Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 270

ŀ ĐỀ THAM KHẢO Email: phukhanh@moet.edu.vn ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN - khối D. Ngày thi thử: tháng 03 năm 2012 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I: Cho hàm số: 3 2y x 3x 2= − + có đồ thị là ( )C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Tìm trên đường thẳng y 3x 2= − điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm cực trị nhỏ nhất. Câu II: 1. Giải phương trình: 2 2x x x1 sin sinx cos sin x 2cos2 2 4 2pi + − = −   . 2. Giải hệ phương trình: 4 3 2 23 2x x y x y 1x y x xy 1 − + = − + = − . Câu III: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường xy e 1,= + trục hoành, x ln3= và x ln8= Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' . Có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
 0A 60= . Góc giữa ( )B'AD và mặt phẳng đáy bằng 030 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( )B'AD . Câu V: Giả sử x,y là các số thực lần lượt thỏa mãn các phương trình: ( )2x 2ax 9 0, a 3 ;+ + = ≥ ( )2y 2by 9 0, b 3− + = ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 22 1 1A 3 x y x y = − + −   . II. PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc B ) 
A. Theo chương trình chuẩn 
 Câu VI.a: 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có ( )A 2;6 ,− đỉnh B thuộc đường thẳng d : x 2y 6 0− + = . Gọi 
M,N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC,CD sao cho BM CN= . Xác định tọa độ đỉnh C , biết rằng AM cắt BN tại 
2 14
I ;
5 5
 
 
 
. 
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng ( )P : x 2y 2z 5 0,+ − + = ( )Q : x 2y 2z 13 0+ − − = và đường thẳng 
x 2 t
d : y 1 2t
z 1 t
= +

= +
 = −
. Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm thuộc đường thẳng ( )d đồng thời tiếp xúc cả 2 mặt phẳng 
( )P và ( )Q . 
 Câu VII.a: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn: z z 1 2i 3.− + − = 
B. Theo chương trình nâng cao 
 Câu VI.b: 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm ( )A 0;2 và đường thẳng ( )d : x 2y 2 0− + = . Tìm trên đường thẳng ( )d hai điểm 
B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC= . 
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz, cho điểm ( )A 2;2;4 và mặt phẳng ( )P : x y z 4 0+ + + = . Viết phương trình mặt phẳng 
( )Q song song với ( )P : và ( )Q cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B,C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6 . 
Câu VII.b: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn: 
z 1 5i
2
z 3 i
+ −
=
+ −
............................................................................................................................................................................................................... 
ĐÁP ÁN: 
Câu I: 
1. Tự vẽ 
2. Giả sử điểm cực đại là ( )A 0;2 , điểm cực tiểu là ( )B 2; 2− . Ta thấy, A,B nằm về 2 phía đường thẳng y 3x 2= − . 
Để MA MB+ nhỏ nhất khi 3 điểm A,M,B thẳng hàng và M nằm trong AB , tức tọa độ điểm M là giao điểm của đường 
thẳng AB : y 2x 2= − + và đường thẳng y 3x 2= − 
4 2
M ;
5 5
 
⇒  
 
. 
Câu II: 
1. 2
x x
1 sin sinx cos sin x 1 cos x 1 sinx
2 2 2
pi 
⇔ + − = + − = + 
 
