Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 84

Tr­êng THPT kim thµnh ii 
®Ò chÝnh thøc 
§Ò thi thö ®¹i häc n¨m 2011 lÇn iI 
Môn : Toán, khối A,B 
(Thời gian 180 không kể phát đề) 
Câu I: Cho hàm số 
2 1 
1 
x 
y 
x 
- 
= 
- 
có đồ thị (C) 
1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2.  Tìm m, n để đường thẳng (d) có phương trình y=mx+n cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B đối 
xứng với nhau qua đường thẳng  (d1): x+3y­7=0. 
Câu II: 
1.  Giải phương trình: 
4 4 2 
2 2 sin os sin 2 1 os2 cot 2 cos 2 cot 2 
1 os2 2 
x c x x c x 
x x x 
c x 
+ + + 
- = + 
- 
2.  Giải phương trình: ( ) 3 2 2 8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x - + + + - - + = 
Câu III: Tính 
2 
0 
1 
cos 
2 3sin 1 
I x x dx 
x 
p 
æ ö 
= + ç ÷ + + è ø ò 
Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. Có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 0 . 
Góc giữa  mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 30 0 . Tính thể  tích khối  lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và 
khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD). 
Câu  V:  Cho  a,  b,  c  là  ba  số  dương  thỏa  mãn 
1 
2 
a b c + + =  .  Tính  giá  trị  lớn  nhất  của  biểu  thức: 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
a b b c b c a c a c a b 
P 
a b b c a c b c a c a b a c a b b c 
+ + + + + + 
= + + 
+ + + + + + + + + + + + 
PHẦN RIÊNG  (3 điểm) 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VIa: 
1.  Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương 
trình 3x­y=0, đường thẳng BD có phương trình x­2y=0, góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB 
bằng 45 0 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có 
hoành độ dương. 
2.  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):  2 2 2  4 2 6 11 0 x y z x y z + + - + - - =  , mặt 
phẳng (P): 2x+3y­2z+1=0 và đường thẳng d: 
1 1 
2 
3 5 
x z 
y 
- + 
= - =  . Viết phương trình mặt phẳng 
(Q) biết (Q) vuông góc với (P), song song với d và tiếp xúc với (S). 
Câu VIIa: Cho phương trình:  3 2 5 16 30 0 z z z - + - =  (1), gọi z1, z2, z3  lần lượt là 3 nghiệm của phương 
trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A=  2 2 2 1 2 3 z z z + +  . 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VIb: 
1.  Trong mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ Oxy  cho  đường  tròn  (C):  2 2  2 4 4 0 x y x y + - + - =  và  đường 
thẳng d có phương trình x+y+m=0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà 
từ đó kể được hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam 
giác ABC vuông. 
2.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz  cho  điểm A(10;  2;  ­1)  và  đường  thẳng  d  có  phương 
trình: 
1 1 
2 1 3 
x y z - - 
= =  . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng 
cách từ d tới (P) lớn nhất . 
Câu  VIIb:  Tìm  giá  trị  lớn  nhất  của  tham  số  m  sao  cho  bất  phương  trình: 
( ) ( ) 2 2 5 5 1 log 1 log 4 x mx x m + + ³ + +  được nghiệm đúng với mọi xÎR. 
 .H ết ....... 
Họ v  tên.................................... SBD................... 
Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm . 
www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II 
Câu  Đáp án  Điểm 
I 
1) Txd: D=R\{1} 
2 1 
lim 2 
1 x 
x 
x ®±¥ 
- 
= 
- 
=>y=2 là đường tiệm cận ngang. 
1 1 
2 1 2 1 
lim ; lim 
1 1 x x 
x x 
x x + - ® ® 
- - 
= +¥ = -¥ 
- - 
=>x=1 là đường tiệm cận đứng 
( ) 2 
1 
' 0 
1 
y 
x 
= - < 
- 
với mọi x  D Π
Bảng biến thiên: 
x  ­¥  1                       +¥ 
y'  ­  ­ 
y 
2                            +¥ 
­¥  2 
Hàm số nghịch biến trên khoảng:(­¥ ;1) và (1;+¥ ) 
Hàm số không tồn tại cực trị 
Khi x=0 =>y=1; x=­1=>y=3/2 
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) là tâm đối xứng 
2)  phương trình đường thẳng d1: 
1 7 
3 3 
y x = - + 
Vì A, B đối xứng qua d1=> m=3 (do khi đó d^ d1) 
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x+n 
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 
2 1 
3 
1 
x 
x n 
x 
- 
= + 
- 
điều kiện x¹ 1 
( ) 2 3 5 1 0 x n x n Û + - - + =  (1) 
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ta có điều kiện 
( ) ( ) 2 5 12 1 0 
3 5 1 0 
n n 
n n 
ìD = - - - > ï 
í 
+ - - - ¹ ï î 
đúng với mọi n 
Gọi tọa độ đỉnh A(xA;3xA+n), B(xB;3xB+n)=> tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB 
là 
( ) 3
; 
2 2 
A B A B 
x x x x 
I n 
+ æ ö + 
+ ç ÷ 
è ø 
, theo định li viet ta có: 
5 
3 A B 
n 
x x 
- 
+ =  tọa độ điểm 
5 5
; 
6 2 
n n 
I 
- + æ ö 
ç ÷ 
è ø 
, vì A, B đối xứng qua d1 => IÎd1=>n=­1 
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x­1 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
II  1) Giải phương trình:
4 4 2 
2 2 sin os sin 2 1 os2 cot 2 os2 cot 2 
1 os2 2 
x c x x c x 
xc x x 
c x 
+ + + 
- = + 
- 
(1) 
Điều kiện:  sin 2 0 ,
2 
x x k k Z p ¹ Û ¹ Π
(1)Û 
( ) ( ) 
2 
2 2 sin 2 1 cot 2 1 os2 0 
2 1 os2 2 
x 
x c x 
c x 
+ æ ö - + + = ç ÷ - è ø 
os4 1 c x Û = 
2 
x n p Û =  ,nÎZ(loại) 
Vậy phương trình vô nghiệm. 
