Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 90

S Ở G D & Đ T QUẢ N G TRỊ 
T R ƯỜ N G T H P T L Ê L Ợ I 
ĐỀ T H I T H Ử Đ Ạ I HỌ C M Ô N TOÁ N K H Ố I A L Ầ N T H Ứ 1 
N Ă M HỌ C 2 0 1 0 – 2 0 1 1 
T h ờ i g i a n 1 8 0 phú t 
I . P H Ầ N C H U N G C H O T Ấ T CẢ CÁ C THÍ S I N H ( 7 đ i ể m ) 
Câu I. (2,0 điểm)  Cho hàm số 
1 
= 
- 
x 
y 
x 
có đồ thị (C) 
1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2.  Tìm các giá trị của m để đường thẳng = - + y x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 
góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng  0 60  (với O là gốc tọa độ). 
Câu II. (2,0 điểm) 
1.  Giải phương trình: 
( )  2 2 3 .cos 2sin 
2 4  1 
2cos 1 
p æ ö - - - ç ÷ 
è ø = 
- 
x 
x 
x 
. 
2.  Giải bất phương trình: ( )  2 2 2 . 1 4 x x x - - £ -  . 
Câu III. (1,0 điểm)  Tính tích phân 
7 
2 
1 
3 2 2 
+ 
= 
+ + - ò 
x 
I dx 
x x 
. 
Câu IV. (1,0 điểm) 
Cho  hình  lập  phương  / / / / . ABCD A B C D  có  cạnh  bằng  a.  M  là  điểm  thuộc  cạnh  CD  với 
( ) 0 = < < CM x x a  , N là trung điểm cạnh  / / A D  . Tính theo a thể tích của khối tứ diện  / / B MC N . Xác 
định x để hai đường thẳng  / B M và  / C N  vuông góc với nhau. 
Câu V. (1,0 điểm) 
Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm thực 
( ) 2 2 4 2 1 1 2 1 2 + - + = - + + - + m x x x x x x  . 
I I . P H Ầ N R I Ê N G ( 3 đ i ể m )  Chú ý . Thí s i n h chỉ đ ượ c c h ọ n m ộ t t r o n g h a i p h ầ n ( p h ầ n 1 h o ặ c p h ầ n 2 ) 
1. Theo chương trình Chuẩn. 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1.  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ( ) 1;2 M  là trung điểm cạnh BC còn hai cạnh AB và 
AC lần lượt có phương trình  2 2 0 - - = x y  và  4 1 0 + - = x y  . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đó. 
2.  Trong  không  gian  tọa  độ  Oxyz,  cho ( ) ( ) ( ) 2;1;0 , 0; 5;0 , 1; 2;6 A B C - -  và  mp(P):  4 0 + + - = x y z  . 
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm điểm I thuộc mp(P) sao cho + + 
uur uur uur 
IA IB IC  nhỏ nhất. 
Câu VII.a (1,0  điểm) 
Giải hệ phương trình sau trong tập hợp các số phức: 
2 3 1 
2 
ì - = - + ï ï í ï- + = + ï î 
x y i 
x iy i 
. 
2. Theo chương trình Nâng cao. 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1.  Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy  cho  đường  tròn ( )  2 2 : 2 + = C x y  .  Viết  phương  trình  tiếp  tuyến  của 
đường tròn (C) biết tiếp tuyến đó cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện 
tích nhỏ nhất. 
2.  Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt cầu (S): 
2 2 2  2 6 4 5 0 + + - + - + = x y z x y z  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2. 
Câu VII.b (1,0  điểm) 
Giải hệ phương trình 
2 2 ln 2 ln 6 ln 2 ln 6 ln ln 
3 2 5 
ì ï + + - + + = - ï í ï + = ï ï î 
x y 
x x y y x y 
với  , . Î ¡ x y
–––––––HẾT–––––––– 
Ghi chú. HS không được dùng tài liệu và Giám thị không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:Số báo danh: 
www.laisac.page.tl 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 
MÔN TOÁN KHỐI A LẦN THỨ NHẤT 
CÂU  Ý  ĐÁP ÁN  Điểm 
+ TXĐ: { } \ 1 ¡ 
+ Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
( ) 2 
1 
' 0, 1 
1 
y x 
x 
= - < " ¹ 
- 
, y’ không xác định tại  1 x =  . 
0,25 
–  Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 -¥  và ( ) 1;+¥  ,  hàm số không có cực trị. 
– Giới hạn và tiệm cận:  lim lim 1 
x x 
y y 
®-¥ ®+¥ 
= = Þ tiệm cận ngang  1 y =  . 
1 1 
lim ; lim 
x x 
y y 
+ - ® ® 
= +¥ = -¥ Þ tiệm cận đứng  1 x =  . 
