Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 49

Trường
thpt cầu xe năm 2011 
đề chính thức 
 đề thi thử đại học 
 Môn thi: TOáN; Khối A 
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) 
 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 3 2y x x= - + 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2. Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt , ,A B C sao cho điểm A
 độ bằng 2 và 2 2BC = . 
 Câu II (2,0 điểm) 
 1. Giải phương trình 
 2. Giải hệ phương trình
 Câu III (1,0 điểm) 
 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với BC 
 đáy nhỏ, H là trung điểm của AB . Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 
 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 5SC a= và khoảng cách từ D tới mặt phẳng ( )SHC 
 bằng a . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD 
 Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
 A. Theo chương trình Chuẩn 
 Câu VI.a
 2. Trong không gian toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )a có phương trình: 2 3 0x y z- - + = và hai điểm 
 (0; 2;1)A - , (1;0;3)B . Gọi 'A là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng ( )a , 
 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức liên hợp của số phức z biết ( 1) 1z i- + = và 2z i- là một số thực.
 B. Theo chương trình Nâng cao 
 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
 Câu VI.b (2,0 điểm) 
 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Elip ( )E có phương trình: 
2 2
1
9 4
x y+ = và hai điểm (3; 2),A - ( 3;2)B - . 
Tìm
toạ
độ điểm C có hoành độ và tung độ dương thuộc Elip ( )E sao cho tam giác ABC có diện tích
lớn nhất. 
 2. Trong không gian toạ độ Oxyz , cho điểm (10;2; 1)A - và đường thẳng có phương trình : 
 Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình 2 2log (2 4) 3 log (2 12)x xx+ = - + + ( x ẻĂ ) 
------------------------Hết------------------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:...............................................................; số báo danh....................................
3
1
12
1 -
==
- zyx
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới
 mặt phẳng (P) là lớn nhất. 
 có 
 hoành 
4 4sin cos1 tan tan sin
2 cos
x x xx x
x
++ = + 
 2a
 là 
 Câu V (1,0 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 1. 
Tính tích phân I = 
2
1
ln- ổ ử+ỗ ữ
ố ứ
ũ
x
x e exe x dx
x
2 3
2
2
1 + 2 1 = 1 
2. 2 2 ỡ
+ -
ù
ớ
+
ù
- = -
ợ y x
yy x x
x
 ( ,x y ẻĂ ) 
2 2
(2,0 điểm)
d
theo  . a 
 Cho x, y , z, là các số thực dương thoả mãn điều kiện : x y z 3+ + = 
2 2 2
2 2 2
xy yz zx
P x y z
x y y z z x
+ +
= + + +
+ +
hãy tính độ dài đoạn thẳng AC . 
 Biết rằng điểm C thuộc đường thẳng 'A B và đường thẳng AC song song với mặt phẳng ( )a . 
Phần tự chọn (3,0 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và đường thẳng AB có phương 
trình x y 0- = . Biết rằng điểm I(2;1) là trung điểm của đoạn thẳng BC , hãy tìm toạ độ trung điểm K
 của đoạn thẳng AC. 
vanhiencauxe@gmail.com sent to www.laisac.page.tl
đáp án
và
biểu
điểm
Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 
Câu Đáp án Biểu điểm 
1 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 3 2y x x= - + 
Ta có: TXĐ: D = Ă 
Sự biến thiên 2' 3 3= -y x , 2' 0 3 3 0 1= Û - = Û = ±y x x 
............................................................................................................. 
Bảng biến thiên: 
 x - Ơ -1 1 + Ơ 
 y’ + 0 - 0 + 
 y 
 4 + Ơ 
 0 - Ơ 
Hàm số đồng biến trên khoảng (- Ơ ;-1) và (1; + Ơ ), hàm số nghịch 
biến trên khoảng (-1;1). 
............................................................................................................ 
