Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 86

1 
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2011 
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG I  Môn: TOÁN; Khối A, B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát  đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: 
2x 1 
y 
x 1 
- 
= 
- 
1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2.  Tìm trên đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=­2x+4. 
Câu II (2,0 điểm) 
1.Giải phương trình  2 
1 2sin x x 
1 cos x 2sin tan x 
cos x 2 2 
- p æ ö + - = + ç ÷ 
è ø 
. 
2. Giải hệ phương trình : 
2 2 2 
xy y 2 2x 
2x y 4x y 3x 
+ - = ì 
í 
- + = î 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I= 
1 
0 
6 
9 3.6 2.4 
x 
x x x 
dx 
+ + ò  . 
Câu IV (1,0 điểm) 
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD  là hình thang cân đáy lớn 
AD=2a, AB=BC=CD=a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng  2 a  . Tính thể tích của khối chóp. 
Câu V: (1,0 điểm)  Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 1 1 
P 
a 3b b 3c c 3a 
= + + 
+ + + 
. 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A.  Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A và đường cao tương ứng 
đỉnh C có phương trình lần lượt là d1: x­y=0, d2: x+2y+3=0. Biết đỉnh B thuộc trục Oy và M(0;­1) là  điểm 
của thuộc đường thẳng AC. Tìm toạ độ ba đỉnh của tam giác. 
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(­2;0;0). Gọi H là trực 
tâm của tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OH. 
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn  điều kiện: 
(1 ) 
2 1 
1 
i z 
i 
+ 
+ = 
- 
. 
Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Cho (P) y 2 = x và đường thẳng (d): x – y – 2 = 0 cắt (P) tại hai điểm A và B.  Tìm điểm C thuộc cung AB 
sao cho DABC có diện tích lớn nhất 
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( )  0 5 2 : = + - +  z y x P  , đường thẳng d: 
3 2 
1 
3 
x t 
y t 
z t 
= - + ì 
ï = - + í 
ï = + î 
và điểm A( -2; 3; 4). Gọi D  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với đường thẳng d. Tìm trên 
D điểm M sao cho độ dài AM ngắn nhất. 
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z sao cho 
z i 
z i 
- 
+ 
có một acgumen bằng 
2 
p 
và  1 z z i + = -  . 
..Hết 
Họ và tên thí sinh...................................................................., Số báo danh.........www.laisac.page.tl
2 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
Câu 
­ý 
Nội dung  Điểm 
I.1  *Tập xác định : { } \ 1 D = ¡ 
Tính 
2 
1 
' 0 
( 1) 
y x D 
x 
- 
= < " Î 
- 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ( ;1) -¥  và  (1; ) +¥ 
*Hàm số không có cực trị 
Giới hạn 
1 + ® 
= +¥ 
x 
lim y 
1 - ® 
= -¥ 
x 
lim y 
2 
®+¥ 
= 
x 
lim y  2 
®-¥ 
= 
x 
lim y 
Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 
*Bảng biến thiên 
x -¥  1 +¥ 
y’  ­  ­ 
y
*Vẽ đồ thị 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
I.2 
*Xét đt dm vuông góc vơi d: y= 
1 
2 
x m +  . PT hoành độ giao điểm của dm với 
(C): 
2 1 1 
1 2 
x 
x m 
x 
- 
= + Û 
- ( ) ( ) 2 
1 
5 2 2 2 0 1 
¹ ì ï 
í - - + - = ï î 
x 
x m x m 
có 2 nghiệm phân biệt với mọi 
m.
*Gọi x1, x2  là các nghiệm của PT(1):  1 2  5 2 x x m Þ + = -  . Toạ độ giao điểm của dm với 
(C):  1 1 2 2 
1 1 
; , ; 
2 2 
A x x m B x x m æ ö æ ö + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
.Gọi I là trung điểm của AB thì 
5 2 5 2 
; 
2 4 
m m 
I 
- + æ ö 
ç ÷ 
è ø 
*A,B đối xứng nhau qua d 
3 
2 
I d m Û Î Þ = 
* Khi đó PT(1)  2 
1 2 
2 1 0 
1 2 
x 
x x 
x 
é = - 
- - = Û ê 
= + ê ë 
. 