0,25 
–  Bảng biến thiên: 
x  1 -¥ +¥ 
y'  || - - 
y  1 +¥ 
-¥  1 
0,25 1
(1,0 
điểm) 
+ Đồ thị: 
–  Đồ thị cắt Oy tại ( ) 0;0 O 
–  Đồ thị cắt Ox tại ( ) 0;0 O 
– Tâm đối xứng là điểm ( ) 1;1 I  . 
0,25 
+ PT hoành độ giao điểm  2 ( ) 0 
1 
x 
x m g x x mx m 
x 
= - + Û = - + = 
- 
(1) với  1 x ¹  .  0,25 
+ Đường thẳng  y x m = - +  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 
Û Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  1 x ¹ 
2  0 4 4 0 
0 4 (*) 
1 0 (1) 0 
hoaëc 
hoaëc 
m m m m 
m m 
g 
ì ì ïD = - > ï ï ï Û Û Û í í ï ï ¹ ¹ ï îï î 
. 
0,25 
I
(2,0 
điểm) 
2
(1,0 
điểm) 
+ Gọi  1 2 ; x x  là hai nghiệm của (1), ta có 
( ) ( ) 
1 2 
1 2 
1 2 
. 
0 
x x m 
x x m 
g x g x 
ì ï + = ï ï ï = í ï ï ï = = ï î 
(**) 
+ Các giao điểm là ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x x m B x x m - + - +  và 
( ) 
( ) 
1 1 
2 2 
; 
; 
OA x x m 
OB x x m 
ì ï = - + ï í ï = - + ï ï î
uuur 
uuur 
0,25
+ Khi đó ( ) ( )( ) 1 2 1 2 0 
2 2 2 2 
1 1 2 2 
cos60 cos , 
2 2 2 2 
x x x m x m 
OA OB 
x mx m x mx m 
+ - + - + 
= = 
- + - + 
uuur uuur 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
2 2 2 2 2 
1 2 
2 2  2 1 
2 2 2 2 . 2 2 2 . 2 
x x m x x m x x m x x m  m 
m m g x m m g x m m m m m m 
- + + - + + 
Û = = = 
- + - + - - - 
(do (**)) 
{ } 
2 
2 
2 4 
2;0;6 
2 4 
m m m 
m 
m m m 
é - = ê Û Û Î - ê - = - ê ë 
Kết hợp với (*) ta có  2 6 hoaëc m m = - =  . 
0,25 
+ ĐK: 
1 
cos 
2 
x ¹  0,25 
+ Ta có 
( ) ( ) ( ) 2 3 .cos 1 cos  2 3 .cos 1 sin 2 
1 1 
2cos 1 2cos 1 
PT 
x x  x x 
x x 
p é ù æ ö ÷ ç ê ú - - - - ÷ ç ÷ - - - ç ê ú è ø ë û Û = Û = 
- - 
0,25 
sin 3 cos 0 
tan 3 
, . 
3 
x x 
x 
x k k 
p 
p 
Þ - = 
Û = 
Û = + Î ¢ 
0,25 
1
(1,0 
điểm) 
+ Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là 
4 
2 , 
3 
x m m 
p 
p = + Î ¢  .  0,25 
ĐK:  2  1 0 1 1 hoaëc x x x - ³ Û £- ³ 
Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 . 1 2 . 2 (1) PT  x x x x Û - - £ - + 
0,25 
TH1. Xét  2 x =  , PT (1) thỏa mãn.  0,25 
TH2. Xét ( ] [ ) ; 1 1;2 x Î -¥ - È 
( ) 
2 
2 
2 2 
2 0 
1 0  5 
1 2 
2 0  4 
1 2 
(1) (thoûa ñieàu kieän ñang xeùt) 
x 
x 
x x x 
x 
x x 
éì + £ ï ï ê í êï - ³ ï îê Û - ³ + Û Û £- ê ì + > ï ê ï êí êï - ³ + ï î ë 
0,25 
II 
(2,0 
điểm) 
2
(1,0 
điểm) 
TH3. Xét ( ) 2; x Î +¥ 
( ) 2 2 2  5 1 2 1 2 
4 
(1)  x x x x x Û - £ + Û - £ + Û ³- 
So sánh điều kiện đang xét, nghiệm của (1) trong TH3 là  2 x >  . 
Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là [ ) 5 ; 2; 
4 
S 
æ ù ç ú = -¥ - È +¥ ç ç ú è û 
. 
