâm với tỷ số nên có bán kính và có tâm . Từ đó tìm được 
0.25
Vậy 
0.25
VIIA
Số hạng tổng quát của tổng cần tính là với 
0.25
Do với mọi nên
0.25
Suy ra 
0.5
VIB
1
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng (đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh ). Khi đó có tọa độ là nghiệm của hệ 
Giải hệ thu được Do đó 
Do nên tìm được 
0.25
Do đường thẳng song song với nên  có phương trình . Suy ra tọa độ của là nghiệm của hệ 
Giải hệ, thu được . Vậy 
0.25
Đường thẳng đi qua và vuông góc với đường cao kẻ từ nên có phương trình . 
Do đó tọa độ của là nghiệm của hệ 
Giải hệ thu được Suy ra .
0.25
0.25
2
Do là trung điểm nên .
0.25
Gọi là tâm đường tròn đi qua ba điểm . Khi đó 
Suy ra tọa độ của thỏa mãn hệ 
Giải hệ thu được 
0.25
Bán kính của đường tròn cần tìm là 
0.25
Suy ra phương trình đường tròn càn tìm là 
0.25
VIIB
Số hạng tổng quát của tổng cần tính bằng với 
0.25
Do nên
và 
0.25
Do đó 
0.5