Vậy 
4 2 4 2 
1 2; , 1 2; 
2 2 
A B 
æ ö æ ö - + 
- + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
là cặp điểm cần tìm. 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
II.1 
*ĐK:  osx 0 x 
2 
c k p p ¹ Û ¹ +  . 
*Phương trình đã cho tương đương với: ( ) 1 2sin x 1 cos x 1 cos x tan x 
cos x 
- 
+ - = + 
* ( )( ) osx+sinx sin 1 0 c x Û - = 
*  ox+sinx=0 x=­ 
4 
c k p p Û +  (thoả mãn đk) 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25
3 
s inx=1 x= 2 
2 
k p p Û +  (loại) 
KL: 
4 
x k p p = - + 
II.2 
*Xét x=0 không thoả mãn hệ PT. Xét  0 x ¹  hệ tương đương với 
2 
2 
2 
2 
2 3 
y 
y 
x x 
y 
y 
x x 
ìæ ö - + = ç ÷ ï è ø ï 
í 
æ ö æ ö ï - + = ç ÷ ç ÷ ï è ø è ø î 
*Đặt ẩn phụ 
2 
; 
y 
u y v 
x x 
= - =  , ta được hệ 
2 
2 
2 3 
u v 
u v 
+ = ì 
í 
+ = î 
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v)  là  (1;1) 
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (­1;­1)  và (2;2) 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
III 
* 
1 
2 
0 
3 
2 
3 3 
3 2 
2 2 
x 
x x 
dx 
I 
æ ö 
ç ÷ 
è ø = 
æ ö æ ö + + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
ò 
*Đăt 
3 
2 
x 
t æ ö = ç ÷ 
è ø 
. 
3 
2 
2 
1 
1 
ln 3 ln 2 3 2 
dt 
I 
t t 
= 
- + + ò 
* 
3  3 
2  2 
1 1 
1 1 1 1 1 
ln 
ln 3 ln 2 1 2 ln3 ln 2 2 
t 
dt 
t t t 
+ æ ö = - = ç ÷ - + + - + è ø ò 
* 
ln15 ln14 
ln 3 ln 2 
- 
= 
- 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
IV  *Vẽ hình 
Tính  2 
3 3
4 ABCD 
S a = 
*Gọi I là trung điểm của AD  IA IB IC ID a Þ = = = =  nên ABCD nội tiếp đường tròn 
đường kính AD  0 90 ACD Þ Ð = 
AC CD 
SA CD 
^ ü 
Þ Þ ý ^ þ 
( ) ( ) ( ) CD SAC SCD SAC ^ Þ ^ 
*Gọi H là hình chiếu của A trên SC thì ( ) ( ) ; 2 AH d A SCD a = = 
Tam giác SAC vuông tại A 
2 2 2 
1 1 1 
AC SA AH 
Þ + =  6 SA a Þ = 
*Vậy 
3 3 2 
4 ABCD 
a 
V = 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
V *Áp dông BÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d­¬ng ta chøng minh ®­îc: 
z y x 
9 
z 
1 
y 
1 
x 
1 
9 
xyz 
3 
xyz 3 
z 
1 
y 
1 
x 
1 
) z y x ( 
3 
3 
+ + 
³ + + Þ = ³ ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
+ + + + (*) 
*Áp dông BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d­¬ng ta cã 
0.25
4 
( ) 
( ) 
( ) 
+ + 
+ £ 
+ + 
+ £ 
+ + 
+ £ 
(a 3b) 4 a 3b 4 
2 
(b 3c) 4 b 3c 4 
2 
(c 3a) 4 c 3a 4 
2 
Suy ra + + + + + £ a 3b b 3c c 3a 6 
*Từ (*) suy ra 
1 1 1 9 9 3 
6 2 3 3 3 3 3 3 
P 
a b b c c a a b b c c a 
= + + ³ ³ = 
+ + + + + + + + 
*DÊu = x¶y ra + + = ì Û Û = = = í + = + = + = î 
a b c 3 
a b c 1 
a 3b b 3c c 3a 4 
VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 
3 
2 
khi  1 a b c = = = 
0.25 
0.25 
0.25 
VIa.1  *Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d1  thì M’=(­1;0) và M’ thuộc đường thẳng AB 
*Đường thẳng AB qua M’ và vuông góc với d2 có PT: 2x­y+2=0 
*  1  ( 2; 2) A d AB Ç Þ = = - -  ,  (0;2) B AB Oy = Ç = 
*Đường thẳng AC qua A,M có phương trình: x­2y­2=0 
2 
1 5 
;
2 4 
C AC d æ ö Þ = Ç = - - ç ÷ 
è ø 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
VIa.2 
*Ta có  ( ) 
AH BC 
BC AOH BC OH 
AO BC 
^ ü 
Þ ^ Þ ^ ý ^ þ 
. 
