Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 83

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT TỨ KỲ 
***** 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 –  NGÀY 10 ­ 4 NĂM 2011 
Môn TOÁN – Khối A, B, D 
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số  3 2  1 y x mx m = - + +  (1) với  m  là tham số thực 
1)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi  3 m =  . 
2)  Tìm các giá trị của tham số  m  để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ  1 x =  tiếp xúc với đường 
tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 2 10 K x y + + + = 
Câu 2 (2 điểm): 1) Giải phương trình lượng giác sau: 
sin cos 
cos2 sin 2 cos 0 
1 cot 
x x 
x x x 
x 
- 
+ - = 
- 
( ) xÎ ¡ 
2) Giải hệ phương trình: 
( ) 
2 2 
1 3 3 1 
3 4 4 2 
x x x y x x y y 
xy x y x 
ì - + - + = + - ï 
í 
ï + = + + î 
( ) , x yΡ 
Câu 3 (1 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị sau:  sin 2 , cos , 0, 
2 
y x y x x x p = = = = 
Câu 4 (1 điểm): Cho hình chóp  . S ABCD  có đáy  ABCD  là hình thoi cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh  S  trên ( ) ABCD 
là trung điểm H của AB, đường trung tuyến  AM của  ACD D  có độ dài 
3
2 
a 
, góc giữa ( ) và SCD ( ) ABCD  bằng  0 30  . Tính thể 
tích khối chóp  . S ABCD  và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  . S ABC . 
Câu 5 (1 điểm ): Cho ba số thực dương  , , a b c . Chứng minh rằng: ( ) 3 3 3  3 3 3 1 1 1 3 2 
a b b c c a 
a b c 
a b c c a b 
+ + + æ ö æ ö + + + + ³ + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần A hoặc B) 
Phần A: 
Câu 6a (2 điểm): 
1)  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy  cho  hình  vuông  ABCD  có ( ) 2;6 A -  ,  đỉnh  B  thuộc  đường  thẳng 
: 2 6 0 d x y - + =  . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC, CD sao cho  BM CN =  . Biết  AM cắt BN tại 
2 14 
;
5 5 
I æ ö ç ÷ 
è ø 
. Xác 
định tọa độ đỉnh C. 
2)  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz  cho  đường  thẳng 
3 2 1 
: 
2 1 1 
x y z 
d 
- + + 
= = 
- 
và  mặt  phẳng 
( ) : 2 0 P x y z + + + =  . Lập phương trình đường thẳng D  nằm trong mặt phẳng ( ) P  , cắt d và tạo với  d góc lớn nhất. 
Câu 7a (1 điểm): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy  tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ( ) ' 1 3 2 z i z = + +  trong đó  z  là số 
phức thỏa mãn  1 2 z - =  . 
Phần B: 
Câu 6b (2 điểm): 
1)  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  cao  xuất  phát  từ  A  là 
1 : 2 3 0 d x y - + =  , phương trình đường phân giác trong góc C là  2  : 1 0 d x y + + =  . Biết ( ) 2;3 H  là chân đường cao xuất phát từ 
đỉnh B. Tìm tọa độ A, B, C. 
2)  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz  cho  mặt  cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 3 16 S x y z - + - + - =  và  đường  thẳng 
3 2 
: 
2 1 2 
x y z 
d 
- - 
= = 
- 
. Lập phương trình mặt phẳng ( ) P  chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính nhỏ 
nhất. 
Câu 7b (1 điểm): Tìm hệ số của số hạng chứa  4 x  trong khai triển nhị thức Niu tơn của biểu thức ( ) 2 1  n x x + +  biết  n  là số tự 
nhiên thỏa mãn ( ) ( ) 
2 
3 3  log 5 log 5 15 2 2 5 15 4 5 15 
n n 
n n n n 
- - 
- - + = - -  . 
­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­ 
Họ và tên thí sinh:phongnt1977@gmail.com sent to www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM 
Câu  Đáp án  Điểm 
1) (1 điểm). Khảo sát hàm số  3 2 3 4 y x x = - + 
* Tập xác định: D = ¡ 
2  0 ' 3 6 0 
2 
x 
y x x 
x 
= é 
= - = Û ê = ë 
0,25 
* Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ) ( ) ;0 và 2; -¥ +¥  ; nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2 
* Điểm cực đại ( ) 0; 4  , cực tiểu ( ) 2;0 
0,25 
* Bảng biến thiên: 
x -¥  0  2 +¥ 
' y  –  0  –  0  – 
y  4 +¥ 
-¥  0 
0,25 
* Đồ thị:  Điểm uốn ( ) 1;2 I 
­3  ­2  ­1  1  2  3 
­1 
1 
2 
3 
4 
5 
x 
y 
0,25 
2) (1 điểm) Tìm  m  để.... 