2) Giải phương trình: 
( ) 3 2 2 8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x - + + + - - + =  (1) 
Đk:  2  5 5 0 x x - + ³ 
Từ (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 2 6 3 5 5 5 x x x x x x Þ - - - + - - + = 
( ) 
2 2 
3 
5 2 6 5 5 0(2) 
x loai 
x x x x 
é = 
Û ê 
ê - - + - + = ë 
Giải (2): đặt  2  5 5 x x - +  =t, điều kiện t³0 
( ) 
( )
( ) 
2 
1 
2 6 7 0 
7 
t tm 
t t 
t loai 
= é 
Û + - = Û ê 
= - ê ë 
Với t=1=>  2  5 5 x x - +  =1 ( ) 
1 
4 
x 
tm 
x 
= é 
ê = ë 
Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=4 
0,25 đ 
0,5 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
III 
Tính : 
2 2 2 
0 0 0 
1 cos 
cos cos 
2 3sin 1 2 3sin 1 
x 
I x x dx dx x xdx 
x x 
p p p 
æ ö = + = + ç ÷ + + + + è ø ò ò ò 
2 
1 
0 
cos 2 3 
1 2 ln 
3 4 2 3sin 1 
x 
I dx 
x 
p 
æ ö = = + ç ÷ + + è ø ò 
2 2 
2 
2  0 
0 0 
cos sin sin x 1 
2 
I x xdx x x dx 
p p 
p p 
= = - = - ò ò 
1 2 
4 3 1 
ln 
3 4 2 3 
I I I p = + = + - 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
IV 
Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu của B 
xuống B’I, vì A=60 0 => DABD đều cạnh a. 
( ) ' 
' 
BI AD 
BIB AD 
BB AD 
^ ü 
Þ ^ ý ^ þ 
=>B’IB=30 0 
Mà 
3
2 
a 
BI = 
=>  0 ' . tan 30 
2 
a 
BB BI = = 
Diện tích đáy ABCD là: 
0,25 đ 
0,25 đ 
I 
B 
A 
B' 
A' 
D 
D' 
C 
C' 
K
( ) 
2  3 
2 d 
2 ABCD ABD 
a 
S S dv t = = 
Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là 
( ) 
3  3 
'. 
4 ABCD 
a 
V BB S dvtt = = 
Do  BC//AD=>BC//(B’AD)=>  khoảng  cách  từ  BC  tới  mặt  phẳng  (B’AD)  bằng 
khoảng cách từ B tới (B’AD). 
Vì ( ) 
' 
' 
BK B I 
BK B AD 
BK AD 
^ ü 
Þ ^ ý ^ þ 
Xét DB’BI vuông tại B ta có 
2 2 2 
1 1 1 3 
' 4 
a 
BK 
BK BI BB 
= + Þ = 
Vậy khoảng cách từ đường thẳng BC tới (B’AD) bằng 
3
4 
a 
. 
0,25 đ 
0,25 đ 
V 
Đặt a+b=x; b+c=y; a+c=z=>x+y+z=2(a+b+c)=1 
xy yz zx 
P 
xy z yz x zx y 
=> = + + 
+ + + 
Ta có 
( ) ( ) ( ) 
xy xy xy 
xy z xy z x y z x z y z 
= = 
+ + + + + + 
1 
. 
2 
xy x y x y 
xy z x z y z x z y z 
æ ö 
Þ = £ + ç ÷ + + + + + è ø 
(1) 
Chứng minh tương tự 
1 
. 
2 
yz y z y z 
yz x y x z x y x z x 
æ ö 
= £ + ç ÷ + + + + + è ø 
(2) 
1 
. 