0,25 
III 
(1,0 điểm) 
Tính 
7 
2 
1 
3 2 2 
+ 
= 
+ + - ò 
x 
I dx 
x x 
Đặt  2 2 2 t x x t = + Þ = -  và  2 dx tdt = 
0,25
Đổi cận: 
2 2 
7 3 
x t 
x t 
ì = Þ = ï ï í ï = Þ = ï î 
Ta có 
( ) ( ) 2 3 3 3 
2 
2 2 2 
1 .2  2 1  24 
2 6 
3 4 4 4 
t t  t t 
I dt dt t dt 
t t t t 
- æ ö + ÷ ç = = = - + ÷ ç ÷ ç è ø + - + + ò ò ò  0,25 
( ) 
3 
2 
2 
6 24ln 4 t t t = - + +  0,25 
7 
1 24ln 
6 
= - +  .  0,25 
H 
N 
D 
C 
A 
A' 
B'  C' 
D' 
B 
M 
* Tính thể tích tứ diện B’MC'N: ( ) ( ) ' ' . ' ' ' ' 
1 
. , ' ' ' ' 
3 B MC N M B C N B C N 
V V S d M A B C D D = =  0,25 
3 1 1 
. ' '. ' ' . ' 
3 2 6 
a 
A B B C AA 
æ ö ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø 
0,25 
* Tìm x để B’M ^ C’N 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (A’B’C’). 
Þ  B’H là hình chiếu vuông góc của B’M trên (A’B’C’). 
Vậy  ' ' ' ' B M C N B H C N ^ Û ^ 
0,25 
IV 
(1,0 điểm) 
· · ' ' ' ' 
' ' ' ' 
' ' 
.
2 
C B H D C N 
B C H C D N 
C H D N 
a 
x 
Û = 
Û D = D 
Û = 
Û = 
0,25 
+ ĐK:  1 x £ 
Phương trình tương đương ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 2 m x x x x x x + - + = - + + - +  (2)  0,25 
+ Đặt 
( )( ) 
2 2 
2 
2 2 2 2 
1 2 1 
1 0 . 
1 1 1 
t x x 
t x x 
t x x 
ì ï = + - ï ï = + - ³ Þ í ï £ + + - ï ï î 
Vậy 1 2 t £ £  0,25 
V 
(1,0 điểm) 
+ Ta có ( ) ( ) 
2  1 
2 
1 
t t 
f t m 
t 
+ + 
Û = = 
+ 
với  1; 2 t é ù Î ê ú ë û 
( ) 
2 
/  2  0, 1; 2 
1 
t t 
f t t 
t 
+ é ù Þ = > " Î ê ú ë û + 
nên ( ) f t  đồng biến trên  1; 2 é ù ê ú ë û . 
0,25
+ PT đã cho có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) 
1; 2  1; 2 
min max 1 2 f t m f t f m f 
é ù é ù 
ê ú ê ú ë û ë û 
Û £ £ Û £ £ 
3 
2 2 1 
2 
m Û £ £ -  . 
0,25 
N 
M 
A 
B  C 
+ Tọa độ của A là nghiệm của hệ 
1 
2 2 0  1 
; 1 2 
4 1 0  2 
1 
x y  x 
A 
x y 
y 
ì ï ì ï - - = æ ö = ï ï ï ÷ ç Û Þ - ÷ í í ç ÷ ç ï ï è ø + - = ï î ï = - ï î 
0,25 
+ Gọi N là trung điểm AC thì MN song song AB nên ( ) 2; 1 MN AB n n = = - 
uuur uuur 
Suy ra phương trình MN: ( ) ( )( ) 2 1 1 2 0 2 0 x y x y - + - - = Û - = 
Tọa độ của N là nghiệm của hệ 
1 
2 0  1 1 6  ; 
4 1 0 1  6 3 
3 
x x y 
N 
x y 
y 
ì ï ï = ï ì - = æ ö ï ï ï ï ÷ ç Û Þ ÷ í í ç ÷ ç ï ï è ø + - = ï î ï = ï ï ï î 
. 