Tiếp điểm là ( ) 1;2 M  . Tiếp tuyến của đồ thị  (1)  tại M  có phương trình 
( )( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 2 2 1 0 y m x m x y m = - - + Û - - + - = D 
Đường tròn ( ) K  có tâm ( ) 1; 2 I - -  , bán kính  10 R =  . 
0,5 
1 
(2điểm) 
D  tiếp xúc với đường tròn ( ) K ( ) 
( ) 2 
4 
4 2 
, 10 10  3 
3 2 1  3 
m  m 
d I 
m  m 
é - = ê Û D = Û = Û 
ê - + = ê ë 
0,5 
1) (1 điểm). Giải phương trình lượng giác... 
ĐK:  sin 0 và cot 1 x x ¹ ¹ 
( ) 2 
sin cos 
PT cos 2 sin 2 cos 0 cos 2 sin 2 cos sin 0 
sin cos 
sin 
cos 2 0 
cos 2 2sin cos sin 0 cos 2 1 sin 0 
sin 1 
x x 
x x x x x x x 
x x 
x 
x 
x x x x x x 
x 
- 
Û + - = Û + - = 
- 
= é 
Û + - = Û + = Û ê = - ë 
0,5 
*  cos 2 0 , 
4 2 
x x k k 
p p 
= Û = + Î ¢  *  sin 1 2 , 
2 
x x k k 
p 
p = - Û = - + Î ¢  0,25 
Đối chiếu với điều kiện loại được nghiệm rồi KL:  2 , và , 
2 4 
x k k x m m 
p p 
p p = - + Î = - + Î ¢ ¢  0,25 
2 
(2điểm) 
2) (1 điểm). Giải  hệ phương trình ...
Điều kiện:  1, 1 x y ³ ³ 
PT thứ  nhất ( )( ) 1 1 3 0 x y x x y Û - - - + + - = 
Nếu  1 x y > ³  thì VT  0 >  , nếu 1  x y £ <  thì VT  0 <  x y Þ = 
0,5 
Thay  y x =  vào PT thứ hai ta được PT  3 2 
4 
3 4 3 4 0 1 1 
3 
x x x x x x - - + = Û = Ú = - Ú = 
Đối chiếu với điều kiện ta được các nghiệm của PT là: 
4 
1, 
3 
x y x y = = = = 
0,5 
Tính diện tích...... 
PT  sin 2 cos , 0; 
2 
x x x 
p æ ö = Î ç ÷ 
è ø 
có nghiệm duy nhất 
6 
x 
p 
=  0,25 
Hình phẳng đã cho có diện tích 
6 2 2 
0 0 
6 
sin 2 cos sin 2 cos sin 2 cos S x x dx x x dx x x dx 
p p p 
p 
= - = - + - ò ò ò  0,25 
3 
(1điểm) 
( ) ( ) 
6  2  6 2 
0  0 
6 6 
1 1 1 
sin 2 cos sin 2 cos cos 2 sin cos 2 sin 
2 2 2 
S x x dx x x dx x x x x 
p p p p 
p p 
æ ö æ ö = - + - = - - + - - = ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø ò ò 
(đvdt)  0, 5 
Cho hình chóp.... 
a) Thể tích khối chóp  . S ABCD . 
Ta có:  · ·  0 1 cos ... 60 
2 
ADC ADC ADC = = Þ = Þ D  đều. 
3
2 
a 
HC AM = =  và ( ) HC CD CD SHC ^ Þ ^ Þ góc 
giữa ( ) SCD  và ( ) ABCD  là  ·  0 30 SCH = 
a  3 
2 
a 
a 
a 
30 0 
G  M 
H 
C 
A  D 
B 
S 
0,25 
0 tan 30 . 
2 
a 
SH HC Þ = =  , 
2 3 3 1 3 
. . 