x x x x x x
sinx sin cos sinx 1 0 sinx sin cos .2sin cos 1 0
2 2 2 2 2 2
   
⇔ − − = ⇔ − − =   
   
2x x xsinx sin 1 2sin 2sin 1 0 ... x k ,k
2 2 2
  
⇔ − + + = ⇔ ⇔ = pi ∈  
  
Z 
2. Cách 1: 
( )
( )
22 3
3 2
x xy 1 x y
x y x xy 1

− = −

 − − = −

. Đặt 
2
3
x xy u
x y v
 − =

=
, ta được hệ: ( ) ( ) ( )
2u 1 v
x;y 1;0 , 1;0
v u 1
 = −
⇒ = −
− = −
Cách 2: Trừ vế theo vế ta được: ( ) ( )22 2x xy x xy 2 0− + − − = 
Câu III: 
ln8
x
ln3
S e 1dx= +∫ . Đặt x 2 x x 2 xt e 1 t e 1 e t 1 e dx 2tdt= + ⇔ = + ⇒ = − ⇒ = hay 2
2t
dx dt
t 1
=
−
Khi đó: 
3 32
2 2
2 2
32t 2 t 1 3
S dt 2 dt 2t ln 2 ln
2t 1 2t 1 t 1
 −   
= = + = + = +     +  − −   
∫ ∫ ( đvdt ). 
Câu IV: Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu của B xuống B'I . 
Vì 
 0A 60 ABD= ⇒∆ đều cạnh a . 
( )  0 0
BI AD a
AD BIB' BIB' 30 BB' BI.t an30
BB' AD 2
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = =
⊥ 
3
ABCD.A'B'C'D' ABCD ABD
a 3
V S .BB' 2S .BB'
4
= = = 
Ta thấy, ( ) ( ) ( )BC AD BC B'AD d BC, B'AD d B, B'AD   ⇒ ⇒ =     
( ) ( )
BK B'I
BK B'AD BK d B, B'AD
BK AD
⊥ 
 ⇒ ⊥ ⇒ =  ⊥ 
Tam giác B'BI vuông tại B, có: 
2 2 2
1 1 1 a 3
BK
4BK BI BB'
= + ⇒ = . 
Câu V: a 3≥ phương trình 2x 9 2ax+ = − có nghiệm khi x 0< 
b 3≥ phương trình 2y 9 2by+ = có nghiệm khi y 0> . 
Đặt x t , t 0= − > , thế thì ( ) ( )
2 2
2 21 1 1 1
A 3 t y 3 t y
t y t y
   
= − − + − − = + + +   
   
Vì y 0,t 0> > nên có: 
1 1 4
t y t y
+ ≥
+
 suy ra ( )
( )
2
2
16
A 3 t y 8 3
t y
≥ + + ≥
+
Đẳng thức xảy ra khi: ( )
( )
4
2
4
2
4
1t y yt y
316 13 t y 1y
xt y 3
3
= ==   
⇔ ⇔  + = =   = −+  
Khi đó: 
2
4 4
2
44 4
1 1
2a 9 0
3 3
9 3 11 1 a b2b 9 0
2 33 3
a 3
b 3
   
 − + − + =   
   

+    ⇔ = = − + =      

≥
 ≥
Vậy, min A 8 3= đạt được khi 
4 4 4
1 1 9 3 1
x , y , a b
3 3 2 3
+
= − = = = 
Câu VI.a: 
1. ( )B d : x 2y 6 0 B 2y 6;y∈ − + = ⇒ − 
Ta thấy AMB∆ và BNC∆ vuông bằng nhau ( )AI BI IA.IB 0 y 4 B 2;4⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒
 
( )BC :2x y 0 C c;2c ,− = ⇒ AB 2 5,= ( ) ( )2 2BC c 2 2c 4= − + − 
Theo bài toán, ( ) ( )AB BC c 2 2 C 0;0 ,C 4;8= ⇒ − = ⇒ 
Vì I nằm trong hình vuông nên I,C cùng phía với đường thẳng ( )AB C 0;0⇒ . 
2. ( )I d I 2 t;1 2t;1 t∈ ⇒ + + − 
Theo bài toán, 
( )
( )
( ) ( )
d I, P R
d I, P d I, Q
d I, Q R
   =  
   ⇒ =    
  =  
( ) ( ) ( ) ( )2 t 2 1 2t 2 1 t 5 2 t 2 1 2t 2 1 t 13
3 3
+ + + − − + + + + − − −
⇔ = 
16 11 5
2. 2. 5
2 16 11 5 7 7 7
7t 7 7t 11 t I ; ; , R 3
7 7 7 7 3
+ − +
 
⇔ + = − ⇔ = ⇒ = = 
 
Vậy, ( )
2 2 2
16 11 5
S : x y z 9
7 7 7
     
− + − + − =     
     
 là mặt phẳng cần tìm. 
Câu VII.a: Đặt z x yi,= + ( )x,y∈ ⇒ z x yi= − 
( ) ( ) ( )2 22z z 1 2i 3 1 2 y 1 i 3 1 2y 2 3 y 1 2 y 1 2− + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = ± 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là 2 đường thẳng y 1 2= ± song song trục hoành. 
Câu VI.b: Tác giả không có chủ trương giải phần nâng cao. 
Câu VII.b: 
Đặt z x yi= + ( )x,y z x yi∈ ⇒ = − 
( ) ( )
( ) ( )
x 1 y 5 iz 1 5i x yi 1 5i
x yi 3 i x 3 y 1 iz 3 i
+ + −+ − + + −
= =
− + − + − ++ −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
x 1 y 5z 1 5i
2 x y 10x 14y 6 0
z 3 i x 3 y 1
+ + −+ −
= = ⇔ + + + − =
+ − + + +
 ( )∗ 
( )∗ là phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức có tâm ( )I 5; 7− − 
x 5t
IO :
y 7t
= −

= − 
2
34 2 370
t
34 2 370 34 2 3703737t 74t 3 0 z 5 7
37 3737 2 370
t
37
 +
= + +⇒ − − = ⇔ ⇒ = − −
 −
=
