Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số

Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số
CHỨA THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó ) và phương pháp giải các dạng toán đó.
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm  hai đồ thị của hai hàm số  và  cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số  .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng   cắt đồ thị hàm số .
Chú ý : Nếu hàm số  liên tục trên D và ,  thì phương trình :  có nghiệm 
Ví dụ 1:  Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
Giải:
1)Xét hàm số  có tập xác định là D=R.
 Ta có: 
 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình  vô nghiệm  không đổi dấu trên R, mà  đồng biến.
Mặt khác:  và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm .
2) ĐK: 
Xét hàm số  với  
Ta có: .
 vô nghiệm
 không đổi dấu trên D, mà   
Mặt khác: 
 phương trình có nghiệm  .
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.
Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
1) Phương trình 
 Xét hàm số  với  
Ta có: .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm .
2) Điều kiện: . 
Khi đó phương trình 
(Vì )
Xét hàm số  với .
Ta có: .
Do   .
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4] 
Suy ra phương trình có nghiệm 
Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm  (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm  có nghiệm .
 với 
có .
Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Giải:
Ta có: .
* Nếu  vô nghiệm.
* Nếu  đúng
 có nghiệm   
Suy ra hệ có nghiệm  có nghiệm   
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
.
Dựa vào bảng biến thiên  hệ có nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có: . Thay vào (1) ta được:
  (3).
Hệ có nghiệm  có nghiệm . Xét hàm số f(y) với 
 đồng biến trên các khoảng  và 
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý 
 Số nghiệm của phương trình  chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số   và  . Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:    
Giải:
Đặt . Ta có phương trình :
. 
Xét hàm số 
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình :  có ba nghiệm phân biệt.
Giải:
Phương trình  (do )
Xét hàm số 
.
Dựa vào bảng biến thiên .
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để  phương trình :  có đúng một nghiệm . 
Giải:
Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó:
Phương trình .
Xét hàm số :  với 
Ta có:  với  nghịch biến.
Mà:  và 
Vậy phương trình có đúng một nghiệm  
.
Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình :  có ba cặp nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có :  (do x=0 không là nghiệm phương trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:    (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm  (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn   .
Xét hàm số  với .
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt 
    .
Vậy  là những giá trị cần tìm.
Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt , ta tìm được  và phương trình  (1) trở thành  (2). Khi đó (1) có nghiệm   (2) có nghiệm .
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm  ).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình  có bao nhiêu nghiệm ?.
Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.
.
 .
.
 Giải: 
1) Điều kiện: .
Phương trình 
Đặt 
Ta có phương trình :    (1).
Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm 
Xét hàm số  với , có   .
Vậy phương trình có nghiệm .
2) Điều kiện: 
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành:  (2).
Xét hàm số 
. 
Dựa vào bảng biến thiên của 
Suy ra (1) có nghiệm  có nghiệm .
Xét hàm số  với , có   
Suy ra  là hàm đồng biến trên  
Vậy phương trình có nghiệm . 
3) Điều kiện : .
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho , ta được:    ( * ).
Đặt 
 Khi đó ( * ) trở thành:     (3).
Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm .
Xét hàm số f(t) với , có: .
.
Vậy phương trình có nghiệm .
Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:
Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t : 
.
Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:
 vì .
Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình
   có nghiệm .
 có nghiệm trên .
Giải:
1) Đặt  và   .
Phương trình đã cho trở thành:  (3) ( vì ).
Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm t thỏa mãn .
Xét hàm số  với , ta có: 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm .
2) Đặt . Với .
Phương trình đã cho trở thành: 
Phương trình đã cho có nghiệm trên  có nghiệm 
Xét hàm số  với  , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]
Suy ra . 
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 12: Xác định  mọi giá trị của tham số m để hệ sau có  2 nghiệm phân biệt 
Giải: Điều kiện : .
  (Do ).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt  có hai nghiệm phân biệt .
Đặt  và (2) trở thành
Từ cách đặt  ta có:  Với mỗi giá trị  thì cho ta đúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt  có 2 nghiệm phân biệt .
Xét hàm số  với  
Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt .
Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT
I.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT: 
Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D  thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f đồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) 
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt  có m nghiệm, khi đó pt   có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.
Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục  trên D thì .
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 .
 .
.
.
Giải:
1) Với bài toán này  nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK: 
Xét hàm số  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên tục và có nên f(t) luôn đồng biến. Do đó
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: , do vậy nếu đặt , khi đó phương trình trở thành:
, trong đó với t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy . 
Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 
.
.
Giải: 
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số có g''(x)>0 (vì khi đó theo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
2) Đk: x>-1/2.
, trong đó là hàm liên tục và đồng biến. Do đó
Xét hàm số , ta có: , suy ra pt g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0
nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
 * Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . Từ đây ta suy ra được . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
*Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó  là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
   Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về  phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.
Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số 
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6. 
Do đó 
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra f(x) là hàm đồng biến 
Mặt khác: 
Do vậy Bpt 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là  
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:   
Giải: 
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1.
, trong đó
với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có được 
là ngiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 6: Giải hệ pt: .
Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có : 
(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên .)
Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: .
Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được 
  khi f(t) liên tục và đơn điệu
Ví dụ 7:Giải hệ phương trình: .
Giải: Đặt t=2x-y. Khi đó (1) trở thành: 
(*)
Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t=1 là một nghiệm của (*). Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1
t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta được: (Vì hàm là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0).
Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1).
Ví dụ 8: Giải hệ: .
.
Giải:  Xét hàm số 
Khi đó hệ có dạng : .
ta có: nên f(t) là hàm đồng biến
Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra 
Vậy , thay vào hệ ta được phương trình: 
. Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1
Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho.
Bài tập:
  Bài 1: Giải các phương trình sau:  
 Bài 2: Giải các bất phương trình sau
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
 .
 .
 .
 .
.
.
.
.
.
.
Bài 4: Giải và biện luận phương trình