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và yCĐ=y(-1) =4, hàm số đạt cực tiểu 
tại x =1 và yCT = y(1) =0. 
Giới hạn: tính đúng 
............................................................................................................. 
Đồ thị: Đồ thị không có đường tiệm cận 
 Nhận điểm I( 0; 2) làm tâm đối xứng 
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
I. 
2 Ta có: Hoành độ điểm A là 2 nên tung độ điểm A là 4 vậy A(2;4) 
Phương trình đường thẳng d qua A và có hệ số góc k là: 
y = k(x-2) + 4 
.............................................................................................................. 
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C) là: 
0.25 
x3 -3x+2 = k(x-2) + 4 Û (x-2)( x2 +2x +1- k) = 0 . Để d cắt (C) tại 
3 điểm phân biệt thì pt: x2 +2x +1- k = 0 có 2 nghiệm pb khác 2 
Do đó: 
k 0 k 0
9 k 0 k 9
> >ỡ ỡ
Ûớ ớ- ạ ạợ ợ
............................................................................................................ 
0.25 
O 1-1
Page 1
 Môn thi: TOáN; Khối A 
Khi đó toạ độ điểm B(x1;y1) và C(x2;y2) thoả mãn hệ phương trình: 
( )
2x 2x 1 k 0 
y k x 2 4
ỡ + + - =ù
ớ
= - +ùợ
Ta có: BC2 = (x2 – x1)
2 + k2((x2 – x1)
2 =(k2+1)[ (x2 + x1)
2 - 4x1.x2] 
 = (k2+1)[4 – 4(1 – k)] = 4k(k2+1) 
............................................................................................................ 
Theo bài ra: BC = 2 2 nên 4k(k2+1) = 8 Û k = 1 ( thoả mãn) 
Vậy đường thẳng d cần tìm là: y = x + 2 
0.25 
0.25 
1. Giải phương trình 
4 4sin cos1 tan tan sin
2 cos
x x xx x
x
++ = + 
1,0 (điểm) 
II 
1 
ĐK: 
cosx 0
x k
 (k )2x
cos 0
x k22
ạ pỡ ỡ ạ + pù ùÛ ẻớ ớ
ạù ù ạ p + pợ ợ
 
.......................................................................................................... 
Ta có: 
cos .cos sin .sin cos 12 2 21 tan tan
2 coscos .cos cos .cos
2 2
+
+ = = =
x x xx xxx x x xx x
 4 4 21sin cos 1 sin 2
2
+ = -x x x 
............................................................................................................. 
Khi đó phương trình trở thành: 
2 211 1 sin 2 sin .cos sin 2 sin 2 0
2
sin 2 0
sin 2 1
= - + Û - =
=ộ
Û ờ =ở
x x x x x
x
x
............................................................................................................. 
2x k x k.
2 (k )
2x k2
x k2
4
pộ= p =ộ ờờÛ Û ẻờpờ p= + p ờ = + pở ờở
 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của pt là: 
x = k2 p hoặc x k (k )
4
p
= + p ẻÂ 
.............................................................................................................. 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
Giải hệ phương trình 
2
2 (1)2. 2 2
 (2)
ỡ
ù
ớ
+
ù
- = -
ợ
yy x x
x ( ,x y ẻĂ ) 
1,0 (điểm) 
2 
ĐK: x > 0 . Chia cả hai vế của pt(1) cho x ta được: 
2 22 2 2 = 0 + +- -y y
x x
 (vì x > 0) 
2
2 2y 2 4 y 2 4x y 1 4x 1
x
+Û = Û + = Û + = - 
thay vào pt(2) ta được: 34 1 + 2 1 = 1 - -x x ( đk 1x
4
³ ) 
0.25 
Page 2
2 31 + 2 1 = 1 
 (1)
+ -y x
.............................................................................................................. 
Đặt 4 1 (u 0)= - ³u x và 3v= 2 1 -x Khi đó ta có hệ pt: 
2 3
u v 1
u 2v 1
+ =ỡ
ớ
- =ợ
............................................................................................................. 