2 
zx z x z x 
zx y z y x y z y x y 
æ ö 
= £ + ç ÷ + + + + + è ø 
(3) 
Lấy (1)+(2)+(3) ta được: 
3 
2 
P £  => PMax= 
3 
2 
khi a=b=c= 
1 
6 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
Phần riêng 
A. Theo chương trình chuẩn 
VI.a 
1) tọa độ điểm D là: 
3 0 0 
2 0 0 
x y x 
x y y 
- = = ì ì 
Û í í - = = î î 
=> D(0;0)ºO 
Vecto pháp tuyến của đường thẳng 
AD và BD lần lượt là ( ) ( ) 1 2 3; 1 , 1; 2 n n - - 
ur uur 
=> ( )  0 1 os 45 
2 
c ADB ADB = Þ = 
=> AD=AB (1) 
Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 
45 0 => BCD=45 0 
=> DBCD vuông cân tại B=>DC=2AB 
Theo bài ra ta có: 
( ) 
2 1 3. 
24 
2 2 ABCD 
AB 
S AB CD AD = + = = 
=>AB=4=>BD=4 2 
Gọi tọa độ điểm  ; 
2 
B 
B 
x 
B x æ ö ç ÷ 
è ø 
, điều kiện xB>0 
0,25 đ 
0,25 đ 
B 
D 
C 
A
=> 
2 
2 
8 10 
( ) 
5 4 2 
2  8 10 
( ) 
5 
B 
B 
B 
B 
x loai 
x 
BD x 
x tm 
é 
= - ê æ ö ê = + = Û ç ÷ ê è ø 
= ê 
ë 
uuur 
Tọa độ điểm 
8 10 4 10 
; 
5 5 
B 
æ ö 
ç ÷ ç ÷ 
è ø 
Vecto pháp tuyến của BC là ( ) 2;1 BC n = 
uuur 
=> phương trình đường thẳng BC là:  2 4 10 0 x y + - = 
2)  Mặt cầu (S) có tâm I(2; ­1; 3) bán kính R=5 
Vectơ pháp tuyến của (P): ( ) ( ) 2;3; 2 P n = - 
uuur 
Vectơ chỉ phương của d: ( ) 3;1;5 u 
r 
Vectơ pháp tuyến của (Q): ( ) ( ) ( ) 17; 16; 7 Q P n n u = Ù = - - 
uuur uuur r 
vì (Q)^ (P); (Q)//d 
Gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 17x­16y­7z+D=0 
Theo bài ra ta có: ( ) ( ) 
2 2 2 
15 66 29 34 16 21 
; 5 
17 16 7  15 66 29 
D D 
d I Q 
D 
é = - + - + 
= = Û ê 
+ + = - - ê ë 
Phương trình mặt phẳng (Q): 
17 16 7 15 66 29 0 x y z - - + - =  hoặc 17 16 7 15 66 29 0 x y z - - - - = 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,5 đ 
VII.a 
3 2 5 16 30 0 z z z - + - = 
có 3 nghiệm là:  1 2 3 3; 1 3 ; 1 3 z z i z i = = + = + 
=>  2 2 2 1 2 3  7 A z z = + + = - 
0,5 đ 
0,5 đ 
B. Theo trương trình nâng cao 
VI.b 
1)  Phương  trình đường  tròn  có  tâm  I(1;­2) bán  kính R=3,  từ A  kể  được  hai  tiếp 
tuyến AB, AC tới đường tròn và AB^AC 
=>  tứ giác ABIC  là  hình vuông cạnh bằng 3=>IA=3 2 . Để điểm A duy  nhất => 
đường thẳng IA vuông góc với d ta có: ( ) 
5 1 
; 3 2 
7 2 
m m 
d I d 
m 
= - - é 
= = Û ê = ë 
2) Gọi  H  là  hình  chiếu  của  A  trên  d, mặt  phẳng  (P)  đi  qua  A  và  (P)//d,  khi  đó 
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). 
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH³HI=> HI lớn nhất khi A º I 
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận  AH 
uuur 
là vecto pháp tuyến 
( ) 1 2 ; ;1 3 H d H t t t Î Þ + +  vì H là hình chiếu của A trên d nên 
Vecto chỉ phương của d là: ( ) 2;1;3 u = 
r 
( ) ( ) 0 4;1;4 7; 1;5 AH d AHu H AH ^ Þ = Þ Þ - - 
uuurr uuur 
Phương trình mặt phẳng (P):7x+y­5z­77=0 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
VII.b 
Điều kiện:  2  4 0 mx x m + + >  đúng với  x R " Π
2 
0 
2 
4 0 
m 
m 
m 
> ì 
Û Û > í 
D = - < î 
(1) 
( ) ( ) 2 2 5 1 log 1 log 4 x mx x m + + ³ + + ( )  2 5 4 5 0 m x x m Û - - + - ³  đúng với  x R " Π
2 
5 5 0 
3 
0  10 21 0 
m m 
m 
m m 
 ì ì 
Û Û Û £ í í D £ - + - £ î î 
(2) 
Từ (1), (2)=> bất phương trình đúng với  x R " Π khi m=3 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
Thí sinh vẫn được điểm tối đa nếu làm đúng các bài trên theo cách khác.