2 3 12 ABCD SABCD ABCD 
a a 
S ABCH V S SH = = Þ = =  0,25 
4 
(1điểm) 
b) Gọi G  là trọng tâm tam giác  ABC . Ta có 
3 
a 
GA GB GC = = =  . Do 
2 
a 
HS HA HB = = =  nên các tam giác 
, , GHA GHB GHS  là các tam giác vuông bằng nhau  GA GB GS Þ = =  . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
SABC  có tâm G  bán kính 
3 
a 
GC =  . 
0, 5 
Chứng minh bất đẳng thức..... 
BĐT 
3 3 3 3 3 3 
3 3 3 3 3 3 
3 
3 
2 
b c a c b a b c c a b a 
a a b b c c a a b b c c 
æ ö Û + + + + + + ³ + + + + + ç ÷ 
è ø 
3 3 3 3 3 3 
3 3 3 3 3 3 
6 2 3 
b c a c b a b c c a b a 
a a b b c c a a b b c c 
æ ö æ ö Û + + + + + + ³ + + + + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
0,25 
Theo bđt Côsi (AM – GM) cho 2 và 3 số dương ta có: 
3 3 3 
3 3 3 
3 3 3 3 3 3 
3 3 3 3 3 3 
3 3 3 
3 3 3 
1 1 3 1 1 3 1 1 3 
2 2 2 
1 1 3 1 1 3 1 1 3 
b b c c a a 
a b c a b c 
b a c b a c 
a b b c c a 
a a b b c c 
b c a b c a 
+ + ³ + + ³ + + ³ 
+ ³ + ³ + ³ 
+ + ³ + + ³ + + ³ 
0,5 
5 
(1điểm) 
Cộng theo vế 6 bđt trên ta được 
3 3 3 3 3 3 
3 3 3 3 3 3 
12 2 3 6 
b c a c b a b c c a b a 
a a b b c c a a b b c c 
æ ö æ ö + + + + + + ³ + + + + + + Þ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
đpcm  0,25 
1) (1 điểm)Tìm tọa độ các đỉnh C... 6a 
(2điểm) 
( ) : 2 6 0 2 6 2 6; B d x y x y B y y Î - + = Þ = - Þ -  0,25
. 0 vAMB vBNC IA IB IA IB D = D Þ ^ Û = 
uur uur 
12 16 32 14 
; , 2 ; 
5 5 5 5 
IA IB y y æ ö æ ö = - = - - ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
uur uur 
( ) 32 14 . 0 12 2 16 0 4 2; 4 
5 5 
IA IB y y y B æ ö æ ö Þ = Û - - + - = Û = Þ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
uur uur 
0,25 
( ) 4; 2 AB = - 
uuur 
là vtpt của  đt BC ( ) pt  : 2 0 ;2 BC x y C c c Þ - = Þ  . 
( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) 
( ) 
2 2 2 2  0;0 0 
2 5, 2 2 4 . Ta có pt: 2 2 4 2 5 2 2 
4  4;8 
C c 
AB BC c c c c c 
c  C 
é = é 
= = - + - - + - = Û - = Û Þ ê ê = ë ê ë 
0,25 
Do I nằm trong hình vuông nên I, C cùng phía đối với đường thẳng AB ( ) 4;8 C Þ  bị loại.  KL: ( ) 0;0 C  0,25 
2) (1 điểm) Lập phương trình đường thẳng.... 
Gọi ( ) I d P = Ç Þ  Tọa độ I là nghiệm hệ ( ) 
1 3 2 1 
3 1; 3;0 2 1 1 
2 0  0 
x x y z 
y I 
x y z  z 
= ì - + + ì = = ï ï Û = - Þ - - í í 
ï ï + + + = = î î 
. D  cắt d nên đi qua I  0,25 
( ) · , d D  lớn nhất ( ) ·  0 , 90 d d Û D = Û D ^  0,25 
d có vtcp ( ) 1  2;1; 1 u = - 
r 
, ( ) P  có vtpt ( ) 1;1;1 n = r  . Gọi  2 u 
r 
là vtcp của D , ta có 
( ) 
1 2
2 
d  u u 
P  n u 
^ D ^ ì ì ï Þ Þ í í É D ^ ï î î 
r r 
r r  chọn 
( ) 2 1  2; 3;1 u u n = Ù = - 
r r r 
0,25 
2 
1 3 
qua , vtcp nên có pt : 
2 3 1 
x y z 
I u 
- + 
D = = 
- 
r 
0,25 
Tìm tập hợp điểm 
( ) ( ) 
' 1 3 ' 2 1 3 
' 1 3 2 
4 2 1 3 
z i z i 
z i z z 
i 
- - - 
= + + Þ = = - 
+ 
0,25 
( ) ( ) 
' 1 3  1 3 
1 2 1 2 ' 1 3 6 2 3 8 
4 2 
z i  i 
z z i i 
- - 
Þ - = Û - - = Û - - + =  0,25 
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , 1 3 6 2 3 8 3 6 2 3 3 8 z x yi x y x yi i i x y y x i = + Î Þ + - - + = Û + - + + - = ¡ 
( ) ( ) 2 2 3 6 2 3 3 8 x y y x Û + - + + - = 
0,25 
7a 
(1điểm) 
( ) ( ) 2 2 3 3 16 x y Û - + - =  . Vậy  tập hợp các điểm trên mp  Oxy  biểu diễn cho các số phức z  thỏa mãn bài 
toán là đường tròn tâm ( ) 3; 3 , bán kính 4 I R = 
0,25 
1) (1 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh  , , A B C . 