Tương tự  AB OH ^  Suy ra  ( ) OH ABC ^  . 
*Phương trình mp (ABC):  1 2 2 0 
2 1 2 
x y z 
x y z + + = Û + - - = 
- 
*mp(ABC) có vtpt ( ) 1;2 1 n = - 
r 
nên OH có vtcp  (1; 2; 1) u n = = - 
r r 
*Phương trình đường thẳng OH:  2 
x t 
y t 
x t 
= ì 
ï = í 
ï = - î 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
VIIa 
*Đăt  , ( ; ) z x yi x y R = + Π thì  (1 )  2 1 
1 
i z 
i 
+ 
+ = 
- 
( ) 2 1 y xi Û - + = 
* ( ) 2 2  2 1 x y Û + - =  (C) . 
*Gọi M(x;y) là điểm 
biểu diễn số phức z thì M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;2) bán kính r=1 v à  z OM = 
*Xét đường thẳng OI (x=0)  cắt (C) tại M1(0;1) và M2(0;3). 
OM nh ỏ nh ất khi M tr ùng v ới M1  z i Þ = 
OM l ớn nh ất khi M tr ùng v ới M2  3 z i Þ = 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25
5 
VIa.1 
+Tọa độ A;B là nghiệm hệ: 
2 
2 0 
y x 
x y 
ì = 
í 
- - = î 
A(1;­1); B(4;2) 
+C(yo 
2 ;yo)Î(P);   h=d(C;d)= 
2  2 
2 
o o y y - - 
+ 
1 3 
. 
2 2 ABC 
S h AB D = = 
2  2 o o y y - - 
+Xét hàm số f =  2  2 o o y y - -  Với  1 2 o y - £ £ 
Suy ra Max f = 9/4 Tại C(1/4;1/2) 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
VIa.2 *Gäi I lµ giao ®iÓm cña (d) vµ (P) ( ) 3 ; 1 ; 3 2 + - - Þ  t t t I 
Do ( ) ( ) 4 ; 0 ; 1 1 0 5 ) 3 ( ) 1 ( 2 3 2 - Þ = Û = + - - - + - Þ Î  I t t t t P I 
* (d) cã vect¬ chØ ph­¬ng lµ  ) 1 ; 1 ; 2 ( a , mp( P) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ ( ) 1 ; 2 ; 1 - n . Ta có 
( ) , 3;3;3 a n é ù = - ë û 
r r 
. 
*Gäi  u lµ vect¬ chØ ph­¬ng cña D ( ) 1 ; 1 ; 1 u - Þ  Phương trình đt 
1 
: 
4 
x u 
y u 
z u 
= - ì 
ï D = í 
ï = + î 
. 
*V× ( ) u 4 ; u ; u 1 M M + - - Þ D Î , ( ) u ; 3 u ; u 1 AM - - Þ 
AM ng¾n nhÊt D ^ Û AM 0 u . 1 ) 3 u ( 1 ) u 1 ( 1 0 u . AM u AM = + - + - - Û = Û ^ Û 
3 
4 
u = Û . VËy ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - 
3 
16 
;
3 
4
; 
3 
7 
M 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
VIIb 
*Đăt  , ( ; ) z x yi x y R = + Π . Khi đó Z0= 
( ) 
2 2 
2  2 2 2 
1 2 
( 1) 1 
z i x y x 
i 
z i x y x y 
- + - - 
= + 
+ + + + + 
*Z0 có một acgumen bằng 
2 2  1 0 
2  0 
x y 
x 
p ì + - = 
Þ í 
< î 
(1) 
*Lại có  1 z z i x y + = - Û =  (2) 
*Từ (1) v à (2) suy ra x=y= 
2 2 2 
2 2 2 
z i Þ = + 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
Lưu ý : Nếu thí sinh làm cách khác đúng thì giám khảo chấm theo các bước làm của cách đó .