0,25 
+ N là trung điểm AC suy ra 
1 
2 
1 5 6  ; 
5  6 3 
2 
3 
C N A 
C N A 
x x x 
C 
y y y 
ì ï ï = - = - ï æ ö ï ï ÷ ç Þ - ÷ í ç ÷ ç ï è ø ï = - = ï ï ï î 
.  0,25 
1
(1,0 
điểm) 
+ M là trung điểm BC suy ra 
13 
2 
13 7 6  ; 
7  6 3 
2 
3 
B M C 
B M C 
x x x 
B 
y y y 
ì ï ï = - = ï æ ö ï ï ÷ ç Þ ÷ í ç ÷ ç ï è ø ï = - = ï ï ï î 
.  0,25 
+ Trọng tâm G của tam giác ABC: ( ) 1; 2; 2 G -  0,25 
+ Ta có  3 IA IB IC IG + + = 
uur uur uur uur 
Suy ra  IA IB IC + + 
uur uur uur 
nhỏ nhất  3IG Û 
uur 
nhỏ nhất  IG Û  nhỏ nhất 
I Û  là hình chiếu vuông góc của G trên (P) 
0,25 
+ Đường thẳng d qua G, vuông góc với (P) có phương trình 
1 
2 
2 
x t 
y t 
z t 
ì = + ï ï ï ï = - + í ï ï = + ï ï î 
0,25 
VIa 
(2,0 
điểm) 
2
(1,0 
điểm) 
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ 
1 
2 
2 
1 
2 
3 
4 0 
x t 
x 
y t 
y 
z t 
z 
x y z 
ì = + ï ï ì = ï ï ï ï = - + ï ï ï Þ = - í í ï ï = + ï ï = ï ï ï îï + + - = ï î 
. Hay tọa độ M là ( ) 2; 1;3 -  .  0,25 
VIIa 
(1,0 điểm) 
+ Ta có 
( ) 
2 2 3 1 2 3 1 
3 2 3 3 2 2 2 4 2 
x iy i x y i x y i 
i y i x iy i x iy i 
ì ì ì - + = + ï - = - + - = - + ï ï ï ï ï Û Û í í í ï ï ï - + = + - + = + - + = + ï ï î î ï î 
0,25
( ) 2 
3 3 
3 2 
x iy i 
i 
y 
i 
ì ï = - + ï ï Û í + ï = ï ï - + ï î 
0,25 
( ) 
( )( ) 
2 
3 3 3 2 
9 4 
x iy i 
i i 
y 
ì ï = - + ï ï ï Û í + - - ï = ï ï + ï î 
0,25 
11 16 3 15 
13 13 13 13 
vaø x i y i Û = - - = - -  .  0,25 
+ 
( ) ( ) 
( ) 
0;0 
: 2 
Taâm : 
Baùn kính 
C O 
C R 
ì ï ï í ï = ï ï î 
. Gọi tọa độ ( ) ( ) ;0 , 0; A a B b  với  0, 0 a b > >  0,25 
+ Phương trình AB:  1 1 0 
x y x y 
a b a b 
+ = Û + - = 
AB tiếp xúc (C) ( ) 
2 2 
2 2 
1 
, 2 2 2 
1 1 
ab 
d O AB 
a b 
a b 
Û = Û = Û = 
+ + 
(***)  0,25 
2 2 2 2 
2 2 2  2a  OAB 
a b a b 
S 
a b b D 
Þ = £ = 
+ 
OAB S D Þ  nhỏ nhất khi a b =  . 
0,25 
1
(1,0 
điểm) 
Từ  a b =  và (***) suy ra  2 a b = =  . 
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là  1 0 
2 2 
x y 
+ - =  .  0,25 
+ Phương trình (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2  2 1 3 2 3 x y z - + + + - = 
( ) ( ) 
( ) 
1; 3;2 
: 3 
Taâm : 
Baùn kính S 
S I 
R 
ì ï - ï Þ í ï = ï î 
0,25 
+ (P) chứa Oy nên phương trình có dạng  0 Ax Cz + =  với ( ) 2 2  0 A C + ¹ 
(P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=2 ( )  2 2 , ( ) 5 d I P R r Þ = - = 
0,25 
2 2 
2 
5 2 
A C 
C A 
A C 
+ 
Û = Û = 
+ 
0,25 
VIb 
(2,0 
điểm) 
2
(1,0 
điểm) 
Chọn A=1 Þ  C=2. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là  2 0 . x z + =  0,25 
ĐK:  0, 0 x y > >  hệ viết lại 
2 2 ln 2 ln 6 ln ln 2 ln 6 ln (1) 
3 2 5 (2) x y 
x x x y y y ì ï + + - = + + - ï í ï + = ï ï î 
Xét hàm số ( )  2  2 6 f t t t t = + + -  với  t Î ¡ . 
0,25 
( ) 
( ) ( ) 2 / 
2 2 2 
1 1 5  1 1 1 
1 0, 
2 6 2 6 2 6 
t t  t t t 
f t t 
t t t t t t 
+ - + + + - + + 
Þ = - = < £ " Î 
+ + + + + + 
¡ 
Þ ( ) f t  nghịch biến trên  . ¡ 
0,25 
Từ (1), ta có ( ) ( ) ln ln ln ln f x f y x y x y = Û = Û =  .  0,25 
VIIb 
(1,0 điểm) 
( )  3 1 2 3 2 5 2 1 1 
5 5 
x x 
x x  x 
æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç Û + = Û + = Û = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 
( ( )  3 1 2 
5 5 
x x 
g x 
æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 
nghịch biến trên ¡ )  0,25
Kết luận. Hệ có nghiệm duy nhất  1 x y = =  . 
Ghi chú. Đáp án chỉ trình bày một cách giải. Còn nhiều cách giải khác, nếu HS trình bày đúng thì cho điểm 
tối đa theo thang điểm của từng bài.