Gọi  ' H  là điểm đối xứng với ( ) 2;3 H  qua  2 d  ' H BC Þ Î  . Đường thẳng  ' HH  qua  2 , H d ^  , pt: 
2 
3 
x t 
y t 
= + ì 
í = + î 
. 
Gọi ( ) ( ) 2 ' 1;0 ' 4; 3 I HH d I H = Ç Þ - Þ - - 
0,25 
Đường thẳng BC qua  1 ', pt : 2 10 0 H d x y ^ Þ + + =  . ( ) 2  8; 9 C BC d C = Ç Þ -  0,25 
( ) 6;12 CH = - 
uuur 
là vtcp của đường thẳng  AC  nên pt AC là: ( ) 1 2 7 0. 1;5 x y A d AC A + - = = Ç Þ  0,25 
Đường cao 
3 
qua , pt : 2 4 0. 7; 
2 
BH H AC x y B BH BC B æ ö ^ Þ - + = = Ç Þ - - ç ÷ 
è ø 
0,25 
2) (1 điểm). Lập phương trình mặt phẳng. 
Mặt cầu ( ) ( ) có tâm 1;2;3 , bán kính 4 S I R =  . Đường thẳng ( ) ( ) qua 3;0; 2 có vtcp 2;1; 2 d A u = - r 
Có ( )  65 , 
3 
IA u 
d I d R d 
u 
Ù 
= = < Þ 
uur r 
r  cắt ( ) S  . (Hoặc kiểm tra  IA R <  cũng được) 
0,25 
Gọi ( ) P  là mặt phẳng qua  d . Khi đó ( ) P  cắt ( ) S  theo 1 đường tròn tâm K bán kính r, với K là hình chiếu của 
I trên ( ) P  . Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có  IHK D  vuông tại K  IK IH Þ £  . Do  2 2 r R IK = - 
2 2 R IH ³ - Þ Đường tròn có bán kính nhỏ nhất Û ( ) P  chứa d và vuông góc IH. 
0,25 
6b 
(2điểm) 
Gọi ( ) a  là mặt phẳng qua  , I d ^  thì ( )  d H a Ç =  . Phương trình ( )  19 4 26 : 2 2 2 0 ; ; 
9 9 9 
x y z H a æ ö + - + = Þ - ç ÷ 
è ø 
0,25
( ) 10 22 1 ; ; pt :10 22 28 0 
9 9 9 
IH P x y z 
- æ ö Þ = - Þ - - - = ç ÷ 
è ø 
uuur 
0,25 
Tìm hệ số của số hạng chứa  4 x   
Pt ( ) ( ) 
2 
3 3  log 5 log 5 15 2 2 5 15 4 5 15 ... 8 
n n 
n n n n n 
- - 
- - + = - - Û Û =  0,5 
( ) ( ) 
8 8 8 2 2 
8 
0 0 0 
1 
k k k k i k i 
n k 
k k i 
x x C x x C C x + 
= = = 
+ + = + = å åå  . Số hạng chứa  4 x  thỏa mãn  4, 0 4 k i i k + = £ £ £  0,25 
Câu 7b 
(1điểm) 
( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 0;4 , 1;3 , 2;2 i k Þ = Þ  Hệ số của  4 x  là:  4 0 3 1 2 2 8 4 8 3 8 2 . . . 266 C C C C C C + + =  0,25