Giải hệ pt ta được u =1 và v = 0. 
.............................................................................................................. 
Thay vào tìm được nghiệm 1x
2
= và y =0 
Kết luận : nghiệm của hệ pt là: 1 ;0
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
0.25 
0.25 
0.25 
Tính tích phân I = 
2
1
ln- ổ ử+ỗ ữ
ố ứ
ũ
x
x e exe x dx
x
1,0 (điểm) 
III 
2 2
1 1
1 ln - += +ũ ũx
xI xe dx dx
x
 1 2I I= + 
.............................................................................................................. 
Tính đúng I1 = 2
2e 3
e
- 
.............................................................................................................. 
Tính đúng I2 = 
21ln 2 ln 2
2
+ 
.............................................................................................................. 
Vậy I = 
2
2e 3
e
- + 21ln2 ln 2
2
+ 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
IV
4a 
2a  2 
2a 
2a 
a 
a 
a  5 
C 'ºC 
a 
a 
a 
a 
a 
45 ° 
45 ° 
H 
E 
A 
D 
C B 
H 
B 
A 
C 
D 
S 
E
Từ giả thiết suy ra ( ) SH ABC D ^  và  2 3  3 
2 
a 
SH a = =  0.25 
Theo định lý Pythagoras ta cú  2 2  2 C H SC SH a = - =  . 
Do đú  tam giỏc  HBC  vuụng cõn tại  B  và  BC a = 
0.25 
Gọi  D  E HC A = ầ   thế thỡ  tam  giỏc  HAE  cũng vuụng cõn và do đú 
( ) ( ) ( ) 2 2 ; ; CE a d D HC d D SHC = = =  suy ra 
2 2 2 4 3 . DE a a AD a = ì = ị = 
0.25 
Suy ra ( )  2 1  4 
2 A BC D 
S BC DA AB a = + ì =  (đ.v.d.t.). Vậy 
3 
. D 
1 4 
3  3 
S AB C AB CD 
a 
V SH S = ì ì =  (đ.v.t.t.) 
0.25 
Page 3
suy ra 
khoảng cách từ D đến mặt phẳng 
(SHC) bằng độ dài đoạn DC 
V 
Ta có : 3(x2 + y2 + z2) =(x + y + z) (x2 + y2 + z2) ( vì : x + y + z =3) 
ị 3(x2 + y2 + z2) = (x3 + xy2) + (y3 + yz2) + (z3 + zx2) + x2y + y2z + z2x 
Mặt khác ta có: 
 x3 + xy2 ³ 2 x2y 
 y3 + yz2 ³ 2 y2z 
 z3 + zx2 ³ 2 z2x 
Từ đó ta có: 3(x2 + y2 + z2) ³ 3(x2y + y2z + z2x) 
hay x2 + y2 + z2 ³ x2y + y2z + z2x 
............................................................................................................... 
Vậy: P ³ 2 2 2x y z+ + + 2 2 2
xy yz zx
x y z
+ +
+ +
Đặt: t = 2 2 2x y z+ + theo giải thiết ta có: 9 =(x + y + z)2 Ê3(x2 + y2 + z2) 
ị t ³ 3 và xy + yz + zx = 9 t
2
- . 
Suy ra: P ³ 9 tt
2t
-
+ 
................................................................................................................. 
Đặt 9 tf(t) t
2t
-
= + với t ³ 3 . Ta có: 
2
2
4t 18
f '(t)
4t
-= ; 3f '(t) 0 t
2
= Û = ± 
Bảng biến thiên: 
x - Ơ 
3
2
- 3
2
 3 + Ơ 
y’ + 0 - 0 + 
y 
 + Ơ 
 4 
............................................................................................................... 
Vậy 
t 3
M in f(t) 4
³
= Dấu “=” xảy ra Û t = 3 
Vậy: Min P = 4 khi x = y =z =1 
0.25 
.................. 
0.25 
0.25 
0.25 
VIa 
1 
.................................................................................................................. 
0.25 
0.25 
.................................................................................................................. 
0.25 
 Tìm được toạ độ điểm A’(-2;2;3) ............................................................................................................ 
Viết được ptđt A’B: 
x 1 3t
y 2t (t )
z 3
= +ỡ
ù = - ẻớ
ù =ợ
Ă 
0.25 .......... 
0.25 
0.25 
 + 
Page 4
.................................................................................................................. 
2
IK qua I và song song với AB cú phương trỡnh 1 0x y  Đường thẳng 
Chiều cao kẻ từ C của ABC bằng h=
2 2
2 1
2. 2
1 ( 1)
 
 
2. 4
2 2
2
ABCSAB
h
  
2
2
AB
IK   suy ra K nằm trờn đường trũn (C ) tõm I bỏn kớnh 2
cú phương trỡnh 2 2( 2) ( 1) 2x y   
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 
2 2( 2) ( 1) 2
1 0
x y
x y
    
   
Tỡm được  1;0K hoặc  3;2K .
.................................................................................................................. 
Vì C ẻ A’B suy ra: C( 1+3t; -2t; 3) vì AC vuông góc với mp(a ) nên ta 
Từ đó tìm được 
.................................................................................................................. 
Vậy AC = 
0.25 
0.25 
VIIa Giả sử số phức z = a + bi Từ giải thiết ta có: 
( ) ( )2 2a 1 b 1 1 
b 2 0
a 1
b 2
ỡ - + - =ù
ớ
- =ùợ
=ỡ
Û ớ =ợ
.............................................................................................................. 
Suy ra: z =1 + 2i 
.............................................................................................................. 
Vậy: Số phức liên hợp của số phức z là: 1 - 2i 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
VIb 1 
Giả sử C(a ;b) theo bài ra C ẻ(E) nên ta có: 
2 2a b
1
9 4
+ = 
Ta có : ptđt AB là: 2x + 3y =0 
K/c từ C đến đường thẳng AB là: 
2a 3b
h
13
+
= 
.................................................................................................................. 
Diện tích tam giác ABC là: 
2a 3b
S 52 2a 3b
2 13
+
= = + 
Ta có: ( )
2 2 2
2 a b a b
2a 3b 6. 6. 6 6
3 2 9 4
ổ ửổ ử+ = + Ê + =ỗ ữỗ ữố ứ ố ứ
Do đó: S 6Ê 
......................................................................................................... 
Dấu “=” xảy ra khi: a b
3 2
= ... 
............................................................................................................. 
Từ đó tìm được: a = 3 2
2
 và b = 2 KL: C 3 2 ; 2
2
ổ ử
ỗ ữỗ ữ
ố ứ
( vì C có hoành độ và tung độ đều dương) 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
 2 Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi 
 đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). 
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HA HI³ => HI lớn nhất 
khi IA º 
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp 
tuyến. 
............................................................................................................... 
)31;;21( tttHdH ++ịẻ vì H là hình chiếu của A trên d nên 
)3;1;2((0. ==ị^ uuAHdAH là véc tơ chỉ phương của d) 
------------------------------------------------------------------------------------ 
)5;1;7()4;1;3( --ịị AHH 
 ----------------------------------------------------------------------------------- 
Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 
ú 7x + y -5z -77 = 0 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
.............................................................................................................. 
VIIb 
 Biến đổi pt về dạng: 
x x
x
2 4 2
2 12 8
+ =
+
Đặt t = x2 ( t > 0) Suy ra t = 4 
Kết luận nghiệm của pt đã cho là: x = 2 
0.25 
0. 5 
0.25 
THE END
22 10; ;3
7 7
C ổ ử-ỗ ữ
ố ứ
696
7